16.3 乘法公式 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕乘法公式，通过基础巩固、中档变形、提升综合三层设计，覆盖平方差与完全平方公式的概念、运算及几何应用，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式应用|如单选1直接识别平方差公式结构，夯实概念理解| |中档|公式变形与几何初步|如单选6结合图形验证平方差公式，体现数形结合| |提升|综合应用与实际问题|如解答18通过围长方形情境求面积最大值，发展模型意识|

16.3 乘法公式 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 3．运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 5．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 8．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 9．规定：使等式成立的a，b，c的值称为“等根系数”，记作．如，称为“等根系数”．若是“等根系数”，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 二、填空题 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”．根据此规律，请你写出第6行左数第3项是_____________． 11．计算：，则________． 12．若是完全平方式，则的值是______． 13．如图，由一个长为，宽为的长方形和两个正方形（记为和）组成的图形中，若，，则图中两个正方形的面积之和是_____． 14．若，则代数式的值是___． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 17．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______； (2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值． 18．如图，为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为104米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形（四边形，四边形，四边形都是长方形）组成的长方形区域，若米． (1)用含a的代数式表示的长； (2)求长方形面积的最大值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D D D A A C B D 1．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 2．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．可以表示为，利用完全平方公式展开即可简便计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求一个数的平方根 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，以及平方根的意义． 利用完全平方公式将转化为已知条件和的表达式，求出，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选D． 5．【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键． 将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致， ∴对应项可得，， ∴，代入得， ∴， ∴． 故选：． 6．【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 8．【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 9．【答案】D 【知识点】整式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据题目所给的“等根系数”的定义，得出，即可解答． 【详解】解：∵是“等根系数”， ∴， ∴， 故选：D． 10．【答案】 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，图形与数字的变化规律，准确找出数字的变化规律是解题的关键． 利用展开式的各项系数的规律写出第6行的各项系数解答即可． 【详解】解：根据此规律，第6行的各项系数为：1，5，10，10，5，1， 各项为：，，，，，， ∴第6行左数第3项是． 故答案为：． 11．【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解． 【详解】解：， 又 ， ∴ ，解得 ． 故答案为1． 12．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出即可求解，熟练掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即两个正方形的面积之和是， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．【答案】(1)B (2)①3；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了矩形的面积公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）的规律，利用平方差公式，将整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可得：左图中阴影部分的面积为：， 右图阴影部分的面积为：， ∴， 故选：B． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ②解： ． 17．【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键． （1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长； （2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积； （3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果． 【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长； （2）解：阴影部分的面积第一种直接用， 第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为； （3）解：由（2）可得， ， 由题意可得，， 代入上式可得． 18．【答案】(1)米 (2)平方米 【知识点】列代数式、整式的混合运算 【分析】（1）根据三块小长方形的面积相等，即得出，进而得出，再根据总长为104米，即可求出米，从而可求出的长； （2）由长方形的面积公式可列出等式，整理得：，再根据平方的非负性，即得出，从而得出有最大值为平方米． 【详解】（1）∵三块小长方形的面积相等， ∴， ∴． ∵总长为104米， ∴， ∴， 解得：米， ∴米； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为平方米． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，平方非负性的应用．理解题意，列出算式或等式是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $