3.1.2 第1课时 排列与排列数 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

3．1.2　排列与排列数 新课导入 学习目标 　　日常生活中我们会遇到许多排队问题，如等公交车、银行办理业务等．为了维护公共秩序大家都自觉排队，试问： 1．等公交车时人们自觉排成一队，这是有序问题还是无序问题？ 2．甲、乙、丙三名同学等公交车去上学，写出他们所有的排队情况．为了准确回答这些问题，今天我们就要学习有关知识． 1.理解并掌握排列及排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列． 2．理解排列数公式的推导，并能利用公式进行计算和证明． 3．能利用排列数公式解决简单的实际问题． 第1课时　排列与排列数 知识点一　排列的定义 思考　下列三个问题有什么样的共同特征？ (1)小张要在三所大学中选择两所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2)班里要在3名同学里选2名，分别在某话剧中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方式？ (3)学校要在3名能力相当的教师中选出2人，分别去上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？ [提示]　这三个问题虽然背景不同，但所求的本质都是“从3个对象中选取2个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”，因此它们的答案是一致的．根据分步乘法计数原理，方法种数都是3×2＝6. [知识梳理] 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． [例1] 判断下列问题是否为排列问题． (1)选2个小组分别去植树和种菜； (2)选2个小组去种菜； (3)选10个人组成一个学习小组； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 【解】　(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (2)，(3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． 　 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：(1)“取”：检验取出的m个元素是否重复．(2)“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. [跟踪训练1] 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解：(1)由于取出的两个数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题． (2)选出3个座位与顺序无关，不是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选出3个座位安排3位客人入座是排列问题． 知识点二　排列数 思考1　从写有1，2，3，4的卡片中选取卡片进行数字游戏，试填写下表： 问题 答案 从4张卡片中选取2张，能构成多少个无重复数字的两位数？ □×□＝□ 从4张卡片中选取3张，能构成多少个无重复数字的三位数？ □×□×□＝□ [提示]　4×3＝12　4×3×2＝24. 思考2　若用A或A表示问题中的两位数或三位数的个数，则A，A的值是什么？ [提示]　A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24. 思考3　类比上述结果，你能得出A的意义和A的值吗？ [提示]　A表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即A＝n(n－1)(n－2). [知识梳理] 1．排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． 2．排列数公式 ＝n(n－1)·…·(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n). [例2] (对接教材例1)A，B，C，D四个人坐成一排照相，共有多少种坐法？将它们列出来，并计算A. 【解】　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24.画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA． 　 利用“树形图”法解决简单排列问题的注意事项 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． [跟踪训练2] (1)甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球后，球回到甲手中，则不同的传球方式共有(　　) A．5种 B．10种 C．8种 D．16种 解析：选B．根据题意，画出树形图如图，注意第四次传球后球不能在甲的手中．分析可得，共有10种不同的传球方式．故选B． (2)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成______个以b为首的不同排列，它们分别为__________________________________________________ __________________________________________________. 解析：画出树形图如图所示． 由树形图知可组成12个以b为首的不同排列，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed [知识梳理] (1)全排列公式：A＝n×(n－1)×…×2×1＝n！，n∈N＋. (2)排列数公式的阶乘式：A＝，其中m，n∈N＋，m≤n. 规定：A＝1，0！＝1. 角度1　排列数的计算、化简与证明 [例3] (1)计算：①A；②； (2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)； (3)(对接教材例2)证明：A－A＝n2A. 【解】　(1)①A＝8×7×6＝336. ②＝＝210. (2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A. (3)证明：左边＝A－A＝n(n＋1)A－nA＝(n2＋n－n)A＝n2A＝右边． 所以等式成立，即A－A＝n2A. 　 排列数的计算主要利用排列数的乘积公式，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 角度2　与排列数公式有关的方程或不等式问题 [例4] (1)若A＝2A，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2) 不等式A－n<7的解集为________． 【解析】　(1)由A＝2A，得m(m－1)(m－2)＝2(m＋1)m，又m∈N＋，即m2－5m＝0，可得m＝5.故选C． (2)由不等式A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又因为n－1≥2且n∈N＋，即n≥3且n∈N＋，所以n＝3或n＝4，故不等式A－n<7的解集为{3，4}． 【答案】　(1)C　(2){3，4} 　 排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． [跟踪训练3] (1)(多选)已知A－A＋0！＝4，则m的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选CD．因为A－A＋0！＝4，所以A－×6＋1＝4，所以A＝6，所以m的值可能是2或3.故选CD． (2)＝__________． 解析：＝＝36. 答案：36 (3)若A<6A，则x＝________. 解析：由题意可知解得2≤x≤8.原不等式可化为<6×，化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，所以7<x≤8，又x∈N＋，所以x＝8. 答案：8 1．下列问题是排列问题的是(　　) A．从10名学生中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4，5五个数字中，任选三个相加，其结果共有多少种 解析：选B．选项A，从10名学生中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，不合题意；选项B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，符合题意；选项C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序，因而不是排列问题，不合题意；选项D，从1，2，3，4，5五个数字中，任选三个数字相加即得1个结果，这三个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意． 2．(教材P15练习AT4改编)从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是(　　) A．10 B．60 C．243 D．15 解析：选B．不同的方法总数是A＝5×4×3＝60.故选B． 3．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)·…·(n－m) C． D．AA 解析：选AD．对于A，由排列数公式知，A＝，A正确；对于B，A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，B错误； 对于C，＝＝≠A，C错误； 对于D，AA＝n·＝＝A，D正确．故选AD． 4．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析：选C．首先确定相同的读物，共有6种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种，根据分步乘法计数原理，则共有6·A＝120(种).故选C． 　 1．已学习：(1)排列及排列数的定义． (2)“树形图”法列举排列． 2．须贯通：排列数公式的计算、化简与证明． 3．应注意：(1)忽视排列定义中对“顺序”的特殊要求． (2)忽视A中“n，m是正整数”这个条件． 学科网（北京）股份有限公司 $