第10章 第1讲 两个计数原理、排列与组合 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦排列组合与计数原理，以分层递进的题型设计构建"原理-方法-应用"逻辑链，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计数原理|3题（2,7,10）|分步乘法/分类加法原理、捆绑法|从简单分步到复杂分类，构建计数逻辑基础| |排列组合应用|6题（3,4,5,6,11,12）|组合数公式、间接法、插空法|结合抽样、种植等场景，实现原理到应用的迁移| |综合创新题型|5题（8,9,13,14）|分类讨论、正难则反思想|融合概率、实际问题，培养复杂情境下的数学表达能力|

1．A＋C的值为(　　) A．60 B．40 C．35 D．20 解析：选B.A＋C＝5×4＋＝20＋20＝40. 2．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(　　) A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 解析：选D.应该分步完成：第一步，因为甲不去北京，所以甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64种选法，由分步乘法计数原理，可得不同的选法有3×64＝192种． 3．(2025·南京六校调研)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的选法种数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 解析：选A.先让甲、乙选同一个讲座，有C种选法，再让丙、丁各选余下的2个讲座中的一个，有A种选法，故共有CA＝6种不同的选法． 4．(2025·浙南名校联盟联考)将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树要比两边的高，则不同的种植方法共有(　　) A．20种 B．40种 C．80种 D．160种 解析：选C.道路一侧的种植方法有CA＝20×2＝40种，道路另一侧的种植方法有A＝2种，由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有40×2＝80种． 5．(2026·广东模拟)某学校为了了解学生美育的培养情况，用分层随机抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．CCC种 B．CCC种 C．CCC种 D．CCC种 解析：选C.由分层随机抽样的特征知，应分别从美术、音乐、舞蹈兴趣小组抽取学生30×＝6名，30×＝9名，30×＝15名，则不同的抽样结果共有CCC种． 6．(2026·厦门部分学校联考)北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代的《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故被命名为北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为(　　) A．30 B．31 C．34 D．35 解析：选B.从这七个点中任意选三个点作三角形，有C种选法，其中B，D，E，F共线，有C种选法不能构成三角形，则所作的不同三角形的个数为C－C＝35－4＝31. 7．(2026·日照模拟)高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有(　　) A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 解析：选B.①每个检测点均为一男一女通过，共有AA＝36种情况；②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有CCCC＝54种情况；③六人均在同一个检测点通过，共有C＝3种情况．则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有36＋54＋3＝93种． 8．(多选)现安排小明、小红、小兵三名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务．每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有(　　) A．所有不同的安排方法有34种 B．若甲场馆必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C．若志愿者小明必须去甲场馆，则不同的安排方法有16种 D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 解析：选BCD.对于A，所有不同的安排方法有43种，故A错误；对于B，分三种情况，第一种：若有一名志愿者去甲场馆，则志愿者选派情况有C种，另外两名志愿者的安排方法有3×3＝9种，此种情况共有C×9＝27种，第二种：若有两名志愿者去甲场馆，则志愿者选派情况有C种，另外一名志愿者的安排方法有3种，此种情况共有C×3＝9种，第三种：若三名志愿者都去甲场馆，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，故B正确；对于C，若小明必须去甲场馆，则小红、小兵两名志愿者各有4种安排方法，共有4×4＝16种安排方法，故C正确；对于D，若三名志愿者所选场馆各不相同，则共有A＝24种安排方法，故D正确． 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若A＝10A，则n＝8 B．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为24 C．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20 D．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为261 解析：选AB.对于A，因为A＝10A，所以2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n≥3且n∈N*，化简得4n－2＝5n－10，解得n＝8，故A正确；对于B，将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体考虑，然后将3辆车放在余下的3个车位，则不同的停放方法的种数为A＝24，故B正确；对于C，首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20种排法，因为＝，＝，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18，故C错误；对于D，利用间接法，用所有的三位数减去没有重复数字的三位数，即9×10×10－(A＋CA)＝900－648＝252个，故D错误． 10．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线． 解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，Ax＋By＝0可表示1＋1＋20＝22条不同的直线． 答案：22 11．(2026·烟台模拟)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为__________．(用数字作答) 解析：由题知，需要将4个人分成3组，有C＝6种，再将3组人分配到三个场馆，有A＝6种，所以所有不同的安排有6×6＝36种． 答案：36 12．(2025·湘豫名校联考模拟)某同学收集了第一届全国学生(青年)运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张．现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为________．(用数字作答) 解析：先将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，有AA种贴法，再贴“琮琮”，有C种贴法，由分步乘法计数原理可得，不同的贴法种数为AAC＝20. 答案：20 13．(多选)下列等式正确的有(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C D．C＝C 解析：选ABC.A是组合数公式；B是组合数性质；由C＝×＝C，得C正确，D不正确． 14．(2026·广州模拟)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有________种． 解析： 由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图，2，3排在d，f位置，有A种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a，b位置， 有C种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在c，e位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有AC×1＝12种． 答案：12 学科网（北京）股份有限公司 $