考点培优练02 一元二次不等式与基本不等式7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 一元二次不等式和基本不等式7大考点 考点预览 目录 考点01 一元二次不等式在R上恒成立 1 考点02 一元二次不等式在某区间上恒成立 4 考点03 一元二次不等式有解问题 7 考点04 双变量不等式恒成立、能成立问题 11 考点05 直接配凑定值求最值（和定积最大、积定和最小） 15 考点06 “1 的代换” 题型 18 考点07 基本不等式综合应用 22 考点通关 考点01 一元二次不等式在R上恒成立 对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为 【典例1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 【跟踪训练】 1.（2026·江西九江·模拟预测）(多选题)已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 考点02 一元二次不等式在某区间上恒成立 一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例2】（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 2．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 4．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 考点03 一元二次不等式有解问题 1.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 2.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 3．对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 【典例3】（2026·福建·三模）已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】由函数是开口向上的二次函数，且， 若，，即方程有正实根， 则，解得，所以充分性成立； 若，则，即方程有实根， 又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根， 即，，所以必要性成立， 故“，”是“”的充分必要条件． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）设函数，若，，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得，再根据二次函数性质求出右侧最大值即可. 【详解】根据题意可得在上能成立，则． 因为， 所以，， 当时，取最小值，其值为， 则的最大值为，所以． 故选：C. 2．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量，再结合对勾函数的单调性可得答案. 【详解】由，可得，则可化为：， 令得：，再令， 由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以， ，只需. 故选：D 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 4．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若是真命题，则实数的取值范围是____. 【答案】. 【分析】先化简得到，且在上单调递增，根据题意，即 ，为真命题，令，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，所以 又由为单调递增函数，可得在上单调递增， 因为是真命题， 即是真命题， 即为是真命题， 又因为函数为单调递增函数，所以， 即为真命题， 令， 当时，即时，可得， 令，解得； 当时，即时，可得， 令，解得，因为，所以不等式的解集为空集， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 考点04 双变量不等式恒成立、能成立问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 【典例4】（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则n的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】关于双变量的恒成立问题，本题利用结论：,若恒成立，则解题. 【详解】因为，且定义在上的单调函数， 所以设，其中为常数， 所以，即，故， 解得，所以，是上的单调函数， 由，使得 所以 因为时，， 时，， 则， 所以，即, 则n的最小值为. 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A 4．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得函数，的最大值，由题意可得，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以， 令，解得或（舍去）， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，， 所以， 又因为，，使得，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围. 故选：A. 考点05 直接配凑定值求最值（和定积最大、积定和最小） ①基本不等式：（），当且仅当 取等。 变形：，。 三元形式推广：（）。 ②和为定值求积最大： 为常数，则 在 时最大。 ③积为定值求和最小： 为常数，则 在 时最小。 【典例5】（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 【跟踪训练】1.（2026·山东日照·模拟预测）(多选题)已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）(多选题)若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 3．（2026·云南保山·二模）公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉，为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且.若在该水池边缘任意一点处观察喷泉，观察角度的最大值不小于，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（   ） A．米 B．米 C．80米 D．40米 【答案】A 【分析】设，利用余弦定理得到，再找出观察角度最大时，取得最小值，进而利用余弦定理和基本不等式求解即可． 【详解】设，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 结合余弦函数的性质得，当观察角度最大时，取得最小值， 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 因为的最大值不小于，所以，解得， 即，故，这两个喷泉间距离的最小值为米． 4．（2026·山东淄博·三模）已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，， 则， 可得向量在上的投影向量的模为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以向量在上的投影向量的模的最小值为. 考点06 “1 的代换” 题型 ①配凑技巧：拆项（如 ）、添项（如 ）、乘“1”法（ 等）。 ②“1”的代换：已知 ，求 的最小值，乘以 后展开用基本不等式。 ③验证取等条件： 求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。 若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。 口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。 【典例6】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 【跟踪训练】 1．（2026·浙江·二模）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数图像对称性与唯一零点的性质确定零点为，推导得到与的等量关系，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】∵ 函数的定义域为，且， ∴ 为偶函数. ∵ 存在唯一零点，若存在非零零点，则也为函数零点，与唯一零点矛盾， 故函数唯一零点为. ∴ ，整理得. 由基本不等式可得， 将代入得，当且仅当时等号成立. 联立，解得，满足条件，故等号可取. 综上，的最小值为. 【点睛】方法归纳：对于含奇偶性的函数零点问题，优先利用对称性分析零点分布，得到参数关系后结合基本不等式、导数等工具求解最值. 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）(多选题)已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可. 【详解】由期望的计算公式可得，得. 对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，可得，又由A可知，， 故，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C：因，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：令，则，则， 则又因为，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】求出函数的对称中心并代入直线中得，化为并结合，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】因为， 所以函数的图象的对称中心为， 将点代入直线，得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为4. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 考点07 基本不等式综合应用 重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 【典例7】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简得出，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，， 令，则， 则， 因为，所以，即，等号成立时， 则，， 则的最大值为，故的最大值是. 故选：B 2．（2026·湖北武汉·三模）(多选题)已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】应用概率的性质，结合事件互斥得，再应用作差法比较大小及基本不等式得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由概率的性质知， 由，互斥，则，A错，故， 由， 而且， 所以，则，B对， 由，，则， 当且仅当时取等号，则， 当，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，C对， 当，则，结合概率的性质知，则，D对. 3．（2026·重庆·三模）函数 的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正弦公式及基本不等式求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时取等号． 4．（25-26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先配凑得，令，解得，再代入，结合基本不等式求解． 【详解】设，由， 得， 当且仅当时，等号成立， 所以，令，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 一元二次不等式和基本不等式7大考点 考点预览 目录 考点01 一元二次不等式在R上恒成立 1 考点02 一元二次不等式在某区间上恒成立 2 考点03 一元二次不等式有解问题 3 考点04 双变量不等式恒成立、能成立问题 4 考点05 直接配凑定值求最值（和定积最大、积定和最小） 4 考点06 “1 的代换” 题型 6 考点07 基本不等式综合应用 7 考点通关 考点01 一元二次不等式在R上恒成立 对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为 【典例1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2026·江西九江·模拟预测）(多选题)已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 考点02 一元二次不等式在某区间上恒成立 一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例2】（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 4．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 考点03 一元二次不等式有解问题 1.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 2.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 3．对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 【典例3】（2026·福建·三模）已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）设函数，若，，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若是真命题，则实数的取值范围是____. 考点04 双变量不等式恒成立、能成立问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 【典例4】（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则n的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 考点05 直接配凑定值求最值（和定积最大、积定和最小） ①基本不等式：（），当且仅当 取等。 变形：，。 三元形式推广：（）。 ②和为定值求积最大： 为常数，则 在 时最大。 ③积为定值求和最小： 为常数，则 在 时最小。 【典例5】（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1.（2026·山东日照·模拟预测）(多选题)已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）(多选题)若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 3．（2026·云南保山·二模）公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉，为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且.若在该水池边缘任意一点处观察喷泉，观察角度的最大值不小于，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（   ） A．米 B．米 C．80米 D．40米 4．（2026·山东淄博·三模）已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 考点06 “1 的代换” 题型 ①配凑技巧：拆项（如 ）、添项（如 ）、乘“1”法（ 等）。 ②“1”的代换：已知 ，求 的最小值，乘以 后展开用基本不等式。 ③验证取等条件： 求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。 若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。 口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。 【典例6】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【跟踪训练】 1．（2026·浙江·二模）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）(多选题)已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线经过函数的图象的对称中心，则的最小值为__________. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 考点07 基本不等式综合应用 重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 【典例7】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·三模）(多选题)已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 3．（2026·重庆·三模）函数 的最大值为______． 4．（25-26高三下·甘肃白银·期中）若均为正数，则的最大值为______. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $