26.2二次函数的图象和性质（同步练习）-2026-2027学年人教版九年级上册数学

26.2 二次函数的图象和性质 同步练习 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，二次函数 y = x² 的图象是一条抛物线，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．图象关于 y 轴对称 C．顶点坐标是 (0, 0) D．当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大 2．抛物线 y = -3x² 的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A．向上，(0, 0)　　B．向下，(0, 0) C．向上，(0, -3)　　D．向下，(0, -3) 3．如图，把抛物线 y = x² 向下平移 2 个单位得到一条新的抛物线，则这条新抛物线的解析式是（　　） A．y = x² + 2　　B．y = x² - 2 C．y = (x + 2)²　　D．y = (x - 2)² 4．如图，抛物线 y = (x - 1)² + 2 的顶点坐标是（　　） A．(1, 2)　　B．(-1, 2)　　C．(1, -2)　　D．(2, 1) 5．抛物线 y = -2(x + 3)² 的对称轴是（　　） A．直线 x = 3　　B．直线 x = -3 C．直线 x = 0　　D．直线 x = -2 6．二次函数 y = x² - 4x + 1 的图象的对称轴是（　　） A．直线 x = 2　　B．直线 x = -2 C．直线 x = 4　　D．直线 x = 1 7．若二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，且与 y 轴交于正半轴，则（　　） A．a > 0，c > 0　　B．a < 0，c > 0 C．a < 0，c < 0　　D．a > 0，c < 0 8．如图，抛物线 y = ½x²、y = x²、y = 3x² 画在同一坐标系中，则开口最窄的抛物线是（　　） A．y = ½x²　　B．y = x² C．y = 3x²　　D．三条一样窄 9．把抛物线 y = x² 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y = (x + 1)² + 2　　B．y = (x - 1)² + 2 C．y = (x - 1)² - 2　　D．y = (x + 1)² - 2 10．如图，二次函数图象的开口向上，对称轴为直线 x = 1，点 A(-1, y₁)、B(2, y₂) 都在图象上，则（　　） A．y₁ > y₂　　B．y₁ = y₂　　C．y₁ < y₂　　D．无法确定 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） （说明：全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。） 11．关于抛物线 y = -2x²，下列说法正确的有（　　） A．开口向下 B．顶点坐标是 (0, 0) C．对称轴是 y 轴 D．当 x = 0 时，y 有最大值 0 12．如图，抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交于点 A、B，顶点为 P。下列结论正确的有（　　） A．顶点 P 的坐标为 (1, -4) B．对称轴是直线 x = 1 C．当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小 D．函数的最小值是 -4 13．如图，抛物线 y = -x² + 4x + 2 的图象开口向下。根据图象，下列结论正确的有（　　） A．a < 0 B．对称轴是直线 x = 2 C．与 y 轴交点的纵坐标是 2 D．当 x = 2 时，y 取得最大值 6 14．如图，把抛物线 y = x² 平移得到 y = (x - 1)² + 2，下列平移方式正确的有（　　） A．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B．先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位 C．向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 D．向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 15．关于二次函数 y = a(x - h)² + k（a ≠ 0），下列说法正确的有（　　） A．图象的顶点坐标是 (h, k) B．图象的对称轴是直线 x = h C．当 a > 0 时，函数有最小值 k D．当 a < 0 时，函数有最大值 k 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．抛物线 y = -5x² 的开口方向是 ＿＿＿＿，顶点坐标是 ＿＿＿＿。 17．抛物线 y = 2(x + 1)² - 4 的对称轴是直线 ＿＿＿＿，顶点坐标是 ＿＿＿＿。 18．二次函数 y = x² - 6x + 5 的对称轴是直线 x = ＿＿＿＿，最小值是 ＿＿＿＿。 19．如图，把抛物线 y = x² 向右平移 2 个单位得到抛物线 y = (x - 2)²，则平移后抛物线的顶点坐标是 ＿＿＿＿，对称轴是直线 ＿＿＿＿。 20．如图，抛物线 y = x² - 4x + 1 经过配方可化为 y = (x - 2)² - 3 的形式，则它的对称轴是直线 x = ＿＿＿＿，顶点坐标是 ＿＿＿＿。 四、简答题（第 21~22 题，每小题 10 分，共 20 分） 21．已知二次函数 y = x² - 2x - 3。 （1）用配方法把它化成 y = a(x - h)² + k 的形式； （2）写出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大。 22．如图，抛物线 y = a(x - h)² + k 的顶点为 (2, -1)，且经过点 (0, 3)。 （1）求 a 的值，并写出这个抛物线的解析式 （2）说明这个抛物线可以由 y = x² 经过怎样的平移得到。 五、材料分析题（第 23~24 题，每小题 10 分，共 20 分） 23．材料：二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的开口方向由 a 决定；对称轴是直线 x = −b/(2a)，顶点坐标可由配方法求得；a 的绝对值越大，抛物线的开口越窄。 如图，抛物线 y = -½x² 与 y = -2x² 画在同一平面直角坐标系中。 （1）分别指出两条抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）比较这两条抛物线开口的宽窄，并说明理由；再判断抛物线 y = -5x² 的开口比它们更宽还是更窄。 24．材料：二次函数图象的平移规律是“左加右减、上加下减”——把 y = a(x - h)² + k 的图象向左（右）平移 m 个单位，解析式中的 x 换成 x + m（x - m）；向上（下）平移 m 个单位，就在末尾加上（减去）m。 已知抛物线 L：y = x² + 2x + 3。 （1）把 L 化成 y = a(x - h)² + k 的形式； （2）把 L 先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后抛物线的解析式及其顶点坐标。 《26.2 二次函数的图象和性质 同步练习》参考答案与评分标准 （人教版·数学九年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．D　【解析】抛物线 y = x² 开口向上，在对称轴 x = 0 的左侧（x < 0）y 随 x 的增大而减小。 2．B　【解析】a = -3 < 0 开口向下；y = -3x² 即 y = -3(x - 0)² + 0，顶点为 (0, 0)。 3．B　【解析】“上加下减”，向下平移 2 个单位即在解析式末尾减去 2，得 y = x² - 2。 4．A　【解析】顶点式 y = a(x - h)² + k 的顶点为 (h, k) = (1, 2)。 5．B　【解析】y = -2(x + 3)² = -2[x - (-3)]²，对称轴为直线 x = -3。 6．A　【解析】y = x² - 4x + 1 = (x - 2)² - 3，对称轴为直线 x = 2。 7．B　【解析】开口向下得 a < 0；与 y 轴交点的纵坐标为 c，在正半轴得 c > 0。 8．C　【解析】|a| 越大开口越窄，三个函数中 |3| 最大，所以 y = 3x² 的开口最窄。 9．B　【解析】向右平移 1 个单位得 y = (x - 1)²，再向上平移 2 个单位得 y = (x - 1)² + 2。 10．A　【解析】点 A 的横坐标 -1 到对称轴 x = 1 的距离为 2，点 B 的横坐标 2 到对称轴的距离为 1；开口向上时，离对称轴越远的点对应的函数值越大，所以 y₁ > y₂。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．ABCD　【解析】a = -2 < 0 开口向下；顶点 (0, 0)、对称轴为 y 轴；开口向下时顶点是最高点，故 x = 0 时 y 有最大值 0。 12．ABCD　【解析】y = (x - 1)² - 4，顶点 P(1, -4)，对称轴 x = 1；开口向上，x < 1 时 y 随 x 的增大而减小；最小值是 -4。 13．ABCD　【解析】a = -1 < 0；对称轴 x = −b/(2a) = −4/(2 × (-1)) = 2；令 x = 0 得 y = 2；把 x = 2 代入得 y = -4 + 8 + 2 = 6，是最大值。 14．ABD　【解析】平移与操作先后顺序无关，都是向右 1 个单位、向上 2 个单位；C 方向相反。 15．ABCD　【解析】顶点式 y = a(x - h)² + k 的顶点是 (h, k)、对称轴是 x = h；a > 0 时开口向上有最小值 k，a < 0 时开口向下有最大值 k。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．向下；(0, 0) 17．x = -1；(-1, -4) 18．x = 3；-4　【解析】y = x² - 6x + 5 = (x - 3)² - 4，对称轴为直线 x = 3，最小值为 -4。 19．(2, 0)；x = 2 20．x = 2；(2, -3) 四、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 21．（1）y = x² - 2x - 3 = (x² - 2x + 1) - 1 - 3 　　　 = (x - 1)² - 4。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5 分） 　 （2）∵ a = 1 > 0，∴ 图象开口向上； 　　　 顶点坐标为 (1, -4)，对称轴是直线 x = 1； 　　　 ∵ 开口向上，∴ 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大， 　　　 即当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大。　　　　　　　　（5 分） 22．（1）∵ 抛物线的顶点为 (2, -1)，∴ 可设 y = a(x - 2)² - 1。 　　　 把点 (0, 3) 代入，得 3 = a(0 - 2)² - 1 = 4a - 1， 　　　 ∴ 4a = 4，解得 a = 1， 　　　 ∴ 抛物线的解析式为 y = (x - 2)² - 1。　　　　　　　（5 分） 　 （2）∵ y = (x - 2)² - 1 是由 y = x² 先向右平移 2 个单位、再向下平移 1 个单位得到的。 　　　 （答出“向右 2 个单位、向下 1 个单位”即可，5 分） 五、材料分析题（每小题 10 分，共 20 分） 23．（1）两条抛物线的 a 都小于 0，所以都开口向下； 　　　 顶点坐标都是 (0, 0)，对称轴都是 y 轴（即直线 x = 0）。　（4 分） 　 （2）∵ |−2| > |−½|，∴ y = -2x² 的开口比 y = -½x² 的开口窄； 　　　 抛物线 y = -5x² 中 |−5| > |−2| > |−½|， 　　　 ∴ y = -5x² 的开口比这两条都更窄。　　　　　　　　　（6 分） 24．（1）y = x² + 2x + 3 = (x² + 2x + 1) - 1 + 3 　　　 = (x + 1)² + 2 = [x - (-1)]² + 2。　　　　　　　　（5 分） 　 （2）向右平移 1 个单位：y = (x + 1 - 1)² + 2 = x² + 2； 　　　 再向下平移 3 个单位：y = x² + 2 - 3 = x² - 1。 　　　 ∴ 平移后抛物线的解析式为 y = x² - 1，顶点坐标为 (0, -1)。　（5 分） 评分标准速查 题型 题号 分值 说明 单项选择 1 ~ 10 30 分 每小题 3 分 多项选择 11 ~ 15 20 分 每小题 4 分；选对但不全得 2 分，错选得 0 分 填空题 16 ~ 20 10 分 每小题 2 分 简答题 21 ~ 22 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 材料分析题 23 ~ 24 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 合计 1 ~ 24 100 分 30 + 20 + 10 + 20 + 20 = 100 分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $