第17节 概率与统计专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分层抽样的抽样比 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 频率分布直方图读数与平均数估计 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 古典概型与概率加法公式 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 方差的线性变换性质 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 独立重复试验的概率计算 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 回归直线方程的求解 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 独立性检验中 K{^|2|} 的观测值 数学运算 中档 A 8 单项选择题 5 条件概率的计数解法 数学运算 中档 A 9 多项选择题 6 频率分布直方图的综合判断 数学运算 中档 ABD 10 多项选择题 6 互斥事件分类计数的概率计算 数学运算 中档 ABC 11 多项选择题 6 超几何型随机变量的概率与期望 数学运算 中档 ABD 12 填空题 5 分层抽样比例的反推 数学运算 基础 8 13 填空题 5 古典概型的计数与概率 数学运算 中档 {f|1|11} 14 填空题 5 二项分布的方差 数学运算 中档 {f|3|2} 15 解答题 13 列联表补全、独立性检验与古典概型 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 离散型随机变量的分布列、期望与可加性 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 随机抽样：分层抽样的抽样比，用"某层抽取件数 ÷ 该层个体数"定比例再回代 ② 频率分布直方图：纵坐标是频率除以组距，所以某组频率等于组距乘纵坐标，再由样本容量换频数、用组中值估平均数 ③ 古典概型与概率运算：互斥事件用加法公式，对立事件用 1 去减，条件概率用 来计算，古典概型里也可以换成计数形式 ④ 离散型随机变量的分布列与数学期望：先列举所有取值再逐项赋概率，最后用"概率之和为 1"反向验证，期望可用线性性简化 ⑤ 独立重复试验与二项分布：E(X) = np、D(X) = np(1 − p)，以及期望对方差、平移、伸缩的变换规律 ⑥ 回归分析与独立性检验：回归直线必过样本中心点， 观测值的分母由行、列合计共同决定，结论要对着临界值表分级读取 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某配件厂的三条产线同时供货，甲线日产 1200 件、乙线 900 件、丙线 600 件。现按各线产量比例抽取 45 件做寿命检测，则甲线应抽出的件数为 A. 20 B. 15 C. 12 D. 24 2. 早晚高峰 100 车次通过某路口的耗时被分成 5 组，组距都是 5（s），频率分布直方图中五组的纵坐标（频率除以组距）依次为 0.02、0.06、0.09、0.02、0.01，则这 100 车次的平均通行耗时约为 A. 21 B. 20.5 C. 22.5 D. 21.5 3. 某次回馈活动共发出 30 张奖券，其中一等奖 6 张、二等奖 10 张、参与奖 14 张。顾客随机领 1 张，领到一等奖或参与奖的概率为 A. B. C. D. 4. 某调研组记录 5 个社区的日均订单量（百单），原数据的平均数为 5、方差为 2。若把每个数据都替换为"2x − 3"，则新数据的方差为 A. 8 B. 4 C. 6 D. 16 5. 某自动检测线逐件抽检，单件判为合格的概率为 0.9，各件是否合格相互独立。现在一次抽检 5 件，则恰有 4 件合格的概率（保留三位小数）为 A. 0.328 B. 0.590 C. 0.409 D. 0.041 6. 某门店连续 5 个月的记录显示：宣传投入 x（万元）依次为 1、2、3、4、5，月销售额 y（万元）依次为 2、3、5、6、8，汇总得 n = 5、Σx = 15、Σy = 24、Σxy = 87、 = 55。则 y 关于 x 的回归直线方程为 A. y = 1.5x + 0.3 B. y = 0.3x + 1.5 C. y = 1.5x + 4.8 D. y = 3x + 0.3 7. 为考察居民是否愿意选择骑行通勤与年龄层是否有关，某机构调查了 180 人，所得 2×2 列联表为：35 岁及以下愿意 54 人、不愿意 36 人，35 岁以上愿意 36 人、不愿意 54 人。则 的观测值为 A. 7.2 B. 6.4 C. 5.6 D. 8.4 8. 某平台对 200 名用户做两项功能评价，结果：喜欢功能 M 的 120 人、喜欢功能 N 的 110 人、两项都喜欢的 70 人。现从"喜欢功能 N"的用户中随机抽 1 人，此人同时也喜欢功能 M 的概率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某园区对 100 名员工的月加班时长按组距 10（h）分成 [50, 60)、[60, 70)、[70, 80)、[80, 90)、[90, 100] 五组，频率分布直方图五组的纵坐标依次为 0.010、0.020、0.036、0.028、0.006。则针对这 100 名员工的下列判断中，正确的有 A. 月加班时长落在 [70, 80) 内的占 0.36 B. 月加班时长不低于 80 的约有 34 人 C. 估计平均月加班时长约为 74.6（h） D. 样本数据的中位数落在 [70, 80) 内 10. 三名质检员独立地对同一批零件给出"合格"判定，甲、乙、丙判"合格"的概率分别为 0.6、0.5、0.5，三人判定互不影响。设 Z 为三人中判"合格"的人数，则下列判断中正确的有 A. P(Z = 3) = 0.15 B. P(Z = 1) = 0.35 C. P(Z ≥ 1) = 0.9 D. P(Z = 2) = 0.5 11. 一批 10 件待检品中有 4 件为优等、6 件为合格品。质检员不放回地随机取 3 件，设 X 为取到的优等件数，则针对 X 的下列判断中正确的有 A. P(X = 1) = B. E(X) = C. P(X ≥ 2) = D. P(X ≤ 1) = 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某年级三个班的人数依次为 45、45、60。若用分层抽样从中抽取 20 人参加研学，且已知第一班抽取了 6 人，则第三班应抽取______人。 13. 把编号 01 至 12 的 12 张卡片背面朝上充分混匀，随机抽出 2 张，则这两张卡片的编号之和为 13 的概率为______。 14. 某包装线对 8 件产品逐一检测，每件被判为次品的概率为 ，各件是否次品相互独立。设 X 为其中的次品件数，则 X 的方差为______。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校就"是否愿意选修生涯规划课"开展问卷，随机调查 160 名学生，已知男生 80 人、女生 80 人，且全体学生中"愿意"的共 80 人。又知男生中"不愿意"的比"愿意"的少 16 人。 （1）补全下面 2×2 列联表； （2）计算 的观测值，并对照临界值表给出结论（临界值：0.05 对应 3.841，0.025 对应 5.024，0.010 对应 6.635）； （3）现从这 160 人中"愿意"的 80 人里按性别分层抽取 10 人，再从这 10 人中随机取 2 人，求恰有 1 名男生的概率。 16. 某仓库清点待检零件，确认 9 件中有 4 件为一等品、5 件为二等品。质检员从中不放回地随机取 3 件，每取得 1 件一等品记 5 分、二等品记 2 分，设这 3 件的总得分为 X。 （1）求 P(X = 12)； （2）求 X 的分布列与数学期望 E(X)； （3）若改为每次取 1 件后放回、连取 3 件，记得分为 Y，求 E(Y)，并指出 E(X) 与 E(Y) 的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 随机抽样：分层抽样的抽样比，用"某层抽取件数 ÷ 该层个体数"定比例再回代 ② 频率分布直方图：纵坐标是频率除以组距，所以某组频率等于组距乘纵坐标，再由样本容量换频数、用组中值估平均数 ③ 古典概型与概率运算：互斥事件用加法公式，对立事件用 1 去减，条件概率用 来计算，古典概型里也可以换成计数形式 ④ 离散型随机变量的分布列与数学期望：先列举所有取值再逐项赋概率，最后用"概率之和为 1"反向验证，期望可用线性性简化 ⑤ 独立重复试验与二项分布：E(X) = np、D(X) = np(1 − p)，以及期望对方差、平移、伸缩的变换规律 ⑥ 回归分析与独立性检验：回归直线必过样本中心点， 观测值的分母由行、列合计共同决定，结论要对着临界值表分级读取 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某配件厂的三条产线同时供货，甲线日产 1200 件、乙线 900 件、丙线 600 件。现按各线产量比例抽取 45 件做寿命检测，则甲线应抽出的件数为 A. 20 B. 15 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】先把三条线的件数加起来：1200 + 900 + 600 = 2700 件。 分层抽样的比例是样本容量除以总体容量，即 45 ÷ 2700 = 。 甲线占 1200 件，应抽 1200 × = 20 件。 回代检查：乙线抽 900 × = 15 件，丙线抽 600 × = 10 件，三者相加 20 + 15 + 10 = 45，正好等于样本容量，比例没有算错。 这类题只要抓住"每层抽到的件数与该层个体数成同比例"，剩下的就是一次除法。 【考查知识点】分层抽样中按比例确定各层抽取件数，并用总样本容量回代检验 【易错点】直接用 1200 去除以 45，把样本容量当成除数；或者算出抽样比后忘记把它乘回甲线的产量 2. 早晚高峰 100 车次通过某路口的耗时被分成 5 组，组距都是 5（s），频率分布直方图中五组的纵坐标（频率除以组距）依次为 0.02、0.06、0.09、0.02、0.01，则这 100 车次的平均通行耗时约为 A. 21 B. 20.5 C. 22.5 D. 21.5 【答案】A 【解析】直方图的纵坐标是"频率除以组距"，所以每组频率 = 组距 × 纵坐标。 五组频率依次为 5 × 0.02 = 0.10、5 × 0.06 = 0.30、5 × 0.09 = 0.45、5 × 0.02 = 0.10、5 × 0.01 = 0.05，合计 1.00，直方图是合法的。 用每组中点乘该组频率再求和：12.5 × 0.10 + 17.5 × 0.30 + 22.5 × 0.45 + 27.5 × 0.10 + 32.5 × 0.05 逐项算得 1.25 + 5.25 + 10.125 + 2.75 + 1.625 = 21，所以平均耗时约为 21（s）。 检验：第一项 22.5 × 0.45 = 10.125 是最大的一块，若把它漏掉答案会偏小，算完应当先把最大贡献项对一下，凭数量级感受一下 21 是否合理。 【考查知识点】由频率分布直方图还原各组频率，再用组中值估计样本平均数 【易错点】把纵坐标直接当成频率，从而平均耗时算成 2.1；或每组中点取成区间端点而非中点 3. 某次回馈活动共发出 30 张奖券，其中一等奖 6 张、二等奖 10 张、参与奖 14 张。顾客随机领 1 张，领到一等奖或参与奖的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】三类奖券的张数加起来 6 + 10 + 14 = 30，与总数吻合，说明每类互斥且穷尽。 "一等奖或参与奖"是互斥事件的并，按加法公式，概率等于两类概率之和。 一等奖概率为 ，参与奖概率为 ，两者相加得 。 约分后为 。 也可以走对立事件的路子：用 1 减去看不到这两类的概率 ，同样得到 ；两条路互相印证更稳。 题目里"或"字对应加法公式，前提是两类不能有交集，这里三类奖券天然互斥。 【考查知识点】互斥事件的概率加法：把"或"翻译成各概率之和，并用对立事件复核 【易错点】把"或"当成独立事件去连乘；或只算一等奖的 而漏掉参与奖那一块 4. 某调研组记录 5 个社区的日均订单量（百单），原数据的平均数为 5、方差为 2。若把每个数据都替换为"2x − 3"，则新数据的方差为 A. 8 B. 4 C. 6 D. 16 【答案】A 【解析】方差公式里每个数与平均数的偏差都先平方，所以平移不影响偏差，更不影响方差。 把 x 换成 2x，每个偏差也随之变成原来的 2 倍，平方后变成 4 倍。 再减去常数 3 只是平移，对方差没有影响。 因此新方差 = 4 × 2 = 8。 直接验算也可以：原数据平均数 5、方差 2，新数据平均数 2 × 5 − 3 = 7，新偏差都是原偏差的 2 倍，平方和按 4 倍增长，除以个数仍是 4 倍。 记住"关于平均数对称、只跟伸缩倍数有关"这两点，方差变换题基本可以直接秒。 【考查知识点】方差在平移与伸缩变换下的变化规律：平移不变、伸缩按平方倍放缩 【易错点】把伸缩倍数当成一次方，答成 4；或把减去 3 也计入，误以为要再减一次 5. 某自动检测线逐件抽检，单件判为合格的概率为 0.9，各件是否合格相互独立。现在一次抽检 5 件，则恰有 4 件合格的概率（保留三位小数）为 A. 0.328 B. 0.590 C. 0.409 D. 0.041 【答案】A 【解析】这是 5 次独立重复试验：每次只有"合格"与"不合格"两种结果，概率固定且互不影响。 恰有 4 件合格，就是 5 次中某一指定 4 次成功、剩下 1 次失败。 单条固定搭配（指定哪 4 次合格、哪 1 次不合格）的概率是 0. × 0.1 = 0.6561 × 0.1 = 0.06561。 这样的搭配共有 5 种，所以总概率为 5 × 0.06561 = 0.32805，保留三位小数为 0.328。 对照选项：0.590 是 5 件全合格的概率 0.，0.409 是"至少 4 件合格"（0.32805 + 0.59049）的近似值，0.041 是"恰有 1 件合格"的错算结果。 把这四个数摆在一起看，能顺手判断选项是不是把"恰有"和"至少"搞混了。 【考查知识点】独立重复试验中"恰有 k 次成功"的概率计算与选项辨析 【易错点】把"恰有 4 件"当成"至少 4 件"，直接写成 0.；或只算单条搭配的概率而漏掉那 5 种搭配 6. 某门店连续 5 个月的记录显示：宣传投入 x（万元）依次为 1、2、3、4、5，月销售额 y（万元）依次为 2、3、5、6、8，汇总得 n = 5、Σx = 15、Σy = 24、Σxy = 87、 = 55。则 y 关于 x 的回归直线方程为 A. y = 1.5x + 0.3 B. y = 0.3x + 1.5 C. y = 1.5x + 4.8 D. y = 3x + 0.3 【答案】A 【解析】先算两个平均数：x̄ = 15 ÷ 5 = 3，ȳ = 24 ÷ 5 = 4.8，所以回归直线必须过点 (3, 4.8)。 斜率 b 用离差形式算：b = 。 分子按离差和的公式换算成 Σxy − n·x̄·ȳ = 87 − 5 × 3 × 4.8 = 87 − 72 = 15；分母为 − n·x̄{^|2|} = 55 − 5 × 9 = 10。 于是 b = = 1.5，截距 a = ȳ − b·x̄ = 4.8 − 1.5 × 3 = 0.3，回归直线为 y = 1.5x + 0.3。 检验：把 (3, 4.8) 代入得 1.5 × 3 + 0.3 = 4.8，样本中心点确实在直线上，这一步能一次性排除 B、C 两项。 D 项把离差平方和 10 误当斜率，说明"离差之比"与"平方和"这两处最容易串行。 【考查知识点】由汇总数据求回归直线的斜率与截距，并用样本中心点复核 【易错点】把分子写成 Σxy 本身而忘了减去 n·x̄·ȳ 这一块；算出斜率后不回代样本中心点，导致截距整体偏差 7. 为考察居民是否愿意选择骑行通勤与年龄层是否有关，某机构调查了 180 人，所得 2×2 列联表为：35 岁及以下愿意 54 人、不愿意 36 人，35 岁以上愿意 36 人、不愿意 54 人。则 的观测值为 A. 7.2 B. 6.4 C. 5.6 D. 8.4 【答案】A 【解析】先读行合计与列合计：两行都是 54 + 36 = 90，两列也都是 90，总数 180。 公式 = 。 这里 a = 54、b = 36、c = 36、d = 54，所以 ad − bc = 54 × 54 − 36 × 36 = 2916 − 1296 = 1620。 代入得 = = 。 把分子分母同时除以 90000，得 29.16 与 729，相除仍是 7.2。 检验：本题的行列合计恰好都等于 90，分母可以写成 90 的四次方，这时 90 的四次方会约掉公式里的一个 n， 等价于"1620 的平方除以 180 的立方"，算出来同样是 7.2，两种写法互为验证。 【考查知识点】2×2 列联表下 观测值的计算，含行列合计的识别 【易错点】把 ad − bc 写成 ad + bc；或分母只乘两个行合计而漏掉两个列合计 8. 某平台对 200 名用户做两项功能评价，结果：喜欢功能 M 的 120 人、喜欢功能 N 的 110 人、两项都喜欢的 70 人。现从"喜欢功能 N"的用户中随机抽 1 人，此人同时也喜欢功能 M 的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先确认数据自洽：两项至少喜欢一项的有 120 + 110 − 70 = 160 人，不超过 200，说明"两项都不喜欢"还有 40 人，题设数据成立。 本问已经把范围限定在"喜欢功能 N"之内，分母应当是这一批人的总数 110，而不是全体的 200，这正是条件概率的关键。 这个范围里同时喜欢 M 的恰是"两项都喜欢"的 70 人。 所求概率为 = 。 检验：用条件概率公式走一遍，P(M ∩ N) ÷ P(N) = ÷ = ，与直接读数一致。 对照选项： 是把两个集合的 id 张冠李戴， 是把分母错当成全体，这两个错法在条件概率里出现频率最高。 【考查知识点】条件概率：先把已知的"范围"锁定为新的样本空间，再数有利情形 【易错点】把分母写成全体人数 200；或把分子写成喜欢 M 的总人数 120，把条件概率算成无条件概率 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某园区对 100 名员工的月加班时长按组距 10（h）分成 [50, 60)、[60, 70)、[70, 80)、[80, 90)、[90, 100] 五组，频率分布直方图五组的纵坐标依次为 0.010、0.020、0.036、0.028、0.006。则针对这 100 名员工的下列判断中，正确的有 A. 月加班时长落在 [70, 80) 内的占 0.36 B. 月加班时长不低于 80 的约有 34 人 C. 估计平均月加班时长约为 74.6（h） D. 样本数据的中位数落在 [70, 80) 内 【答案】ABD 【解析】A 项：频率 = 组距 × 纵坐标 = 10 × 0.036 = 0.36，正确。 B 项：不低于 80 的是后两组，频率合计 10 × (0.028 + 0.006) = 0.34，乘以样本容量 100 得 34 人，正确。 C 项：用组中值估计平均数，55 × 0.10 + 65 × 0.20 + 75 × 0.36 + 85 × 0.28 + 95 × 0.06 = 5.5 + 13 + 27 + 23.8 + 5.7 = 75，与 74.6 不符，错误。 D 项：前两组累计频率 0.10 + 0.20 = 0.30，前三组累计 0.66，中位数对应的 0.5 落在第三组内，即落在 [70, 80) 内，正确。 再核一遍总频率：10 × (0.010 + 0.020 + 0.036 + 0.028 + 0.006) = 10 × 0.10 = 1，直方图合法，说明读数无误。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】频率分布直方图的综合读数：频率换算、频数估计、平均数与中位数定位 【易错点】C 项把某一组的纵坐标直接当成频率去算；D 项只看最大频率组（第三组）就判断中位数，忽略累计频率 10. 三名质检员独立地对同一批零件给出"合格"判定，甲、乙、丙判"合格"的概率分别为 0.6、0.5、0.5，三人判定互不影响。设 Z 为三人中判"合格"的人数，则下列判断中正确的有 A. P(Z = 3) = 0.15 B. P(Z = 1) = 0.35 C. P(Z ≥ 1) = 0.9 D. P(Z = 2) = 0.5 【答案】ABC 【解析】A 项：三人都判合格即三人同时成功，概率 0.6 × 0.5 × 0.5 = 0.15，正确。 B 项：恰有 1 人，分三种互斥情形——只有甲对：0.6 × 0.5 × 0.5 = 0.15；只有乙对：0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.10；只有丙对：0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.10。相加得 0.35，正确。 C 项：至少 1 人，用对立事件最快，三人都判不合格的概率为 0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.10，所以 P(Z ≥ 1) = 1 − 0.10 = 0.9，正确。 D 项：恰有 2 人，甲乙对丙错 0.6 × 0.5 × 0.5 = 0.15，甲丙对乙错 0.6 × 0.5 × 0.5 = 0.15，乙丙对甲错 0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.10，合计 0.40，与 0.5 不符，错误。 收尾检查：四个数 0.15 + 0.35 + 0.10 + 0.40 = 1.00，正好覆盖 Z = 0, 1, 2, 3 全部取值，说明本组概率算齐了，D 项确有 0.10 的偏差。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】多个独立事件的互斥分类概率：按"恰有 k 人"逐情形相加并用总和为 1 验证 【易错点】D 项漏掉"只有乙、丙对而甲错"这一种情形，把 0.40 算成 0.50；C 项忘记用对立事件而逐项相加 11. 一批 10 件待检品中有 4 件为优等、6 件为合格品。质检员不放回地随机取 3 件，设 X 为取到的优等件数，则针对 X 的下列判断中正确的有 A. P(X = 1) = B. E(X) = C. P(X ≥ 2) = D. P(X ≤ 1) = 【答案】ABD 【解析】先数总数：从 10 件中取 3 件共有 120 种取法。 A 项：恰取 1 件优等，即 1 件从 4 件优等里、2 件从 6 件合格品里，有 4 × 15 = 60 种，概率 = ，正确。 B 项：用期望的线性性最快——每件被取到的概率是 ，单件为优等的期望贡献为 × ，三件相加得 3 × = ，正确。 C 项：X ≥ 2 即 X = 2 或 3。X = 2 是 2 件优等 1 件合格品，有 6 × 6 = 36 种；X = 3 有 4 种，合计 40 种，概率 = ，而不是 ，错误。 D 项：X ≤ 1 即 X = 0 或 1，取法数 20 + 60 = 80，概率 = ，正确。 收尾核对：X 取 0、1、2、3 的取法数依次为 20、60、36、4，合计 120，与总取法吻合，分布列闭合，四个选项的对错随之确定。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】不放回抽取中离散型随机变量的概率、期望与分布列闭合验证 【易错点】C 项把 X = 2 与 X = 3 之外的部分误算；B 项改用 × 3 之外的错式，漏掉"每件都被抽到"这一层 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某年级三个班的人数依次为 45、45、60。若用分层抽样从中抽取 20 人参加研学，且已知第一班抽取了 6 人，则第三班应抽取______人。 【答案】8 【解析】分层抽样中每层被抽中的比例相同，先由第一班定出这个比例。 抽样比 = = 。 第三班有 60 人，应抽 60 × = 8 人。 回代检查：第二班同样抽 45 × = 6 人，三班合计 6 + 6 + 8 = 20，与样本容量完全一致。 这类题一定要用"总数之和等于样本容量"来收口，比例的题往往就错在最后一步没回代。 【考查知识点】由某一层的抽取件数反推抽样比，再回代到另一层 【易错点】直接把 60 与 45 相比按比例分配，却忘了抽样比是"样本 ÷ 总体"而非两层人数之比；或答成 之类的分数人数 13. 把编号 01 至 12 的 12 张卡片背面朝上充分混匀，随机抽出 2 张，则这两张卡片的编号之和为 13 的概率为______。 【答案】 【解析】先数总的取法：从 12 张中取 2 张，共 = 66 种。 再数有利取法：编号之和为 13 的无序配对为 (1, 12)、(2, 11)、(3, 10)、(4, 9)、(5, 8)、(6, 7)，共 6 组，每组对应唯一一种取法。 所求概率为 = 。 检验：编号之和为 13 等价于编号之差为绝对值 1 的另一半，也可直接数"两张连续编号"，在 01—12 中这样的相邻对共有 11 对，而和为 13 的配对恰好是其中互补的 6 对，结果一致。 注意抽出的 2 张不看先后顺序，所以 (1, 12) 与 (12, 1) 只能算一种，这一步数错会让答案翻倍。 【考查知识点】古典概型中无序抽取的可能性计数，用等可能样本点数之比求解 【易错点】把无序配对当成有序抽取，把分母算成 12 × 11 = 132；或漏掉一半配对，只数出 3 组 14. 某包装线对 8 件产品逐一检测，每件被判为次品的概率为 ，各件是否次品相互独立。设 X 为其中的次品件数，则 X 的方差为______。 【答案】 【解析】每件次品与否相互独立、概率固定，X 服从二项分布 B(8, )。 二项分布的方差公式是 D(X) = np(1 − p)，这里 n = 8、p = 。 代入得 D(X) = 8 × × = 8 × = 。 回代检查：X 取 0 到 8 的概率之和为 1，且 E(X) = 8 × = 2；由 D(X) = E() − [E(X)]{^|2|}，用分布列逐项求和也能得到 ，两条路一致。 注意题问的是方差而不是标准差，若把答案写成带根号的形式就答偏了。 【考查知识点】二项分布的方差公式及其与期望公式的对照记忆 【易错点】把方差公式记成 np，漏掉 (1 − p) 这一因子，答成 2；或把 n 与 p 的位置互换 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校就"是否愿意选修生涯规划课"开展问卷，随机调查 160 名学生，已知男生 80 人、女生 80 人，且全体学生中"愿意"的共 80 人。又知男生中"不愿意"的比"愿意"的少 16 人。 （1）补全下面 2×2 列联表； （2）计算 的观测值，并对照临界值表给出结论（临界值：0.05 对应 3.841，0.025 对应 5.024，0.010 对应 6.635）； （3）现从这 160 人中"愿意"的 80 人里按性别分层抽取 10 人，再从这 10 人中随机取 2 人，求恰有 1 名男生的概率。 【答案】解：（1）设男生中"愿意"的有 a 人，则"不愿意"的有 80 − a 人，由题意 a − (80 − a) = 16，得 2a = 96，a = 48，所以"不愿意"的有 32 人。 "愿意"的共 80 人，故女生中"愿意"的有 80 − 48 = 32 人，女生共 80 人，所以"不愿意"的有 48 人。 列联表如下： 男生：愿意 48、不愿意 32、合计 80； 女生：愿意 32、不愿意 48、合计 80； 合计：愿意 80、不愿意 80、总计 160。 （2） = 。 先算中间量 48 × 48 − 32 × 32 = 2304 − 1024 = 1280，于是 = = = = 6.4。 对照临界值表，5.024 < 6.4 < 6.635，所以在犯错误概率不超过 0.025（即有 97.5% 把握）的前提下，可以认为"是否愿意选修生涯规划课"与性别有关； 但由于 6.4 < 6.635，这个结论还达不到"犯错误概率不超过 0.01"的强度，在答题时不要把把握等级拔高到 99%。 （3）按性别分层抽取时抽样的比例相同，从 80 人（男 48、女 32）中抽 10 人，抽男生 10 × = 6 人，抽女生 10 × = 4 人。 再从这 10 人中任取 2 人，总取法为 = 45 种；恰有 1 名男生（1 男 1 女）的取法有 6 × 4 = 24 种。 所求概率为 = 。 复核：45 种取法里，2 男有 = 15 种、2 女有 = 6 种，三者 15 + 24 + 6 = 45，分类闭合， 可信。 【解析】第（1）问是"列方程补全列联表"：题目只给了行合计、列合计和一个差值条件，抓住"行合计 + 列合计"这两个方向就能把四个格子逐个解出，不必去猜具体人数。 第（2）问的核心动作是"先把 ad − bc 这个小量算准"，它比 本身更简单；本表还出现 a 与 d 相等、b 与 c 相等的对称结构，所以 ad − bc 可以直接写成 − ，心算即可。 读到临界值表要先定位区间再下结论：6.4 落在 5.024 与 6.635 之间，它只能支撑"不超过 0.025"这一档。命题里最常见的问题是把握等级拔高一档，这里务必停在 97.5%，不要写成 99%。 第（3）问是"分层抽样 + 古典概型"两段式的典型衔接：第一段必须先把 10 人里的男、女人数定死（6 与 4），第二段才是简单计数。两层之间不要混着算。 整道题最后那个"分类闭合"的复核很值得保留：把"2 男 + 1 男 1 女 + 2 女"三种情况加起来是否等于总取法，一眼就能发现分层抽出的男女人数有没有算错。 【考查知识点】由部分数据补全 2×2 列联表、独立性检验观测值的计算与临界值分级结论、分层抽样后古典概型的计数 【易错点】第（2）问把 6.4 与 6.635 比较后直接写"有 99% 的把握"，把握等级拔高一档；第（3）问漏掉分层比例，直接把 10 人当成男女各 5 人 16. 某仓库清点待检零件，确认 9 件中有 4 件为一等品、5 件为二等品。质检员从中不放回地随机取 3 件，每取得 1 件一等品记 5 分、二等品记 2 分，设这 3 件的总得分为 X。 （1）求 P(X = 12)； （2）求 X 的分布列与数学期望 E(X)； （3）若改为每次取 1 件后放回、连取 3 件，记得分为 Y，求 E(Y)，并指出 E(X) 与 E(Y) 的关系。 【答案】解：（1）设 3 件中一等品有 k 件，则总得分 X = 5k + 2(3 − k) = 3k + 6，所以 X = 12 对应 k = 2，即恰有 2 件一等品、1 件二等品。 从 9 件中取 3 件共有 = 84 种等可能取法，其中 2 件来自 4 件一等品、1 件来自 5 件二等品，有 6 × 5 = 30 种。 故 P(X = 12) = = 。 （2）k 的可能取值为 0、1、2、3，相应 X 为 6、9、12、15。 P(X = 6) 对应 k = 0：取到的 3 件全是二等品，有 = 10 种，故概率为 ； P(X = 9) 对应 k = 1：从 4 件一等品取 1 件、5 件二等品取 2 件，有 4 × = 40 种，故概率为 ； P(X = 12) = ； P(X = 15) 对应 k = 3：。 四项概率之和为 = = 1，分布列闭合。 于是 E(X) = 6 × + 9 × + 12 × + 15 × = = = 10。 （3）放回抽取时，每一件是一等品的概率恒为 。记第 i 件所得分数为 ，则 P( = 5) = 、P( = 2) = ，E() = 5 × + 2 × = = 。 又 Y = + + ，由数学期望的线性性质（可加性，不要求各件相互独立）得 E(Y) = 3 × = 10。 所以 E(X) = E(Y) = 10。 直观解释：无论放回还是不放回，每件零件中被取到一等品的边际概率都是 ，总分就是三份"单件期望"之和，放回与否只改变抽到各类件的波动大小，并不改变期望本身。 【解析】第（1）问的提速点是先把 X 用"一等品件数 k"表示出来：X = 3k + 6，这样"X 等于多少"立刻翻译成"k 等于多少"，比直接写 5k + 2(3 − k) 更容易对上取值。 第（2）问的分布列一定要按 k = 0, 1, 2, 3 的顺序排，每一项都用"从一等品里取 k 件、从二等品里取 3 − k 件"这一统一形式，不要临时凑数，凑出来的数往往对不上整个概率空间。 分布列写完还要反手做一次"概率之和为 1"的检查，这里 10 + 40 + 30 + 4 = 84 正好等于分母，等于给整张分布列盖了个章。 第（3）问是全题的落点：它考的不是计算而是"期望的可加性"。记住 E( + + ) = E() + E() + E() 这条式子不需要独立性作前提，所以即使放回与不放回混在一起比较，仍然成立。 这类"放回与不放回比较"的题，结论几乎总是"期望相同、方差不同"：不放回会压低极端情形的概率（取到 0 件或 3 件一等品的概率变小），分布更集中，方差反而更小；答题时只要把期望相等的道理说清即可。 【考查知识点】不放回抽取下的得分分布列与期望、分布列闭合验证、放回与不放回两种抽样方式的期望比较与可加性 【易错点】第（2）问把 P(X = 6) 的概率算成 ，忘了二等品是 5 件而非 5 种取法；第（3）问误以为放回与不放回期望不同，或把 5 分与 2 分直接相加 学科网（北京）股份有限公司 $