26.2.2　 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|二次函数象限、平移、顶点等单一基础知识点|以选择、填空题为主，强化概念理解与基础运算，如顶点参数计算| |B层|待定系数法、参数变化、平移与交点等综合理解|解答题与填空题结合，深化性质应用，如参数对图象的影响分析| |C层|函数综合、几何结合等拓展应用|综合解答题为主，提升创新意识，如一次函数与抛物线交点及面积计算|

26.2.2 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 分层练习 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（二次函数图象象限）二次函数的图象经过的象限为（　C　）。 2. ★ [选择题]（图象平移与顶点变化）函数与的图象的不同之处是（　C　）。 3. ★ [填空题]（顶点与参数）已知抛物线的最低点为，则的值为　2　。 二、B层·理解运用 4. ★ [解答题]（待定系数与作图）已知二次函数的图象以为顶点，且过点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）画出该二次函数的图象。 一、A层·基础夯实 5. ★ [选择题]（单调性判断）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　B　）。 6. ★ [选择题]（取值范围）（易错题）对于二次函数，当时，的取值范围是（　C　）。 7. ★ [填空题]（单调性区间）已知二次函数，当随的增大而增大时，的取值范围是　　。 8. ★ [填空题]（函数值比较）如果点，在函数的图象上，那么（填“＞”“＜”或“＝”）。 二、B层·理解运用 9. ★ [填空题]（抛物线解析式与平移）顶点坐标为，且与抛物线的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为　　，将该抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为　　。 10. ★ [解答题]（参数变化与平移）已知二次函数与。 （1）随着a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，求a的值； （3）若将抛物线y＝ax²沿y轴向下平移2个单位长度就能与抛物线y＝−2x²＋c完全重合，求c的值。 11. ★ [选择题]（同侧函数值比较）已知，点，，都在函数的图象上，则的大小关系为（　C　）。 12. ★ [填空题]（平移与交点距离）将抛物线向下平移8个单位长度后，与轴的两个交点之间的距离为　6　。 13. ★ [填空题]（顶点与对称变换）（1）若抛物线的顶点在直线上，且当时，，则；（2）如果将（1）中的抛物线关于轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为　　。 三、C层·拓展挑战 14. ★ [填空题]（图象交点与线段长度）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为　8　。 15. ★ [解答题]（解析式与性质综合）已知抛物线的顶点坐标是，且过点。 （1）求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴； （2）若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是该抛物线上的两点，且x₁＜x₂＜0，则y₁与y₂的大小关系如何？ 16. ★ [解答题]（一次函数与抛物线综合）如图，正比例函数的图象与抛物线相交于点。 （1）求a与b的值； （2）若点B（m，4）在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax²＋3的顶点是C，求△ABC的面积； （3）在（2）的条件下，若P是x轴上的一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. C 解析：抛物线开口向下，顶点在y轴负半轴，图象位于第三、四象限并经过y轴负半轴。 2. C 解析：两函数a相同，图象形状、开口方向和对称轴相同；常数项不同，顶点位置不同。 3. 2 解析：由m²−4m＝−4得（m−2）²＝0，所以m＝2。 5. B 解析：开口向下且在对称轴右侧时，y随x增大而减小。 6. C 解析：区间[−1，2]内最小值为−3，最大值为5。 7. x＜0 解析：开口向下，对称轴为y轴，在y轴左侧y随x增大而增大。 8. ＞ 解析：y₁＝17，y₂＝10，所以y₁＞y₂。 B层·理解运用 4. （1）；（2）图象略。 解析：设y＝ax²＋1，代入B（2，3）得4a＋1＝3，。 9. ； 解析：形状相同且开口方向相反得；上移3个单位后常数项加3。 10. （1）见解析；（2）a＝±2；（3）c＝−2 解析：a影响开口和形状，c影响上下平移；形状相同得|a|＝2，下移2个单位得c＝−2。 11. C 解析：三个点都在对称轴左侧，离0越远函数值越大。 12. 6 解析：平移后y＝x²−9，与x轴交于±3，距离6。 13. （1）a＝−1，k＝−2；（2）y＝x²＋2 解析：k＝−2，代入x＝1，y＝−3得a＝−1；关于x轴对称后函数值取相反数。 C层·拓展挑战 14. 8 解析：令，得x＝±4，所以BC＝8。 15. （1）y＝3x²−2，开口向上，对称轴为y轴；（2）y₁＞y₂。 解析：设y＝ax²−2，过（1，1）得a＝3；x＜0时，y随x增大而减小。 16. （1）a＝−1，b＝2；（2）△ABC的面积为5；（3）P（，0）。 解析：A在y＝2x上得b＝2，代入抛物线得a＝−1；B（2，4），C（0，3），再用对称最短路径求P点。 学科网（北京）股份有限公司 $