专题01 集合与常用逻辑用语 专项训练-2027届高考数学一轮复习精讲精练（新高考全国卷）

专题01　集合与常用逻辑用语 2027届高考数学一轮复习专项训练 专题01　集合与常用逻辑用语 一、核心知识 1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。由方程解集求参数后，必须回代检验互异性（相同的元素只能写一次）。 2．元素与集合的关系只有两种： 或 ；判断标准是元素是否满足集合的特征描述。 3．常用数集记法： 自然数集、 或 正整数集、 整数集、 有理数集、 实数集。 4．集合的表示：列举法（元素个数少且有限）、描述法 （通性通法）、图示法（韦恩图与数轴，运算题首选）。 5．子集个数结论： 元集合共有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 6． 的两条性质： 是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集； 有两种情形——方程无解或条件范围不重叠，含参问题先讨论 。 7．交并补： 且 ， 或 ， 且 。 8．运算性质：，，，；，；。 9．运算工具的选择：离散集合用列举或韦恩图（可数元素个数），连续集合画数轴——端点开闭先标后看，一个空心一个实心。 10．充分与必要的集合观点： 对应集合 ， 对应集合 ，若 则 是 的充分条件； 时互为充要条件；互不包含则既不充分也不必要。 11．含量词命题的否定：改量词、否结论——“，”的否定是“，”，反之亦然；命题与其否定一真一假。 二、题型精练 题型一　集合的交、并、补运算 【方法与技巧】 交并补运算三板斧：离散集合用列举或韦恩图，连续集合一律画数轴——先把每个集合的区间画上去，端点是开是闭分别用空心圈和实心点标清，再看重叠。 求补集先确认全集： 的元素在 里但不在 里；不等式型补集别忘改不等号方向，端点开闭跟着翻转。 含参运算题最后一步必须回代检验：把参数值代回原集合，验证元素互异性与端点归属，这一步不做几乎必错。 【例题精讲】 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 2．已知全集 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，则 　　　　 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B．空集 C． D． 5．已知集合 ，，则 （　　） A．空集 B． C． D． 6．已知集合 ，，则 　　　　 【巩固练习】 1．已知集合 ， 或 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知全集 ，，则 　　　　 3．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．某班同学参加数学与物理两个竞赛小组，已知参加数学小组的有 18 人，参加物理小组的有 15 人，两个小组都参加的有 8 人，两个小组都没有参加的有 6 人，则该班的总人数为（　　） A．33 B．31 C．29 D．25 6．已知全集 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 且 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D．空集 题型二　集合间的关系与子集个数 【方法与技巧】 判子集用定义：任取 ，推出 ，则 ；数轴上看就是 的区间被 完全盖住，端点要单独比。 含参子集问题第一反应讨论空集： 永远成立， 常常是漏掉的那组解。 元集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集，已知子集个数反求 就用它。 【例题精讲】 1．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．6 B．7 C．16 D．8 2．已知集合 ，，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，若 ，则实数 的值组成的集合为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合 有两个不相等的实数根，且 ，则满足条件的实数 的值为　　　　 3．已知集合 ，则 的非空真子集个数为（　　） A．31 B．32 C．29 D．30 4．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 5．已知集合 ，，若 ，则实数 的值组成的集合为（　　） A． B． C． D． 6．已知集合 ，则满足 的集合 的个数为　　　　 【巩固练习】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 2．已知集合 ，则 的真子集个数为　　　　 3．已知集合 ，，则 的子集个数为（　　） A．4 B．2 C．3 D．8 4．已知集合 ，，则下列关系一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．若集合 为空集，则实数 的取值范围是　　　　 6．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 题型三　充分条件与必要条件的判定与求参 【方法与技巧】 充要条件的标准流程：先把 、 都化成最简形式，再翻译成集合—— 对应集合 、 对应集合 ， 是 的充分条件就是 。 小范围推大范围：谁的范围小谁就是充分的一方；两个区间互相推不出时，取一个反例即可下结论“既不充分也不必要”。 由充要关系求参数：列包含关系解出范围后，端点能不能取等必须单独代入验证——差一个等号，全题作废。 【例题精讲】 1． 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　 　 　 2．“四边形的两条对角线互相垂直”是“这个四边形是菱形”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 　 　 　 3．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　　　　 4． 是 且 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 ，，则 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 ，（），若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是　　　　 【巩固练习】 1． 且 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合 、 不为空集，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 4．已知 ，，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　　　　 5．“函数 的图象与 轴有两个不同交点”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 7．已知 ，（），若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是　　　　 题型四　全称量词与存在量词命题的否定 【方法与技巧】 含量词命题的否定就一招：改量词、否结论——全称 与存在 互换，结论的不等号取反（ 变 ， 变 ），其余文字原样保留。 判断含量词命题的真假：全称命题举一个反例即可判假，证真需恒成立；存在命题找到一个满足的值即真，判假需证恒不成立。 由真假求参数：全称命题为真转成“最小值大于等于”型，存在命题为真转成“最大值大于等于”型，都是最值问题。 【例题精讲】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 　 　 　 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 　 　 　 3．命题“，”的真假为（　　） A．假命题 B．真命题 C．其否定为真命题 D．无法判断 　 　 　 【变式训练】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是　　　　 3．命题“，”的真假为（　　） A．假命题 B．真命题 C．其否定为假命题 D．无法判断 4．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 6．已知命题 “，”，则下列说法正确的是（　　） A． 是真命题 B． 的否定是假命题 C． 与 的否定同真 D． 的否定是真命题 【巩固练习】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是　　　　 3．若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 6．给出下列命题：①“，”；②“，”；③“，”．其中真命题的个数是（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 7．命题“，”的否定及其真假为（　　） A．，，真命题 B．，，假命题 C．，，真命题 D．，，假命题 8．若命题 “，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 5．已知命题 ，，则 是 的（　　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 6．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．已知集合 ，，若 ，则实数 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 10．下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B． 是 的充分不必要条件 C．命题“，”为真命题 D． 是 的充分不必要条件 11．已知全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【填空题】 12．已知全集 ，集合 ，，则 　　　　 13．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 14．命题“，”的否定是　　　　（填否定后的命题，并判断其真假）　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题01　集合与常用逻辑用语 2027届高考数学一轮复习专项训练 专题01　集合与常用逻辑用语 一、核心知识 1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。由方程解集求参数后，必须回代检验互异性（相同的元素只能写一次）。 2．元素与集合的关系只有两种： 或 ；判断标准是元素是否满足集合的特征描述。 3．常用数集记法： 自然数集、 或 正整数集、 整数集、 有理数集、 实数集。 4．集合的表示：列举法（元素个数少且有限）、描述法 （通性通法）、图示法（韦恩图与数轴，运算题首选）。 5．子集个数结论： 元集合共有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 6． 的两条性质： 是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集； 有两种情形——方程无解或条件范围不重叠，含参问题先讨论 。 7．交并补： 且 ， 或 ， 且 。 8．运算性质：，，，；，；。 9．运算工具的选择：离散集合用列举或韦恩图（可数元素个数），连续集合画数轴——端点开闭先标后看，一个空心一个实心。 10．充分与必要的集合观点： 对应集合 ， 对应集合 ，若 则 是 的充分条件； 时互为充要条件；互不包含则既不充分也不必要。 11．含量词命题的否定：改量词、否结论——“，”的否定是“，”，反之亦然；命题与其否定一真一假。 二、题型精练 题型一　集合的交、并、补运算 【方法与技巧】 交并补运算三板斧：离散集合用列举或韦恩图，连续集合一律画数轴——先把每个集合的区间画上去，端点是开是闭分别用空心圈和实心点标清，再看重叠。 求补集先确认全集： 的元素在 里但不在 里；不等式型补集别忘改不等号方向，端点开闭跟着翻转。 含参运算题最后一步必须回代检验：把参数值代回原集合，验证元素互异性与端点归属，这一步不做几乎必错。 【例题精讲】 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】并集取两个集合的所有元素并去重：公共元素 、 只写一次，故 。故选：D. 2．已知全集 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先把全集列出来：，去掉 中的 与 ，得 。故选：A. 3．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数轴法： 从 （实心）到 （空心）， 从 （空心）到 （实心），重叠部分左端取 的开端点 、右端取 的开端点 ，即 。故选：B. 【变式训练】 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数轴取重叠：左端 的 为实心（可取），右端 的 为实心（可取），故 。故选：D. 2．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，与 取交集，较小范围的右开区间胜出：。故选：B. 3．已知集合 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】解方程得 ，其元素都已在 中，故 。故答案为：. 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B．空集 C． D． 【答案】B 【详解】，，两个集合没有公共元素，故 。故选：B. 5．已知集合 ，，则 （　　） A．空集 B． C． D． 【答案】A 【详解】 为偶数集、 为奇数集，一个整数不可能既是偶数又是奇数，故 。故选：A. 6．已知集合 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】，与 取公共元素得 。故答案为：. 【巩固练习】 1．已知集合 ， 或 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数轴上 与 的区间合起来无缝隙、无遗漏（ 与 都被盖住），故 。故选：B. 2．已知全集 ，，则 　　　　 【答案】 或 【详解】补集在全集范围内取反：去掉 后剩 与 ，端点开闭跟着翻转（ 变开端、 变闭端）。故答案为： 或 . 3．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解 得 ，与 取重叠得 。故选：C. 4．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，并集取全部元素去重得 。故选：D. 5．某班同学参加数学与物理两个竞赛小组，已知参加数学小组的有 18 人，参加物理小组的有 15 人，两个小组都参加的有 8 人，两个小组都没有参加的有 6 人，则该班的总人数为（　　） A．33 B．31 C．29 D．25 【答案】B 【详解】韦恩图：只数学 人，只物理 人，两者都参加 人，合计 人参加竞赛；加上都不参加的 人，全班 人。故选：B. 6．已知全集 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 且 【答案】B 【详解】不等号取反时端点开闭跟着翻转： 的补集是 ，故 ， 归入补集。故选：B. 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 即 ： 的右端点 （不含）必须不在 之外，即 或 均可让 被盖住，故 ；若 ， 恰好盖住 ，等号成立。故选：C. 8．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D．空集 【答案】B 【详解】任何整数除以 的余数为 、 或 ，而余 即 ，归入 型，故 与 恰好瓜分全部整数，。故选：B. 题型二　集合间的关系与子集个数 【方法与技巧】 判子集用定义：任取 ，推出 ，则 ；数轴上看就是 的区间被 完全盖住，端点要单独比。 含参子集问题第一反应讨论空集： 永远成立， 常常是漏掉的那组解。 元集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集，已知子集个数反求 就用它。 【例题精讲】 1．已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．6 B．7 C．16 D．8 【答案】D 【详解】3 元集合的子集个数为 （每个元素有“取”与“不取”两种选择）。故选：D. 2．已知集合 ，，则 与 的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数轴上 完全盖住 且两端均有剩余，故 是 的真子集 。故选：C. 3．已知集合 ，，若 ，则实数 的值组成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先讨论空集： 时方程无解，，满足 ； 时 ，要落在 内需 ，即 。综上 。故选：A. 【变式训练】 1．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，： 的元素 、 都不满足 的条件，故 ；两端点恰在 外， 也不是 的子集。故选：A. 2．已知集合 有两个不相等的实数根，且 ，则满足条件的实数 的值为　　　　 【答案】2 【详解】由韦达定理 ，两根都在 中，只能为 与 ，故 ；此时方程为 ，根 、 不相等，满足题设。故答案为：2. 3．已知集合 ，则 的非空真子集个数为（　　） A．31 B．32 C．29 D．30 【答案】D 【详解】5 元集合有 个子集，去掉自身与空集得非空真子集 个。故选：D. 4．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【详解】先讨论空集： 即 时 ，成立； 时需 且 ，即 （ 时 成立， 时 成立）。综上 或 。故选：B. 5．已知集合 ，，若 ，则实数 的值组成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。先讨论空集： 时 ，成立； 时 ，需 或 ，即 或 。综上 。故选：B. 6．已知集合 ，则满足 的集合 的个数为　　　　 【答案】3 【详解】，； 必须包含 、且不是 ，其余元素取自 任意组合，有 、、 共 3 个。故答案为：3. 【巩固练习】 1．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【详解】。 为开区间，非空，无需讨论空集； 需 且 ，即 ；端点代入验证： 时 成立， 时 成立，故等号可取。故选：C. 2．已知集合 ，则 的真子集个数为　　　　 【答案】3 【详解】，2 元集合有 个子集，去掉自身得 个真子集。故答案为：3. 3．已知集合 ，，则 的子集个数为（　　） A．4 B．2 C．3 D．8 【答案】B 【详解】 内的偶数只有 、，故 ，2 元集合有 个子集。故选：B. 4．已知集合 ，，则下列关系一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 的元素既在 里又在 里，即在 里，故 ；反向包含与相等都未必成立。故选：C. 5．若集合 为空集，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】方程无实根 。故答案为：. 6．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 非空即 与 有公共元素： 要够到 的起点 的右侧，只需 ； 时 与 无公共元素，等号取不到。故选：A. 7．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，并集取全部元素去重得 （公共元素 只写一次）。故选：D. 8．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 即两区间无公共元素： 的右端 （可取）必须落在 的左端 （可取）的左侧，若 则 且 ，交集非空，故 ，等号取不到。故答案为：. 题型三　充分条件与必要条件的判定与求参 【方法与技巧】 充要条件的标准流程：先把 、 都化成最简形式，再翻译成集合—— 对应集合 、 对应集合 ， 是 的充分条件就是 。 小范围推大范围：谁的范围小谁就是充分的一方；两个区间互相推不出时，取一个反例即可下结论“既不充分也不必要”。 由充要关系求参数：列包含关系解出范围后，端点能不能取等必须单独代入验证——差一个等号，全题作废。 【例题精讲】 1． 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 或 。 可推出 ；反之取 ， 成立但 不成立，推不回去，故为充分不必要条件。故选：A. 2．“四边形的两条对角线互相垂直”是“这个四边形是菱形”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】菱形的对角线互相垂直，即“菱形”能推出“对角线垂直”；但对角线垂直的四边形未必是菱形（如对角线垂直的等腰梯形不是菱形），故“对角线垂直”是“菱形”的必要不充分条件。故选：C. 3．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】翻译成集合：。充分性要求 ； 时两集合相等，成为充要条件，不合题意，舍去等号。综上 。故选：D. 【变式训练】 1． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 成立；反之 时 成立但 ，推不回去，故为必要不充分条件。故选：A. 2． 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【详解】取 ，： 成立而 ，推不过去；取 ，： 成立而 ，反向也推不过去。两个方向都有反例，故为既不充分也不必要条件。故选：C. 3．已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】翻译成集合：，需 ； 时两集合相等，是充要条件，不合题意。综上 。故答案为：. 4． 是 且 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 且 时同号相乘必为正，可推出 ；反之 、 同负时 也成立，推不回去，故为必要不充分条件。故选：B. 5．已知 ，，则 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 的解为 或 。 可推出方程成立；反之 时方程成立但 ，推不回去，故 是 的充分不必要条件。故选：B. 6．已知 ，（），若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 是 的必要不充分条件，即 且 ，翻译成集合为 ：左端点相同，右端点需 ； 时两集合相等，成为充要条件，不合题意，舍去等号。综上 。故答案为：. 【巩固练习】 1． 且 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 且 时必有 ；反之取 ，， 成立但不满足 ，推不回去，故为充分不必要条件。故选：C. 2．已知集合 、 不为空集，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】；。两者都等价于 ，故互为充要条件。故选：C. 3． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】 时 成立；反之 时 也成立但 不成立，推不回去，故为充分不必要条件。故选：D. 4．已知 ，，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】翻译成集合：，需 ； 时 为真子集，等号可取。故答案为：. 5．“函数 的图象与 轴有两个不同交点”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】抛物线与 轴有两个不同交点 ，两者互相推出，互为充要条件。故选：B. 6．“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（　　） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】正方形一定是矩形；矩形未必是正方形（长宽不等的矩形不是正方形），故为充分不必要条件。故选：D. 7．已知 ，（），若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 是 的必要不充分条件，即 且 ，翻译成集合 ：右端点 天然满足，左端点需 （ 时 被 盖住，成立）； 显然（ 不在 内）。综上 。故选：C. 8．已知 ，，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】解 得 。 即 ，需 ； 时 成立，等号可取。故答案为：. 题型四　全称量词与存在量词命题的否定 【方法与技巧】 含量词命题的否定就一招：改量词、否结论——全称 与存在 互换，结论的不等号取反（ 变 ， 变 ），其余文字原样保留。 判断含量词命题的真假：全称命题举一个反例即可判假，证真需恒成立；存在命题找到一个满足的值即真，判假需证恒不成立。 由真假求参数：全称命题为真转成“最小值大于等于”型，存在命题为真转成“最大值大于等于”型，都是最值问题。 【例题精讲】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”。故选：C. 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”（由 知该否定恰为真命题）。故选：A. 3．命题“，”的真假为（　　） A．假命题 B．真命题 C．其否定为真命题 D．无法判断 【答案】B 【详解】 对一切实数恒成立，故原命题为真命题（其否定为假）。故选：B. 【变式训练】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”（注意 且 ，原命题为真，故其否定为假命题）。故选：A. 2．命题“，”的否定是　　　　 【答案】， 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”（该否定为假命题，因为 恒成立）。故答案为：，. 3．命题“，”的真假为（　　） A．假命题 B．真命题 C．其否定为假命题 D．无法判断 【答案】A 【详解】代入 ：，不满足 ，全称命题找到一个反例即为假命题。故选：A. 4．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在命题为真即 有解，而 的最小值为 （ 处取到），只需 ，即 。故选：C. 5．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】全称命题为真即 恒成立，需判别式 ，解得 。故答案为：. 6．已知命题 “，”，则下列说法正确的是（　　） A． 是真命题 B． 的否定是假命题 C． 与 的否定同真 D． 的否定是真命题 【答案】D 【详解】 恒成立，不存在使左边小于 的实数， 为假命题；命题与其否定一真一假，故 的否定是真命题。故选：D. 【巩固练习】 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”（如 时 ，该否定为真）。故选：D. 2．命题“，”的否定是　　　　 【答案】， 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”（该否定为假命题，因为 满足 ）。故答案为：，. 3．若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在命题为假即 无解，即 恒成立； 的最小值为 ，需 ，即 。故选：A. 4．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全称命题为真即 在 上恒成立， 在该区间上的最大值为 （ 处取到），故 ，端点等号可取。故选：C. 5．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 在 上恒成立，即 恒成立； 在 上无最小值、趋近于 但取不到 ，故 （ 时 使 成立）。故答案为：. 6．给出下列命题：①“，”；②“，”；③“，”．其中真命题的个数是（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】①中 ，无解，假；②中 且开口向上，恒成立，真；③中 有实根 、，真。真命题共 2 个。故选：A. 7．命题“，”的否定及其真假为（　　） A．，，真命题 B．，，假命题 C．，，真命题 D．，，假命题 【答案】D 【详解】否定为“，”。判断原命题： 时 ，两边同除以 得 ，恒成立，原命题为真，故其否定为假命题。故选：D. 8．若命题 “，”为真命题，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】存在命题为真即 有解： 时 恒正，无解； 时取 足够大即可使 （如 ），有解。故 。故答案为：. 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解 得 ，，数轴取重叠得 。故选：D. 2．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 中落在 里的整数只有 、，故 。故选：C. 3． 是 的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 或 。 能推出 ；反之 时 也成立但 不成立，故为充分不必要条件。故选：B. 4．已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】方程 必有解，。 时 ； 时 ； 取其他值时 ，不满足。故 或 。故选：C. 5．已知命题 ，，则 是 的（　　） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】 对应 ， 对应 ，两个区间互不包含：取 ， 成立而 不成立；取 ， 成立而 不成立，故互推都不行。故选：A. 6．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】改量词、否结论： 改 ， 改 ，得“，”。故选：A. 7．若命题“，”为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该命题为真即 在 上恒成立，而 在 上的最小值为 （ 处取到），故 ，端点等号可取。故选：D. 8．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 等价于 ，数轴上 的区间要被 盖住，只需起点 （ 时 ，成立）。故选：A. 【多项选择题】 9．已知集合 ，，若 ，则实数 的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】；，故 。 需 ： 时 ， 时 ，均满足； 或 时 含 之外的元素，舍去。故选：AB. 10．下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B． 是 的充分不必要条件 C．命题“，”为真命题 D． 是 的充分不必要条件 【答案】BCD 【详解】A 取 ，，，为假；B 中方程的根为 、， 可推出方程成立，反之 不满足 ，是充分不必要条件，真；C 中 恒成立，真；D 中 可推出 ，反之 不满足，真。故选：BCD. 11．已知全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】数轴上两区间首尾相接且无缝隙，并集为 ，A 真；重叠部分为 ，B 真； 不含 ，其补集含 ，即 ，C 真； 含 ，其补集不含 ，应为 ，D 错。故选：ABC. 【填空题】 12．已知全集 ，集合 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】，与 取交集得 。故答案为：. 13．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 即 。先讨论空集： 即 时 ，成立； 时需 且 ，即 且 ，矛盾，无解。综上 。故答案为：. 14．命题“，”的否定是　　　　（填否定后的命题，并判断其真假）　　　　 【答案】，，为真命题 【详解】改量词、否结论得“，”。因为 恒成立，方程无实根，故该否定为真命题。故答案为：，，为真命题. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $