周周练2 等差数列-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

周周练2　等差数列(范围：4.2.2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝17，S17＝340，则数列{an}的公差是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D． 解析：选C.因为S17＝＝＝17a9＝340，解得a9＝20，所以公差d＝a9－a8＝20－17＝3. 2．(2026·苏州月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝15，S10＝60，则a6＋a7＝(　　) A．9 B．10 C．11 D． 解析：选D.设等差数列{an}的公差为d，由题可知，解得 故a6＋a7＝2a1＋11d＝＋＝. 3．已知某等差数列{an}的项数n为奇数，前三项与最后三项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数n为(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 解析：选A.由已知得，a1＋a2＋a3＋an＋an－1＋an－2＝78，所以a1＋an＝26， 所有奇数项的和为a1＋a3＋a5＋…＋an＝＝＝65，解得n＝9. 4．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＝3.设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则T21＝(　　) A．245 B．263 C．281 D．290 解析：选C.等差数列{an}中，由a1＝9，a4＝3，得公差d＝＝－2， 则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.显然当n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0， 所以T21＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋a21) ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋a21)＝2×－＝281. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，am－1＋am＋1－3a＝0，S2m－1＝，则m＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选D.根据题意，am－1＋am＋1－3a＝0，即am－1＋am＋1＝3a. 又am－1＋am＋1＝2am，所以2am＝3a，解得am＝0或am＝. 又S2m－1＝，a1＋a2m－1＝2am， 所以S2m－1＝＝＝(2m－1)am＝，所以am＝，则(2m－1)＝，解得m＝10. 6．中国古代数学著作《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p＞1)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　) A．26 B．36 C．38 D．46 解析：选C.二二数之剩一、三三数之剩一的大于1的数分别为2m＋1，3k＋1，m，k∈N*， 因此数列{an}的项即为以上两类数的公共项6n＋1，即an＝6n＋1，n∈N*， 而an＋1－an＝6n＋7－(6n＋1)＝6，则数列{an}是等差数列， 于是Sn＝＝3n2＋4n，＝＝6＋14. 又对勾函数y＝x＋在(0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以n＝2时，取得最小值，最小值为38. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.若a2＝4，S5＝30，则下列结论正确的是(　　) A．{an}是递减数列 B．d＝2 C．a1＝2 D．＝3 解析：选BC.由得a1＝d＝2，故B，C正确； 因为d＝2＞0，所以{an}是递增数列，故A错误； ＝＝＝，故D错误． 8．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和．若S7＜S8＝S9＞S10，则(　　) A．d＜0 B．S10＞S7 C．S8与S9是Sn的最大值 D．使Sn＜0成立的n的最小值为17 解析：选AC.对于A，由S7＜S8＝S9，得a8＝S8－S7＞0，a9＝S9－S8＝0，d＝a9－a8＝－a8＜0，故A正确； 对于B，S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9＝0，即S10＝S7，故B错误； 对于C，由选项A知，数列{an}是递减数列，前8项都为正数，第9项为0，从第10项起为负数，因此S8与S9是Sn的最大值，故C正确； 对于D，S17＝＝17a9＝0，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S9＝126.若ak＝26，则k＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由S9＝＝9a5＝126，得a5＝14， 故d＝＝3.由ak＝a1＋(k－1)d＝2＋3(k－1)＝26，得k＝9. 答案：9 10．在等差数列{an}中，a1＝－2 026，其前n项和为Sn.若－＝2，则S2 026＝______． 解析：由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d. 由－＝2，可得2d＝2，即d＝1.又＝a1＝－2 026， 所以＝－2 026＋(2 026－1)×1＝－1，所以S2 026＝－2 026. 答案：－2 026 11．(2026·泰州月考)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝______． 解析：因为a1＋a14＝a5＋a10，b2＋b13＝b6＋b9， 所以＝＝＝＝＝＝1. 答案：1 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月织九匹三丈．”(注：1匹＝4丈，1丈＝10尺，一个月按30天算)若该女子从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，问： (1)她每天比前一天多织多少尺布？(6分) (2)第15天织布多少尺？(7分) 解：(1)由题可得每天织布数满足等差数列，设每天比前一天多织d尺布，即等差数列的公差为d.由题可得a1＝5，S30＝390， 则S30＝30a1＋d＝390，解得d＝， 即她每天比前一天多织尺布． (2)由(1)得，a15＝5＋14d＝5＋14×＝，故第15天织布尺． 13．(本小题满分15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S9＝117，a4＝11. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求使不等式Sn≤12成立的正整数n的值．(9分) 解：(1)依题意，S9＝9a5＝117，解得a5＝13， 故数列{an}的公差d＝a5－a4＝2， 则an＝a4＋(n－4)d＝11＋2(n－4)＝2n＋3. (2)Sn＝＝＝n2＋4n， 故Sn≤12，即n2＋4n－12≤0，即(n＋6)(n－2)≤0，解得－6≤n≤2. 因为n∈N*，所以使不等式Sn≤12成立的n的值为1，2. 14．(本小题满分15分)已知数列{an}满足，a1＝－，an＋1＝.若bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn. (1)求证：{bn}是等差数列；(4分) (2)求Sn的最小值；(4分) (3)求{|bn|}的前n项和Tn.(7分) 解：(1)证明：因为an＋1＝，a1＝－，所以＝＝2＋，即－＝2， 所以bn＋1－bn＝2.又b1＝＝－9， 所以{bn}是以－9为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知bn＝－9＋2(n－1)＝2n－11， 所以Sn＝＝n2－10n. 由二次函数的性质可知，当n＝－＝5时，Sn取得最小值， 所以Sn的最小值为S5＝－25. (3)由(2)知bn＝2n－11，Sn＝n2－10n， 当n≥6时，bn＞0；当n≤5时，bn＜0， 所以当n≤5时，Tn＝－(b1＋b2＋…＋bn)＝－Sn＝－n2＋10n； 当n≥6时，Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|b5|＋|b6|＋…＋|bn|＝－(b1＋b2＋…＋b5)＋(b6＋…＋bn) ＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝n2－10n＋50. 综上，Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $