第4章 培优点1 数列的函数特征-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

　数列的函数特征 数列是一类特殊的函数——数列可以看作定义在正整数集（或其有限子集{1，2，3，…，n}）上，当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列的通项公式（若存在）体现了数列的项与其项数之间的对应关系，实质就是一个函数解析式，定义域为正整数集（或其有限子集）. 如果我们知道数列的通项公式或前n项和公式，可以借助函数的性质来研究数列的性质：如单调性、最值、周期性等．特别地，若数列{an}满足存在一个最小的正整数T，使得an＋T＝an对一切正整数n都成立，则数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期． 常见类型有以下三种． 类型一 数列的单调性 　已知数列{an}的通项公式an＝(k∈R). (1)当k＝1时，判断数列{an}的单调性； (2)若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围． 【解】　(1)当k＝1时，an＝，所以an＋1＝，n∈N*， 所以an＋1－an＝－＝＞0， 故数列{an}是递增数列． (2)若数列{an}是递减数列，则an＋1－an＜0，n∈N*恒成立， 即an＋1－an＝－＝＜0恒成立． 因为(2n＋5)(2n＋3)＞0，所以3k＜0，故k＜0. 【方法点拨】　解决数列单调性问题的两种方法 (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)利用函数的单调性：若an＝f(n)，n∈N*，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则{an}是递增数列；若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则{an}是递减数列． 类型二 数列的最大(小)项 　已知数列{an}的通项公式是an＝n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 【解】　根据题意，令 即解得2≤n≤3. 又n∈N*，则n＝2或n＝3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项，且a2＝a3＝2×＝. 【方法点拨】　求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的单调情况，再求数列的最大项或最小项．如本题可利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项． (2)不等式法：求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n. 类型三 数列的周期性 　(2026·龙岩期中)若数列{an}满足a1＝6，an＋1＝，则a985＝(　　) A．－ B．－ C． D．6 【解析】　因为a1＝6，an＋1＝， 所以a2＝＝－，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝6，…， 所以{an}是周期为4的周期数列，故a985＝a246×4＋1＝a1＝6. 【答案】　D 【方法点拨】　利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 (1)根据数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项； (2)确定该数列的周期； (3)利用周期性求出要求的项． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选B.在数列{an}中，an＝＝2＋，则an＋1－an＝2＋－＝－＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列． 2．已知在数列{an}中，a1＝b(b＞0)，an＋1＝－(n∈N*)，则能使an＝b的n的数值是(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：选C.由题意得数列{an}的前4项为b，－，－＝－，－＝b， 所以数列{an}是周期为3的周期数列，能使an＝b的n的数值是1，4，7，10，13，16，19，…， 对比选项可知，只有C正确． 3．已知数列{an}满足an＝若{an}为递增数列，则实数t的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B． C． D． 解析：选B.当n≥3时，{an}为递增数列；当n＜3时，若{an}为递增数列，则t＞0； 若{an}为递增数列，则a2＜a3，即2t－1＜t－2-3＝t－，解得t＜. 综上，0＜t＜. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－20n(n∈N*)，则数列{an}中的最小项为______．(用具体数字作答) 解析：由题意得an＝2n－20n(n∈N*)，故an＋1－an＝2n+1－20(n＋1)－2n＋20n＝2n－20， 当n≤4时，an＋1－an＜0，故an＋1＜an， 当n≥5时，an＋1－an＞0，故an＋1＞an， 即得a1＞a2＞a3＞a4＞a5＜a6＜…， 所以数列{an}中的最小项为a5＝25－100＝－68. 答案：－68 5．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x211＝______． x 1 2 3 4 5 6 f(x) 4 5 1 2 6 3 解析：由题可知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1， 即数列{xn}是以6为周期的周期数列，又211＝35×6＋1， 所以x211＝x1＝5. 答案：5 6．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，∀n∈N*，an＋2＝an＋1－an，Sn为{an}的前n项和，则S2 026＝______． 解析：因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，所以a3＝a2－a1＝2，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－2，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝3，…， 所以{an}是以6为周期的周期数列，且S6＝1＋3＋2－1－3－2＝0， 而2 026＝337×6＋4，S4＝1＋3＋2－1＝5，故S2 026＝S4＝5. 答案：5 7．已知数列{an}满足an＝，n为正整数，则该数列的最大项是第______项． 解析：an＝＝，因为y＝x＋在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，且a2＝a3＝，故该数列的最大项是第2项和第3项． 答案：2和3 学科网（北京）股份有限公司 $