3.1.3 第2课时 组合数的应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教B版）

第2课时　组合数的应用 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 3 应用点一　有限制条件的组合问题 [例1] (对接教材例4)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)至少有1名女运动员； 返回导航 返回导航 (2)既要有队长，又要有女运动员． 返回导航 感悟提升 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“排除法”，其中用直接法求解时，应依据“特殊对象优先安排”的原则，即优先安排特殊对象，再安排其他对象．而选择排除法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键． 返回导航 [跟踪训练1] 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外2名英、日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，则共有多少种组成方法？ 返回导航 返回导航 返回导航 应用点二　组合中的分组、分配问题 [例2] (对接教材例5)6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； 返回导航 (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 返回导航 母题探究1　6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 返回导航 母题探究2　6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 返回导航 感悟提升 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 返回导航 [跟踪训练2] 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ 解：每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法． (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ 返回导航 (3)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 返回导航 应用点三　与几何图形有关的组合问题 [例3] 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的4个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点(不包括A，B)中的3个为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ 返回导航 (2)以图中12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？ 返回导航 感悟提升 (1)解决几何图形中的组合问题，首先要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理，其次应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． 返回导航 [跟踪训练3] 已知四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 22 A 1．从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组(a，b，c)且a<b<c，则不同的数组有(　　) A．35组 B．42组 C．105组 D．210组 返回导航 16 2．(教材P23练习AT5改编)某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少选1名女生，则不同的选法种数为__________． 返回导航 180 3．(2026·泰安模拟)从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排2人，另两天各安排1人，共有______________种安排方法．(用数字作答) 返回导航 4．如图，在六边形ABCDEF的6个顶点和其对角线AD，BE，CF的交点P，Q，R中，如果过其中的每3个点作一个圆，共可作多少个圆？ 返回导航 课堂小结 1．已学习：常见组合问题的解法． 2．须贯通：解答组合问题时，对于直接法和间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． 3．应注意：对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法． 返回导航 $