专题22 计数原理与二项式定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题22　计数原理与二项式定理 群哥高中数学辅导资料 专题22　计数原理与二项式定理 一、核心知识 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列数 组合数 捆绑法 插空法 缩倍法 隔板法 均匀分组 错位排列 二项式定理 赋值法 二、题型精练 题型一　分类加法与分步乘法计数原理 【方法与技巧】 分类用加法、分步用乘法：完成一件事有几类互不重叠的办法就相加，需要分成几步依次完成就相乘。 判断是分类还是分步，看'做完这件事'：每一类办法都能独立完成，是分类；必须各步都做完才算完成，是分步。 有重复元素的排列要除以重复元素个数的阶乘；有特殊位置（如首位不能为 ）优先安排特殊位置。 数字问题牢记'先定首位、后定其余'，含 的组数问题是最容易多算一倍的陷阱。 【例题精讲】 1．从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，则从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分两步：甲到乙 种，乙到丙 种，由分步乘法原理共 种。故选：C。 2．书架上有 本不同的数学书和 本不同的语文书，从中任取一本，共有多少种不同的取法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分两类：取数学书 种、取语文书 种，由分类加法原理共 种。故选：C。 3．从 中任取两个不同的数字组成一个两位数，共可组成多少个不同的两位数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】十位有 种、个位有 种，共 个。故选：A。 【变式训练】 1． 名学生报名参加 个不同的兴趣小组，每人限报一个，共有多少种不同的报名方法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每名学生都有 种选择，共 种。故选：B。 2．由 组成没有重复数字的三位数，共可组成多少个（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】百位不能为 ，有 种；十位 种；个位 种，共 个。故选：D。 3． 个人排成一排，其中甲必须站在排头，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲固定在排头，其余 人全排列，共 种。故选：A。 4．从 名男生、 名女生中各选 人，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分两步：选男生 种、选女生 种，共 种。故选：B。 5．某密码由 位数字组成，每位可从 到 中任选，共可设置多少个不同的密码（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】每位 种，共 个。故选：D。 6．从 到 有 条路，从 到 有 条路，另有从 直达 的 条路，则从 到 共有多少种走法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分两类：经 有 种，直达有 种，共 种。故选：B。 【巩固练习】 1． 封信投入 个不同的信箱，共有______种不同的投法．　　　　 【答案】 【详解】每封信有 种投法，共 种。故答案为：。 2．由 组成没有重复数字且个位为偶数的三位数，共有多少个（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】个位为 或 共 种，前两位从余下 个数字中选排共 种，故 个。故选：C。 3． 个人排成一排照相，共有______种不同的排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 4．从 个不同的元素中每次取出 个排成一列，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 种。故选：A。 5． 名学生到 个不同的工厂实习，每人去一个工厂，共有______种不同的安排方法．　　　　 【答案】 【详解】每名学生有 种选择，共 种。故答案为：。 6．从 名学生中选 人分别担任班长和副班长，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两个职务有区别，故为排列 种。故选：C。 7．由 组成没有重复数字的四位数，共有______个．　　　　 【答案】 【详解】千位 种（非 ），其后依次 种，共 个。故答案为：。 8．从 个不同的红球和 个不同的白球中任取一个球，共有多少种不同的取法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分两类：取红球 种、取白球 种，共 种。故选：B。 题型二　排列问题（相邻、不相邻、定序） 【方法与技巧】 相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素捆成一个整体先排，再排内部，最后相乘。 不相邻问题用插空法：先排其余元素，再把不相邻的元素插到形成的空位里。 定序问题用除法（缩倍法）： 个元素中某 个元素顺序固定，排列数为 。 特殊元素优先法：有绝对限制条件的元素（或位置）先安排，再安排其余，能大幅减少讨论量。 【例题精讲】 1． 人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】捆绑法：把甲乙捆成一整体与其余 人共 个单位全排列有 种，甲乙内部有 种，共 种。故选：D。 2． 人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】插空法：先排其余 人有 种，形成 个空位，甲乙插入有 种，共 种。故选：B。 3． 人排成一排，甲、乙、丙三人按'甲在前、乙居中、丙在后'的顺序排列（不一定相邻），共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】缩倍法： 人全排列 ，甲乙丙 人的 种顺序中只保留 种，故 种。故选：A。 【变式训练】 1． 名男生、 名女生排成一排， 名女生必须相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】女生捆绑成一整体与 名男生共 个单位全排列 种，女生内部 种，共 种。故选：B。 2． 人排成一排，甲不站在排头也不站在排尾，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲有中间 个位置可选，其余 人全排列 种，共 种。故选：A。 3． 人排成一排，甲与乙相邻、丙与丁也相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个整体与第 人共 个单位全排列 种，两个整体内部各 种，共 种。故选：A。 4． 人排成一排，甲必须站在正中间，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲固定在第 位，其余 人全排列 种。故选：B。 5． 人排成一排，甲、乙、丙三人的相对顺序一定，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】缩倍法： 种。故选：C。 6． 人排成一排，甲不站在两端，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲有中间 个位置可选，其余 人全排列 种，共 种。故选：D。 【巩固练习】 1． 人排成一排，甲、乙两人必须相邻，共有______种排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 2． 人排成一排，甲、乙两人不能相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总数 ，甲乙相邻 ，故不相邻 种。故选：B。 3． 名男生、 名女生排成一排，女生全相邻，共有______种排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 4． 人排成一排，甲必须排在乙的左边（不一定相邻），共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲乙顺序各占一半，故 种。故选：C。 5． 人排成一排，甲、乙、丙三人的相对顺序一定，共有______种排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 6． 人排成一排，甲不排在第 位，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】总数 ，甲在第 位有 种，故 种。故选：A。 7． 人排成一排，甲在乙的左边且两人相邻，共有______种排法．　　　　 【答案】 【详解】把'甲乙'捆成一整体（顺序固定）与其余 人共 个单位全排列，共 种。故答案为：。 8．由数字 组成没有重复数字的五位数，其中 与 相邻的共有多少个（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】捆绑法： 个。故选：C。 题型三　组合问题（分组分配、相同元素、隔板法） 【方法与技巧】 区分'分组'与'分配'：只分组不分配要除以组数的阶乘（均匀分组），分组后再分给人则不用除。 相同元素放入不同盒子用隔板法： 个相同元素分给 个对象、每个至少一个，方法数为 。 允许空盒时先'借'元素：每盒先放一个使问题转化为'至少一个'，再用隔板法。 '至少'问题多用间接法（总数减去不满足的）或用分类枚举，注意两类计数不要重复。 【例题精讲】 1．从 名学生中选 人参加比赛，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与顺序无关，为组合 种。故选：C。 2．把 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 本，共有多少种不同的分法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依次给甲、乙、丙选书： 种。故选：A。 3．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】隔板法： 个球排成一列有 个空隙，插入 块板，共 种。故选：B。 【变式训练】 1．从 名男生、 名女生中选 人，要求至少有 名女生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】间接法： 种。故选：D。 2．把 本不同的书平均分成 堆（堆与堆不加区分），共有多少种分法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先分给'甲、乙、丙'再除以堆的全排列： 种。故选：B。 3．方程 的非负整数解共有多少组（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令 等转化为正整数解 ，故 组。故选：D。 4．从 人中选 人组成小组，其中甲、乙不能同时入选，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】间接法： 种。故选：C。 5．把 个不同的小球放入 个不同的盒子（允许有空盒），共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】每个球有 种放法，共 种。故选：D。 6．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】隔板法： 种。故选：C。 【巩固练习】 1．从 人中选 人，共有______种不同的选法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 2．从 名医生中选 人参加义诊，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 种。故选：B。 3．把 个相同的球放入 个不同的盒子，每盒至少一个，共有______种放法．　　　　 【答案】 【详解】隔板法： 种。故答案为：。 4．把 本不同的书分给甲、乙两人，一人得 本、另一人得 本，共有多少种分法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先定谁得 本（ 种），再为他选书 种，共 种。故选：D。 5．方程 的正整数解共有______组．　　　　 【答案】 【详解】隔板法： 组。故答案为：。 6．从 名男生、 名女生中选 人，恰有 名男生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 种。故选：A。 7．把 人平均分成 组（组与组不加区分），共有______种分法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 8．把 个相同的小球放入 个不同的盒子（允许有空盒），共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先每盒放入 个转化为'至少 个'： 的正整数解个数 种。故选：D。 题型四　排列组合综合（涂色、错位、多面手） 【方法与技巧】 涂色问题按'相邻关系'分步：先涂一个，再依次涂与它相邻的区域，遇到'回头相邻'要分类讨论。 错位排列记结论：，，，递推 。 多面手问题（某人会多项工作）按'多面手被分配到哪一项'分类，避免重复计数。 综合题先识别模型（捆绑／插空／隔板／涂色／错位），再套对应方法，模型识别比硬算重要。 【例题精讲】 1．用红、黄、蓝 种颜色给一个三角形的三个顶点涂色，要求任意两个顶点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三角形三个顶点两两相邻，故三色全用且互不相同，共 种。故选：A。 2． 个元素的错位排列（每个元素都不在原来的位置上）共有多少种（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】错位排列数 （可由 推得 、）。故选：C。 3．某小组有 名男生、 名女生，从中选 人参加活动，要求至少有 名女生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】间接法： 种。故选：D。 【变式训练】 1．用 种颜色给一个正方形的四个顶点 （依次相邻）涂色，要求相邻顶点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 有 种， 有 种；若 与 同色（ 种）则 有 种；若 与 不同色（ 种）则 有 种。共 种。故选：C。 2． 个元素的错位排列共有多少种（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 种。故选：A。 3．某班有 名男生、 名女生，现要选 人组成代表队，要求男女都有，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】间接法： 种。故选：C。 4．从 名志愿者中选 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，共有多少种安排方法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】四项工作各不相同，为排列 种。故选：D。 5． 位老师与 位学生排成一排，要求老师与学生相间排列，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先定是'师生师生…'还是'生师生师…'共 种，再各排 种，共 种。故选：A。 6．用 种颜色给同一条直线上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第 点 种，其后每点只要与前一个不同，各 种，共 种。故选：A。 【巩固练习】 1． 个元素的错位排列共有______种．　　　　 【答案】 【详解】（三个元素错位只有两种轮换）。故答案为：。 2．用 种颜色给圆环上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第 点 种、第 点 种；若第 点与第 点同色（ 种）则第 点有 种；若不同色（ 种）则第 点有 种，共 种。故选：D。 3．从 人中选 人排成一排，共有______种不同的排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 4．用红、黄、蓝、绿 种颜色给同一条直线上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第 点 种，其后各点 种，共 种。故选：A。 5． 个元素的错位排列共有______种．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 6．某队有 名队员，从中选 人并排定出场顺序，共有多少种安排方法（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 种。故选：D。 7．用 种颜色给圆环上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有______种涂法．　　　　 【答案】 【详解】只能交替涂色，共 种。故答案为：。 8．从 名男生、 名女生中选 人，要求男生、女生都至少有 人，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】间接法： 种。故选：C。 题型五　二项式定理（通项、系数和、赋值法、系数最值项） 【方法与技巧】 通项公式： 的第 项为 ，求指定项先令指数相等解出 。 赋值法：令字母取特殊值求系数和，如 令 得各项系数和 ，令 可得奇偶项系数关系。 区分'二项式系数'与'项的系数'：前者是 ，后者还要乘上字母前面的数字因数。 系数最大项的解法：设第 项系数最大，由它不小于前后两项列出不等式组解出 ；二项式系数最大项在中间（ 为偶数时唯一，奇数时有两项）。 【例题精讲】 1． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】通项 ，取 得 。故选：C。 2． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通项 ，取 得 。故选：D。 3．若 展开式中各项系数之和为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 得 ，故 。故选：B。 【变式训练】 1． 的展开式中的常数项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通项 ，令 得 ，常数项为 。故选：A。 2． 的展开式中，二项式系数最大的项是第几项（　　） A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项 【答案】B 【详解】 为偶数，中间项 的二项式系数 最大，是第 项。故选：B。 3．若 展开式中所有二项式系数之和为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二项式系数之和为 ，故 。故选：B。 4． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通项 ，取 得 。故选：D。 5． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】通项 ，令 得 ，系数为 。故选：C。 6． 的展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 得 。故选：A。 【巩固练习】 1． 的展开式中 的系数为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 2． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通项 ，取 得 。故选：A。 3． 的展开式中各项系数之和为______．　　　　 【答案】 【详解】令 得 。故答案为：。 4． 的展开式中的常数项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】通项 ，令 得常数项 。故选：C。 5． 的展开式中，二项式系数最大的项是第______项．　　　　 【答案】 【详解】 为偶数，中间项 最大，是第 项。故答案为：。 6． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】通项 ，取 得 。故选：B。 7． 的展开式中 的系数为______．　　　　 【答案】 【详解】通项 ，取 即 ，得 。故答案为：。 8． 的展开式中，若第 项与第 项的二项式系数相等，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 及组合数的对称性得 。故选：D。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，则从甲地经乙地到丙地共有多少种走法（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 种。故选：B。 2． 人排成一排，甲、乙必须相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 种。故选：A。 3．从 人中选 人参加活动，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 种。故选：C。 4．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每盒至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】隔板法： 种。故选：A。 5． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 6． 个元素的错位排列共有多少种（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 种。故选：B。 7． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】通项 ，取 得 。故选：B。 8．由 组成没有重复数字的三位数，共可组成多少个（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 个。故选：D。 【多项选择题】 9．关于两个计数原理，下列说法正确的有（　　） A．分类完成一件事用加法原理 B．分步完成一件事用乘法原理 C．每一类办法都能独立完成这件事时适用加法原理 D．分类与分步可以随意互换 【答案】ABC 【详解】A、B、C 均是两个计数原理的基本含义；分类与分步不能互换，D 错误。故选：ABC。 10．关于排列数与组合数，下列等式正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A、B、C 均正确；，D 错误。故选：ABC。 11．关于二项式定理，下列说法正确的有（　　） A． 的通项为 B．二项式系数之和为 C．求 展开式各项系数之和可令 D．二项式系数最大的项一定只有一项 【答案】ABC 【详解】A、B、C 均正确；当 为奇数时中间有两项的二项式系数并列最大，D 错误。故选：ABC。 【填空题】 12． 人排成一排，共有______种不同的排法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 13．从 人中选 人，共有______种不同的选法．　　　　 【答案】 【详解】 种。故答案为：。 14． 的展开式中 的系数为______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题22　计数原理与二项式定理 群哥高中数学辅导资料 专题22　计数原理与二项式定理 一、核心知识 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列数 组合数 捆绑法 插空法 缩倍法 隔板法 均匀分组 错位排列 二项式定理 赋值法 二、题型精练 题型一　分类加法与分步乘法计数原理 【方法与技巧】 分类用加法、分步用乘法：完成一件事有几类互不重叠的办法就相加，需要分成几步依次完成就相乘。 判断是分类还是分步，看'做完这件事'：每一类办法都能独立完成，是分类；必须各步都做完才算完成，是分步。 有重复元素的排列要除以重复元素个数的阶乘；有特殊位置（如首位不能为 ）优先安排特殊位置。 数字问题牢记'先定首位、后定其余'，含 的组数问题是最容易多算一倍的陷阱。 【例题精讲】 1．从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，则从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．书架上有 本不同的数学书和 本不同的语文书，从中任取一本，共有多少种不同的取法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．从 中任取两个不同的数字组成一个两位数，共可组成多少个不同的两位数（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1． 名学生报名参加 个不同的兴趣小组，每人限报一个，共有多少种不同的报名方法（　　） A． B． C． D． 2．由 组成没有重复数字的三位数，共可组成多少个（　　） A． B． C． D． 3． 个人排成一排，其中甲必须站在排头，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 4．从 名男生、 名女生中各选 人，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 5．某密码由 位数字组成，每位可从 到 中任选，共可设置多少个不同的密码（　　） A． B． C． D． 6．从 到 有 条路，从 到 有 条路，另有从 直达 的 条路，则从 到 共有多少种走法（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 封信投入 个不同的信箱，共有______种不同的投法．　　　　 2．由 组成没有重复数字且个位为偶数的三位数，共有多少个（　　） A． B． C． D． 3． 个人排成一排照相，共有______种不同的排法．　　　　 4．从 个不同的元素中每次取出 个排成一列，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 5． 名学生到 个不同的工厂实习，每人去一个工厂，共有______种不同的安排方法．　　　　 6．从 名学生中选 人分别担任班长和副班长，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 7．由 组成没有重复数字的四位数，共有______个．　　　　 8．从 个不同的红球和 个不同的白球中任取一个球，共有多少种不同的取法（　　） A． B． C． D． 题型二　排列问题（相邻、不相邻、定序） 【方法与技巧】 相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素捆成一个整体先排，再排内部，最后相乘。 不相邻问题用插空法：先排其余元素，再把不相邻的元素插到形成的空位里。 定序问题用除法（缩倍法）： 个元素中某 个元素顺序固定，排列数为 。 特殊元素优先法：有绝对限制条件的元素（或位置）先安排，再安排其余，能大幅减少讨论量。 【例题精讲】 1． 人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2． 人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻，共有多少种不同的排法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3． 人排成一排，甲、乙、丙三人按'甲在前、乙居中、丙在后'的顺序排列（不一定相邻），共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1． 名男生、 名女生排成一排， 名女生必须相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 2． 人排成一排，甲不站在排头也不站在排尾，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 3． 人排成一排，甲与乙相邻、丙与丁也相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 4． 人排成一排，甲必须站在正中间，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 5． 人排成一排，甲、乙、丙三人的相对顺序一定，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 6． 人排成一排，甲不站在两端，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 人排成一排，甲、乙两人必须相邻，共有______种排法．　　　　 2． 人排成一排，甲、乙两人不能相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 3． 名男生、 名女生排成一排，女生全相邻，共有______种排法．　　　　 4． 人排成一排，甲必须排在乙的左边（不一定相邻），共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 5． 人排成一排，甲、乙、丙三人的相对顺序一定，共有______种排法．　　　　 6． 人排成一排，甲不排在第 位，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 7． 人排成一排，甲在乙的左边且两人相邻，共有______种排法．　　　　 8．由数字 组成没有重复数字的五位数，其中 与 相邻的共有多少个（　　） A． B． C． D． 题型三　组合问题（分组分配、相同元素、隔板法） 【方法与技巧】 区分'分组'与'分配'：只分组不分配要除以组数的阶乘（均匀分组），分组后再分给人则不用除。 相同元素放入不同盒子用隔板法： 个相同元素分给 个对象、每个至少一个，方法数为 。 允许空盒时先'借'元素：每盒先放一个使问题转化为'至少一个'，再用隔板法。 '至少'问题多用间接法（总数减去不满足的）或用分类枚举，注意两类计数不要重复。 【例题精讲】 1．从 名学生中选 人参加比赛，共有多少种不同的选法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．把 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 本，共有多少种不同的分法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．从 名男生、 名女生中选 人，要求至少有 名女生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 2．把 本不同的书平均分成 堆（堆与堆不加区分），共有多少种分法（　　） A． B． C． D． 3．方程 的非负整数解共有多少组（　　） A． B． C． D． 4．从 人中选 人组成小组，其中甲、乙不能同时入选，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 5．把 个不同的小球放入 个不同的盒子（允许有空盒），共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 6．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．从 人中选 人，共有______种不同的选法．　　　　 2．从 名医生中选 人参加义诊，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 3．把 个相同的球放入 个不同的盒子，每盒至少一个，共有______种放法．　　　　 4．把 本不同的书分给甲、乙两人，一人得 本、另一人得 本，共有多少种分法（　　） A． B． C． D． 5．方程 的正整数解共有______组．　　　　 6．从 名男生、 名女生中选 人，恰有 名男生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 7．把 人平均分成 组（组与组不加区分），共有______种分法．　　　　 8．把 个相同的小球放入 个不同的盒子（允许有空盒），共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 题型四　排列组合综合（涂色、错位、多面手） 【方法与技巧】 涂色问题按'相邻关系'分步：先涂一个，再依次涂与它相邻的区域，遇到'回头相邻'要分类讨论。 错位排列记结论：，，，递推 。 多面手问题（某人会多项工作）按'多面手被分配到哪一项'分类，避免重复计数。 综合题先识别模型（捆绑／插空／隔板／涂色／错位），再套对应方法，模型识别比硬算重要。 【例题精讲】 1．用红、黄、蓝 种颜色给一个三角形的三个顶点涂色，要求任意两个顶点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2． 个元素的错位排列（每个元素都不在原来的位置上）共有多少种（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．某小组有 名男生、 名女生，从中选 人参加活动，要求至少有 名女生，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．用 种颜色给一个正方形的四个顶点 （依次相邻）涂色，要求相邻顶点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 2． 个元素的错位排列共有多少种（　　） A． B． C． D． 3．某班有 名男生、 名女生，现要选 人组成代表队，要求男女都有，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 4．从 名志愿者中选 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，共有多少种安排方法（　　） A． B． C． D． 5． 位老师与 位学生排成一排，要求老师与学生相间排列，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 6．用 种颜色给同一条直线上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 个元素的错位排列共有______种．　　　　 2．用 种颜色给圆环上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 3．从 人中选 人排成一排，共有______种不同的排法．　　　　 4．用红、黄、蓝、绿 种颜色给同一条直线上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有多少种涂法（　　） A． B． C． D． 5． 个元素的错位排列共有______种．　　　　 6．某队有 名队员，从中选 人并排定出场顺序，共有多少种安排方法（　　） A． B． C． D． 7．用 种颜色给圆环上的 个点涂色，要求相邻两点颜色不同，共有______种涂法．　　　　 8．从 名男生、 名女生中选 人，要求男生、女生都至少有 人，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 题型五　二项式定理（通项、系数和、赋值法、系数最值项） 【方法与技巧】 通项公式： 的第 项为 ，求指定项先令指数相等解出 。 赋值法：令字母取特殊值求系数和，如 令 得各项系数和 ，令 可得奇偶项系数关系。 区分'二项式系数'与'项的系数'：前者是 ，后者还要乘上字母前面的数字因数。 系数最大项的解法：设第 项系数最大，由它不小于前后两项列出不等式组解出 ；二项式系数最大项在中间（ 为偶数时唯一，奇数时有两项）。 【例题精讲】 1． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．若 展开式中各项系数之和为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1． 的展开式中的常数项为（　　） A． B． C． D． 2． 的展开式中，二项式系数最大的项是第几项（　　） A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项 3．若 展开式中所有二项式系数之和为 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 5． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 6． 的展开式中所有项的系数之和为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的展开式中 的系数为______．　　　　 2． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 3． 的展开式中各项系数之和为______．　　　　 4． 的展开式中的常数项为（　　） A． B． C． D． 5． 的展开式中，二项式系数最大的项是第______项．　　　　 6． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 7． 的展开式中 的系数为______．　　　　 8． 的展开式中，若第 项与第 项的二项式系数相等，则 等于（　　） A． B． C． D． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，则从甲地经乙地到丙地共有多少种走法（　　） A． B． C． D． 2． 人排成一排，甲、乙必须相邻，共有多少种排法（　　） A． B． C． D． 3．从 人中选 人参加活动，共有多少种选法（　　） A． B． C． D． 4．把 个相同的小球放入 个不同的盒子，每盒至少一个，共有多少种放法（　　） A． B． C． D． 5． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 6． 个元素的错位排列共有多少种（　　） A． B． C． D． 7． 的展开式中 的系数为（　　） A． B． C． D． 8．由 组成没有重复数字的三位数，共可组成多少个（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．关于两个计数原理，下列说法正确的有（　　） A．分类完成一件事用加法原理 B．分步完成一件事用乘法原理 C．每一类办法都能独立完成这件事时适用加法原理 D．分类与分步可以随意互换 10．关于排列数与组合数，下列等式正确的有（　　） A． B． C． D． 11．关于二项式定理，下列说法正确的有（　　） A． 的通项为 B．二项式系数之和为 C．求 展开式各项系数之和可令 D．二项式系数最大的项一定只有一项 【填空题】 12． 人排成一排，共有______种不同的排法．　　　　 13．从 人中选 人，共有______种不同的选法．　　　　 14． 的展开式中 的系数为______．　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $