16.3 乘法公式同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3 乘法公式 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 2．下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 3．运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4．如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（   ） A． B． C． D． 5．甲同学做完四道整式乘法的题目后，乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（    ） 练习①        √ ②            × ③        √ ④        √ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 6．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 7．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 8．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 9．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 二、填空题 10．若，，则______． 11．是一个完全平方式，则常数m的值为______． 12．如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则___________． 13．从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______． 14．若，则的最大值是______． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) 16．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形． (1)①用含，的式子分别表示图1的面积为____________，图2的面积为___________； ②由此能验证的等式是________________； (2)请你利用（1）中得出的等式计算：． 17．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：． (1)已知：． ①求m，n的值； ②已知关于p的不等式组，求p的取值范围 (2)当时，对于任意实数x，y都成立，请求出m，n满足的关系式． 18．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D D C A C C D D 1．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 2．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键； 使用完全平方公式 进行计算每个选项，判断哪个等于即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；根据题意直接得出两个图形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图1可知：该图形面积为，由图2可知：该图形的面积为， ∴； 故选C． 5．【答案】A 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则，结合乘法公式逐个判断即可． 【详解】解：①，原计算正确，批改正确，符合题意； ②，原计算错误，批改正确，符合题意； ③，原计算错误，批改错误，不符合题意； ④，原计算错误，批改错误，不符合题意； 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 7．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 8．【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键， 根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， 展开得， ∴， 则． 9．【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 10．【答案】3 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式和整体代入法进行求值即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 11．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的特点进行求解即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴. 12．【答案】37 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 13．【答案】25 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：∵原来正方形土地的面积是平方米， 现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米， ∴平方米， ∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米， 故答案为：25． 14．【答案】17 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 15．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】单项式乘多项式的应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 16．【答案】(1)；； (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）①根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出图1的面积；根据梯形的面积公式即可得出图2的面积；②令图1阴影部分的面积等于图2阴影部分的面积即可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①图1的面积为，图2的面积为， ②由①得能验证的等式是， 故答案为：；；； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据平方差公式进行计算，根据图形用不同的方式表示相应图形的面积是解本题的关键． 17．【答案】(1)①；②p的取值范围为 (2)m，n满足的关系式 【知识点】整式的混合运算、构造二元一次方程组求解、求不等式组的解集 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及整式的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）①根据定义求出，即可建立关于m，n的二元一次方程组求解；②分别表示出、即可求解； （2）分别表示出，令其相同项的系数相等即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ 解得： ②∵， ∴ 解得：； 解得： ∴ （2）解：∵， ∴ 整理得： ∵对于任意实数x，y都成立， ∴ 18．【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $