3.1.3 第1课时 组合与组合数 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

3．1.3　组合与组合数 新课导入 学习目标 　　小明五一到某城旅游，要从景点A，B，C，D中选择2处游玩，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？这就是今天我们所要学习的组合与组合数问题． 1.理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系． 2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式和组合数的性质，能运用组合数公式进行计算． 3．掌握几种有限制条件的组合问题的处理方法． 4．能应用组合数公式及性质解决简单的实际问题． 第1课时　组合与组合数 知识点一　组合与组合数 思考1　从A，B，C，D四名学生中选2名学生组成一个科研小组，你能列举出所有的选法吗？共有多少种选法？ [提示]　AB与BA是相同的选法，所有的选法为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有3×2＝6种选法． 思考2　(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列有多少个？ (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合有多少个？ 请分析一下上述两个问题之间的区别和联系． [提示]　区别：(1)选出m个元素后，需要再排列顺序，(2)选出m个元素后，不需要再排列顺序． 联系：(1)中的事情可以分成两步完成，第一步完成(2)中的事情，第二步，将选出的m个元素做全排列． [知识梳理] 1．组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2．组合数及组合数公式 (1)从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． (2)组合数公式 C＝＝＝．(n，m∈N*，且m≤n) 规定：C＝＝1(注意0！＝1)；C＝＝n；C＝＝1. 角度1　对组合概念的理解 [例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)从10人中选4人 ①参加座谈会的选法种数；②分赴四地搞调查的选法种数． (2)从1，2，3，4，5，6中任取两数 ①构成多少个不同的对数或指数；②相加或相乘得到多少个不同的数． (3)三个人互相 ①问好的方法种数；②送礼品的方法种数． (4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线． 【解】　(1)①是组合问题，②是排列问题． (2)①是排列问题，②是组合问题． (3)①②都是排列问题． (4)①是排列问题，②是组合问题． 　 (1)组合概念的两个要点：①取出的对象是不同的；②“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质． (2)根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． (3)区分有无顺序的方法：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题，若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [跟踪训练1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 解：(1)是组合问题，由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关． (2)是排列问题，选出的2个数分别作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序． 角度2　组合数的计算 [例2] (对接教材例2)(1)计算：2C＋A＝(　　) A．72 B．260 C．507 D．510 (2)求值：C＋C. 【解】　(1)选B．2C＋A＝2×＋＝2×70＋120＝260.故选B． (2)由组合数的定义知 解得4≤n≤5，又n∈N＋，所以n＝4或n＝5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. 所以C＋C的值为5或16. 　 (1)在涉及C时，要充分运用且时刻注意m≤n且m∈N，n∈N＋. (2)计算C时常用公式C＝＝.证明与C有关的问题时常用公式C＝. [跟踪训练2] (1)7C－4C的值为________________________． 解析：7C－4C＝7×－4×＝140－140＝0. 答案：0 (2)已知－＝，求C的值． 解：由组合数公式，可得－＝·，化简得n2－23n＋42＝0，解得n＝21或n＝2. 因为n≤5，所以n＝2. 所以C＝C＝28. 知识点二　组合数的性质 思考　分别计算(1)C，(2)C，(3)C，(4)C，并观察(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你能有什么发现和猜想？ [提示]　C＝10，C＝10，C＝1，C＝1，C＝C，C＝C，猜想C＝C. [知识梳理] 组合数的性质1：C＝C. (1)反映了组合数的对称性； (2)当m＞时，将计算C转化为计算C会更简便． 组合数的性质2：C＋C＝C. 角度1　组合数的性质1应用 [例3] (1)(多选)若C＝C(n∈N＋)，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)计算：C·C＝__________． 【解析】　(1)由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，解得n＝5或n＝7. (2)C·C＝C·C＝. 【答案】　(1)BD　(2) 　 性质“C＝C”的意义及作用 [跟踪训练3] (1)若C＝C，则C＝(　　) A．1 B．10 C．11 D．55 解析：选C．由C＝C，得n＝6＋5＝11，C＝C＝C＝11. (2)若C＝C，则C＝________． 解析：由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，故C＝C＝28. 答案：28 角度2　组合数的性质2应用 [例4] (1)已知m≥4，则C－C＋C＝(　　) A．1 B．m C．m＋1 D．0 (2)若C＋C＋C＋…＋C＝55，则正整数n＝________． 【解析】　(1)C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1 ＝C＋C＋C＋…＋C－1 ＝C＋C＋…＋C－1＝C－1＝55， 故C＝56＝C，解得n＝7. 【答案】　(1)D　(2)7 　 组合数的性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． [跟踪训练4] (1)若C－C＝C，则n＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：选C．由题得，C＝C＋C＝C，所以n＋1＝7＋8，解得n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 解析：选B．C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C. 应用点　简单的组合问题 [例5] (对接教材例3)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种不同的取法？ (2)从口袋内取出3个球，其中有1个黑球，有多少种不同的取法？ (3)从口袋内取出3个球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？ 【解】　(1)从口袋内取出3个球的取法共有C＝56(种). (2)从口袋内取出3个球，其中有1个黑球的取法共有C＝21(种). (3)从口袋内取出3个球，其中没有黑球的取法共有C＝35(种). 　 解简单的组合应用题的策略 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象之间的顺序无关． [跟踪训练5] 在6名内科医生和4名外科医生中，现要选出5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 解：(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120种选派方法． (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法．若从反面考虑，除去5人均为内科医生的情况，则有C－C＝246种选派方法． 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出4名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 解析：选C．对于A选项，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排至导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出4名同学参加学校运动会开幕式，只需将4名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题． 2．(多选)下列等式正确的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C＋C D．nC＝mC 解析：选AB．A是组合数公式；B是组合数性质；C＝C＋C，所以C错误；nC＝n·，mC＝m·＝·，两者不相等，故D错误．故选AB． 3．(2026·金华模拟)从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有________种． 解析：从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有C＝20种选法，其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种，所以至少有两个数为相邻整数的选法有20－4＝16种． 答案：16 4．在10件产品中，有3件次品，从中任取5件，求： (1)恰有2件次品的取法有多少种？ (2)至多有2件次品的取法有多少种？ (3)至少有1件次品的取法有多少种？ (4)至少有2件次品、2件正品的取法有多少种？ 解：(1)恰有2件次品的取法有CC＝105(种). (2)若1件次品都没有，则有C＝21种取法；若只有1件次品，有CC＝105种取法；若恰有2件次品，则有CC＝105种取法，则至多有2件次品的取法有21＋105＋105＝231(种). (3)若1件次品都没有，则有C＝21种取法，则至少有1件次品的取法有C－C＝252－21＝231(种). (4)恰有2件次品的取法有CC＝105(种)，恰有3件次品的取法有CC＝21(种)，则至少有2件次品、2件正品的取法有105＋21＝126(种). 　 1．已学习：(1)组合与组合数的定义；(2)组合数的计算与证明；(3)组合数的两个性质及应用． 2．须贯通：(1)判断一个计数问题是排列还是组合，关键是选取的元素是否与顺序有关； (2)利用两种组合数公式进行求值，结合组合数的两个性质，能起到简化运算的作用． 3．应注意：(1)分不清“排列”还是“组合”；(2)易忽视组合数中m与n的限制条件． 学科网（北京）股份有限公司 $