不等式专题检测-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式性质、解法及应用，通过一题多解、方法速记构建系统性解题体系，强化数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|2题|比较法、作差法|从性质判断到大小比较，构建概念应用基础| |基本不等式|5题|“1”的代换、对勾函数单调性|由公式推导到最值求解，形成应用链条| |一元二次不等式|4题|参变分离、根与系数关系|从解集分析到参数范围，强化逻辑推理| |实际应用|2题|杠杆原理、余弦定理|联系生活情境，发展数学建模与应用意识|

第二单元　不等式 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若，则下列不等式中不成立的是（　　） 2.已知，则和1的大小关系是（　　） D.与的取值有关 3.若命题“”是真命题，则实数的取值集合是（　　） 4.某金店用一架不准确的天平（两臂不等长）称黄金.顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，取出一些黄金放在右盘使天平平衡后给顾客；然后将的砝码放在右盘，再取出一些黄金放在左盘使天平平衡后又给顾客.则顾客实际所得黄金（　　） A.大于 B.小于 C.等于 D.以上都有可能 5.已知，若，则的最大值为（　　） A.1 C.2 6.已知，则的最小值为（　　） A.16 B.18 C.8 D.20 7.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（　　） A.-4 B.3 C.4 D.5 8.对任意的正实数，恒成立，则的最小值为（　　） 二、选择题（多选）（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。） 9.已知，且，则（　　） 10.已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的有（　　） C.若不等式的解集为，则 D.若不等式的解集为，且，则 11.已知正数满足，若存在正数使得成立，则实数的可能取值是（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 12.若满足，则下列结论正确的是（　　） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为___. 14.已知，则的最小值为___. 15.已知函数的导函数为，关于的不等式的解集为，则___；的最小值为___. 16.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路上分别设立游客接送点，且千米.若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是___千米. 四、解答题（本题共1小题，共10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（10分）已知关于的不等式的解集为或. (1)求实数的值； (2)当且满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案与解析 1.B【深度解析】对于选项，因为，所以，所以，即，故成立.对于选项，若，则，此时，故不成立.对于选项C，因为，所以，所以，故成立.对于选项D，因为，所以，所以，则，故成立.故选. 2.A　【深度解析】因为，所以，所以.故选A. 3.B　【深度解析】当时，等价于，不满足对于恒成立，不符合题意.当时，若对于恒成立，则所以实数的取值集合是，故选B. 【关键点拨】讨论当时是否符合题意，当时，一元二次不等式恒成立的等价条件为且. 4.A　【深度解析】由于天平两臂不等长，所以设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），第一次称出的黄金质量为，第二次称出的黄金质量为，由杠杆平衡原理可得，，则（提示：因为，所以等号不成立），所以顾客实际所得黄金大于，故选A. 5.A　【深度解析】由，得，所以，令，则（关键：利用，得到关于的一元二次不等式），解得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故选A. 【一题多解】因为，所以由，得.所以（提示：将两个变量换为一个变量）.设，则 ，当且仅当，即时（此时）等号成立，所以的最大值为1，故选A. 6.B　【深度解析】因为，所以.又因为，所以 （关键：将转化为，由，运用“1”的灵活代换及基本不等式求解）. 当且仅当，即时等号成立，故选B. 【一题多解】，设，则，当且仅当，即，即时，等号成立，故选B. 7.D　【深度解析】因为不等式的解集为，所以，且是方程的两根.由根与系数的关系可得，所以.因为，所以，当且仅当，即时取等号.令，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，所以的最小值为5.故选D. 【方法速记】对勾函数的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减. 8.B　【深度解析】依题意得恒成立（关键：参变分离法解决不等式恒成立问题），下面求的最大值. 解法一：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以，即的最小值为.故选B. 解法二：因为（提示：将分式的分子、分母同时除以），设，则.令，则，所以上式，当且仅当，即，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故选B. 【快解】（向量法）设，则（提示：将看成向量和的夹角的余弦值的倍），当和同向共线时等号成立，所以，所以，即的最小值为.故选B. 9.BC【深度解析】已知，且，所以.对于选项，，故错误；对于选项，，函数在上单调递增，所以，故正确；对于选项，均为正数，且不相等，所以，故C正确；对于D选项，，所以，故错误.故选BC. 10.ABD【深度解析】对于选项，由题意得，所以，故A正确.对于选项B，，当且仅当，即时，等号成立，故正确.对于选项C，由一元二次方程根与系数的关系知，，故错误.对于选项，由一元二次方程根与系数的关系知，，所以，解得，故D正确.故选ABD. 11.CD【深度解析】由题可知存在正数使得成立，所以（易错：有解，即）.因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选CD. 【方法速记】(1)恒成立问题：若对，都有（或），则（或）；若对，都有（或），则（或.(2)有解问题：若，有（或），则（或）；若，有（或），则（或）. 12.BCD【深度解析】对于选项和，解法一：由，得，即，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，故错误，正确. 解法二：（判别式法）设，则，代入，得，此方程有解，则，即，解得，即，当且仅当时，，当且仅当时，，故A错误，B正确. 对于选项，由，得，解得，当且仅当时取等号，故正确. 对于选项，解法一：由变形可得，设（关键：根据进行三角换元），则，所以，当或，时，，故正确. 解法二：由，得，即，解得，当且仅当时取等号，故D正确.故选BCD. 13.填　 【深度解析】由题得，所以.当时，恒成立，.当时，.因为，所以（当且仅当时，等号成立），所以，所以.综上，实数的取值范围为. 【关键点拨】原问题等价于在上恒成立，对分两种情况讨论，结合基本不等式求解. 14.填12　（必刷题型：利用基本不等式求最值） 【深度解析】由得，利用基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为12. 15.填0；　 【深度解析】因为关于的不等式的解集为，所以，且1和2为方程的两个根，所以，所以.由根与系数的关系得，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 16.填4　 【深度解析】在中，因为，所以.又与互补，所以.在中，由余弦定理得，即，即.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以观光线路之和最长是4千米. 【关键点拨】在中，利用余弦定理得，结合基本不等式的变形得到的最大值. 17.【解】(1)因为不等式的解集为或，所以关于的方程有两个实数根分别为，且，即解得所以的值为1，的值为2. (2)由(1)知.不等式恒成立，即.因为，所以，解得，所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $