指数函数与对数函数专项训练 -2027届高三数学一轮复习

指数函数与对数函数（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 考点汇总 考点：指数 考点：对数 考点：指数函数 考点：对数函数 考点：函数的应用（二） 跟踪训练 考点：指数 1．（2026•威海校级模拟）若实数x、y、z满足1+2x＝3y＝5z，则x、y、z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．y＞z＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y 2．（2025•长沙校级开学）已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 3．（2026秋•环县校级月考）下列等式正确的是（　　） A． B． C．（x﹣y）2＝x2+2xy+y2 D．a3b﹣ab3＝ab（a+b）（a﹣b） 4．（2025秋•泉州期中）已知x+x﹣1＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 考点：对数 5．（2026秋•天府新区校级月考）计算：　 　 ． 6．（2026秋•邵阳月考）计算：　 　 ． 7．（2026春•桃江县校级期末）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，a≠1时，ab＝N⇔b＝logaN．已知4x＝6，9y＝6．则　 　 ． 8．（2026春•南岗区校级期末）　 　 ． 考点：指数函数 9．（2025秋•红花岗区校级期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，且a≠1）． （1）若f（x）的图象经过点（0，2）和（1，6），求f（x）的解析式； （2）若a＞1，函数h（x）＝f（x）﹣2，若h（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M﹣m，求实数a的值． 10．（2025秋•河南校级期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16）． （1）试求f（x）的解析式，并求； （2）若，求实数m的值． 11．（2025秋•武进区校级期末）已知奇函数f（x）的定义域为R，其中g（x）为指数函数，且过定点（2，9）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 12．（2025秋•金凤区校级期末）已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x． （1）求f（x），g（x）的解析式； （2）若g（m）＝4（m＜0），求的值； （3）若函数h（x）＝2af（x）+[g（x）]2，求h（x）在x∈[0，1]上的最小值． 考点：对数函数 13．（2026秋•重庆月考）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，函数g（x）＝log2x+k． （1）求实数m的值； （2）记集合，集合B＝{y|y＝g（x），x∈[1，4]}，若A∩B＝B，求实数k的取值范围． 14．（2025秋•襄州区校级期末）已知集合，C＝{x|2m﹣1≤x≤3m+1}． （1）求（∁RB）∩A； （2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围． 15．（2026春•石嘴山校级月考）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）． （1）若f（x）在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求a的值； （2）若a＞1，求不等式f（2x）＞0的解集． 16．（2026春•常德校级月考）已知函数． （1）求g（x）的定义域； （2）若，求a的取值范围． 考点：函数的应用（二） 17．（2026春•旌阳区校级月考）某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度y（μg/mL）与时间t（h）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝kat（t≥2，a＞0，且a≠1，k，a是常数），如图所示： （1）根据图象写出y关于t的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于0.25μg/mL时才有效，求该药物的有效时长． 18．（2025秋•泉州期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产x（x∈N*）万件，需另投入可变成本G（x）万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润W（x）（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19．（2025秋•利州区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c． （1）若a＝1，b＝﹣12，c＝20，求不等式f（x）＜0的解集； （2）若a＞0，且，证明：函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点； （3）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值． 20．（2026春•曾都区校级同步）已知偶函数f（x）＝alog2（4x+1）+bx的最小值为1． （1）求实数a，b的值； （2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣sinx，证明：g（x）在区间（0，1）上存在唯一零点，且；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求实数c的取值范围． 指数函数与对数函数（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 参考答案与试题解析 1．（2026•威海校级模拟）若实数x、y、z满足1+2x＝3y＝5z，则x、y、z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．y＞z＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y 【解答】解：令1+2x＝3y＝5z＝t，得x＝log2（t﹣1），y＝log3t，z＝log5t，t＞1； 在同一直角坐标系内作出函数f（t）＝log2（t﹣1），g（t）＝log3t，h（t）＝log5t，t＞1的图像，如图所示： 则x，y，z分别是函数y′＝f（t），y′＝g（t），y′＝h（t），t＞1的图像与直线t＝a（a＞1）交点的纵坐标， 设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2， 由图像得，当1＜a＜x1时，y＞z＞x，当x1＜a＜x2时，y＞x＞z，当a＞x2时，x＞y＞z， 所以选项ABC是可能的，选项D不可能． 故选：D． 2．（2025•长沙校级开学）已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：设，则x3＝3， 所以， 又因为x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）， 即2＝（x﹣1）（x2+x+1），所以2＝（x﹣1）•2a， 则， 故（x﹣1）3+3（x﹣1）2+3（x﹣1）＝（x﹣1）[（x﹣1）2+3（x﹣1）+3]＝（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1＝2． 故选：B． 3．（2026秋•环县校级月考）下列等式正确的是（　　） A． B． C．（x﹣y）2＝x2+2xy+y2 D．a3b﹣ab3＝ab（a+b）（a﹣b） 【解答】解：|x|≠±x，A错误； （ab）5b10，B错误； （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误； a3b﹣ab3＝ab（a+b）（a﹣b），D正确． 故选：D． 4．（2025秋•泉州期中）已知x+x﹣1＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由x+x﹣1＝5，得x＞0， 则x﹣2+x﹣1＝3， 因此， 所以． 故选：C． 5．（2026秋•天府新区校级月考）计算：　11　 ． 【解答】解：原式 ＝lg100+32 ＝2+9 ． 故答案为：． 6．（2026秋•邵阳月考）计算：　　 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 7．（2026春•桃江县校级期末）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，a≠1时，ab＝N⇔b＝logaN．已知4x＝6，9y＝6．则　2　 ． 【解答】解：由题意，a＞0，a≠1时，ab＝N⇔b＝logaN， ∴4x＝6⇔x＝log46，9y＝6⇔y＝log96， ∴ ． 故答案为：2． 8．（2026春•南岗区校级期末）　4　 ． 【解答】解：原式＝3﹣log23•log32+log64+log69＝3﹣1+log636＝2+2＝4． 故答案为：4． 9．（2025秋•红花岗区校级期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，且a≠1）． （1）若f（x）的图象经过点（0，2）和（1，6），求f（x）的解析式； （2）若a＞1，函数h（x）＝f（x）﹣2，若h（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M﹣m，求实数a的值． 【解答】解：（1）f（0）＝a0+b＝1+b＝2，f（1）＝a+b＝6， 解得a＝5，b＝1，所以f（x）＝5x+1． （2）函数h（x）＝f（x）﹣2＝ax+b﹣2， 因为a＞1，所以h（x）为增函数，则h（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为M＝a+b﹣2， 最小值为mb﹣2， 则M﹣m＝（a+b﹣2）﹣（b﹣2）＝a， 解得． 10．（2025秋•河南校级期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16）． （1）试求f（x）的解析式，并求； （2）若，求实数m的值． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，16）， 所以f（4）＝a4＝16， 所以a＝2， 故f（x）＝2x，f（）； （2）若f（﹣2）， 所以m2﹣2m﹣2＝﹣2， 解得m＝0或m＝2． 11．（2025秋•武进区校级期末）已知奇函数f（x）的定义域为R，其中g（x）为指数函数，且过定点（2，9）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）设g（x）＝ax（a＞0且a≠1）， 因为过点（2，9），所以g（2）＝9，即a2＝9，解得a＝3， 则g（x）＝3x，所以f（x）， 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）＝0，则m﹣1＝0，解得m＝1， 则f（x）； （2）∵f′（x）0， ∴y＝f（x）在R上单调递减． 由f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0得， f（t2+2t+k）＞﹣f（﹣2t2+2t﹣5）， ∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（t2+2t+k）＞f（2t2﹣2t+5）， ∴t2+2t+k＜2t2﹣2t+5， ∴k＜t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1当t∈[0，5]恒成立， 而当t∈[0，5]时，1≤（t﹣2）2+1≤10， ∴k＜1， ∴实数k的取值范围（﹣∞，1）． 12．（2025秋•金凤区校级期末）已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x． （1）求f（x），g（x）的解析式； （2）若g（m）＝4（m＜0），求的值； （3）若函数h（x）＝2af（x）+[g（x）]2，求h（x）在x∈[0，1]上的最小值． 【解答】解：（1）因为奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x， 得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝2﹣x，联立得，f（x）（2x﹣2﹣x），g（x）（2x+2﹣x）． （2）由（1）得g（m）（2m+2﹣m）＝4，所以2m+2﹣m＝8， 因为，且m＜0，所以， 解得， 则 ． （3）由题意知，，x∈[0，1]． 令t＝2x﹣2﹣x，则，则， 当，即时，F（t）在上单调递减，； 当﹣2a≤0，即a≥0时，F（t）在上单调递增，h（x）min＝F（t）min＝F（0）＝1； 当0＜﹣2a，即a＜0时，h（x）min＝F（t）min＝F（﹣2a）＝1﹣a2． 综上：当a时，h（x）mina；当a＜0时，h（x）min＝1﹣a2； 当a≥0时，h（x）min＝1． 13．（2026秋•重庆月考）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，函数g（x）＝log2x+k． （1）求实数m的值； （2）记集合，集合B＝{y|y＝g（x），x∈[1，4]}，若A∩B＝B，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）幂函数在（0，+∞）上单调递减， 由题意得，m2+m﹣5＝1，解得m＝2或m＝﹣3， 当m＝2时，，在（0，+∞）上单调递减，满足题意； 当m＝﹣3时，f（x）＝x18，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不满足题意． 综上，m＝2． （2）由（1）知，，又，则． ∵g（x）＝log2x+k，x∈[1，4]，∴B＝[k，k+2]． ∵A∩B＝B，∴B⊆A， ∴，解得， k的取值范围为． 14．（2025秋•襄州区校级期末）已知集合，C＝{x|2m﹣1≤x≤3m+1}． （1）求（∁RB）∩A； （2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）不等式log2（4x）•log2（2x）≤12可化为：（2+log2x）•（1+log2x）≤12， 即， 解得﹣5≤log2x≤2， 所以，即， 所以， 不等式可化为， 所以﹣1＜x＜3， 所以A＝{x|﹣1＜x＜3}， 所以； （2）因为A∩C＝C，则C⊆A， 当C＝∅时，则2m﹣1＞3m+1， 解得m＜﹣2， 当C≠∅时，则， 解得， 综上：实数m的取值范围为：． 15．（2026春•石嘴山校级月考）已知函数f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）． （1）若f（x）在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求a的值； （2）若a＞1，求不等式f（2x）＞0的解集． 【解答】解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝loga（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减， 当x∈[2，9]时，f（x）min＝f（9）＝loga8，f（x）max＝f（2）＝0， 于是0﹣loga8＝3，因此a， 当a＞1时，f（x）＝loga（x﹣1）在（1，+∞）上单调递增， 当x∈[2，9]时，f（x）min＝f（2）＝0，f（x）max＝f（9）＝loga8， 于是loga8﹣0＝3，因此a＝2； 故a为2或． （2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增， f（2x）＞0⇔f（2x）＞f（2）⇔2x＞2，解得x＞1， 不等式的解集为{x|x＞1}． 16．（2026春•常德校级月考）已知函数． （1）求g（x）的定义域； （2）若，求a的取值范围． 【解答】解：（1）要使函数有意义，则，解得x＞1， 所以g（x）的定义域为（1，+∞）； （2）因为，所以f（x）min＞g（x）max， ，因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]， 所以当时，， 对于函数，， 若0＜a＜1，则函数y＝logax在定义域上单调递减，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 因为0＜a＜1，所以，无解； 若a＞1，则函数y＝logax在定义域上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以， 则，又a＞1，所解得； 综上，a的取值范围为． 17．（2026春•旌阳区校级月考）某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度y（μg/mL）与时间t（h）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝kat（t≥2，a＞0，且a≠1，k，a是常数），如图所示： （1）根据图象写出y关于t的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于0.25μg/mL时才有效，求该药物的有效时长． 【解答】解：（1）因为当0≤t＜2时，血液中的药物浓度y（μg/mL）与时间t（h）成正比，且过点（2，1）， 所以； 当t≥2时，y与t的函数关系式为y＝kat（t≥2，a＞0，且a≠1，k，a是常数）， 且过点（2，1）和（4，0.5）， 所以，所以，所以， 所以y关于t的函数表达式为：； （2）据测算，药物浓度不低于0.25μg/mL时才有效， 当0≤t＜2时，令，得0.5≤t＜2； 当t≥2时，令，得2≤t≤6； 因此当0.5≤t≤6时，药物有效，有效时长为6﹣0.5＝5.5h． 18．（2025秋•泉州期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产x（x∈N*）万件，需另投入可变成本G（x）万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． （1）求年利润W（x）（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解答】解：（1）当x＝10时，G（10）＝10×102+k•10＝16600，解得k＝1560， 由题意可知W（x）＝2000x﹣G（x）﹣2300， 当0＜x≤40时，W（x）＝2000x﹣（10x2+1560x）﹣2300＝﹣10x2+440x﹣2300， 当x＞40时，， 因此； （2）当0＜x≤40时，W（x）＝﹣10（x﹣22）2+2540， 开口向下，因此当x＝22时，W（x）max＝2540， 当x＞40时， ， 当且仅当，即x＝45时，等号成立，此时W（x）max＝2600， 因为2540＜2600，因此该组件的年产量为45万件时，利润最大为2600万元． 19．（2025秋•利州区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c． （1）若a＝1，b＝﹣12，c＝20，求不等式f（x）＜0的解集； （2）若a＞0，且，证明：函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点； （3）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣12，c＝20时，f（x）＝x2﹣12x+20， 不等式f（x）＜0，即x2﹣12x+20＜0，即（x﹣10）（x﹣2）＜0， 解得2＜x＜10， 所以不等式f（x）＜0的解集为（2，10）； （2）证明：因为f（x）＝ax2+bx+ca＞0且， 所以，则， 所以f（0）＝c，， 当c＞0时，f（0）＝c＞0，， 因为函数f（x）的图象是连续不断的且f（0）•f（1）＜0， 所以根据函数零点的存在性定理可知，函数f（x）在（0，1）内至少有一个零点， 而（0，1）⊆（0，2），所以函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点； 当c≤0时，f（2）＝a﹣c＞0，， 因为函数f（x）的图象是连续不断的且f（1）•f（2）＜0， 所以根据函数零点的存在性定理可知，函数f（x）在（1，2）内至少有一个零点， 而（1，2）⊆（0，2），所以函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点； 综上，函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点； （3）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立， 整理得ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0短成立， 显然a≠0，所以， 则0≤b2≤4a（c﹣a）， 所以， 令， 因为0≤b2≤4a（c﹣a）， 所以c≥a＞0＝t≥0， 若t＝0时，此时4； 若t＞0时，， 当且仅当t＝2时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 20．（2026春•曾都区校级同步）已知偶函数f（x）＝alog2（4x+1）+bx的最小值为1． （1）求实数a，b的值； （2）设g（x）＝f（x）﹣x﹣sinx，证明：g（x）在区间（0，1）上存在唯一零点，且；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求实数c的取值范围． 【解答】（1）解：由f（﹣x）＝f（x），得， 整理得即，即﹣2ax＝2bx对任意x恒成立， 所以a＝﹣b， 所以， 设，令2x＝k，则2，当且仅当k＝1时等号成立， 所以， 又f（x）的最小值为1，所以a＝1，b＝﹣1； （2）证明：由（1）得， 所以， 令，则t＝4﹣x在（0，1）上单调递减， 故μ＝1+4﹣x在（0，1）上单调递减， 又y＝log2u在（0，+∞）上单调递增， 所以在（0，1）上单调递减， 当0＜x＜1时，， 又正弦函数y＝sinv在上单调递增，所以函数在（0，1）上单调递增， 所以函数g（x）在（0，1）上单调递减， 又g（0）＝log22﹣0＝1＞0，， 故g（0）g（1）＜0， 所以g（x）在（0，1）存在唯一零点c，且g（c）＝0， 所以， 两边取2的指数得：， ，结合g（0）＞0得， 故得4c＜2，故， 所以，所以； （3）解：由（1）得， 设，由f（x）＝h（x）可得有唯一解． 令t＝2x＞0，即（c﹣1）有唯一解． 设，其中t＞0， ①当c＝1时，，t∈（0，+∞），则r（t）＜0，不符合题意； ②当c＞1时，二次函数r（t）图象的对称轴为直线，且， 因为r（0）＝﹣1＜0，， 所以方程r（t）＝0在（0，+∞）上恰好一个大于的解，符合题意； ③当c＜1时，则c﹣1＜0，二次函数r（t）的对称轴为直线， 又因为r（0）＝﹣1＜0，所以，解得c＝﹣3． 综上所述，实数c的取值范围是 {﹣3}∪（1，+∞）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $