4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．(2026·沙坪坝期中)已知数列{log2an}是公差为－1的等差数列，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 解析：选A.由数列{log2an}是公差为－1的等差数列，得log2an＋1－log2an＝－1，则＝，因此数列{an}是公比为的等比数列，所以＝＝. 2．(2026·眉山月考)某种细菌在生长过程中，每10分钟分裂一次(由一个分裂为两个)，经过50分钟后，此细菌可由一个分裂成(　　) A．15个 B．31个 C．16个 D．32个 解析：选D.由题意可得一个细菌10分钟后共有21＝2个，20分钟后共有22＝4个，……，从而得到10n分钟后共有2n个，所以经过50分钟后，共有25＝32个． 3．已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}的前n项积，且T2＝，T4＝，则T6＝(　　) A．8 B．2 C．1 D． 解析：选A.T2＝a1a2＝，T4＝a1a2a3a4＝，故a3a4＝2，所以＝16＝q4，T6＝a1a2a3a4a5a6＝T4a5a6＝a3a4q4＝×2×16＝8. 4．(2026·苏州月考)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an－1，则a7＝(　　) A．13 B．32 C．64 D．128 解析：选C.由题意，当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，解得a1＝1，对于n≥2，由Sn＝2an－1和Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n-1，因此a7＝26＝64. 5．已知数列{an}为等比数列，a2＝2，若{an}的前3项和为7，则数列的前3项和为(　　) A．7 B． C． D． 解析：选D.设数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝＋2＋2q＝7，即q＋＝， 所以＋＋＝＋＋＝＋＝. 6．(多选)在等比数列{an}中，a4＝3，a8＝48，公比为q，则(　　) A．a6＝±12 B．q＝±2 C．{a}是公比为2的等比数列 D．{anan＋1}是公比为4的等比数列 解析：选BD.对于A，由题意得a＝a4a8＝144，因为a6＝a4q2>0，所以a6＝12，故A错误；对于B，＝q4＝16，则q＝±2，故B正确；对于C，由＝＝qn·a4qn-3＝3q2n-3，所以数列{a}不是等比数列，故C错误；对于D，当n≥2时，＝q2＝4，所以数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，故D正确． 7．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 答案：45 8．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于表中第一行、第二行、第三行中的某一格内．又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*). 类别 第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行 6 14 4 第三行 9 18 8 解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2，6，18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n-1. 答案：2·3n-1 9．嫦娥奔月是一个美丽的传说，现已测定月球距离地球约38万 km，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1 mm的纸对折n次，其厚度就可以超过地球与月球的距离，那么至少对折的次数n是______．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.58) 解析：设对折n次时，纸的厚度为an mm，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝0.1×2×2n-1＝0.1×2n.令an＝0.1×2n>38×104×106，即2n>3.8×1012，所以lg 2n>lg 3.8＋12，即n lg 2>lg 3.8＋12，解得n>≈≈41.93.又n∈N*，所以至少对折的次数n是42. 答案：42 10．(13分)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3；(5分) (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(5分) (3)求{an}的通项公式．(3分) 解：(1)因为nan＋1＝2(n＋1)an，则an＋1＝an，将n＝1代入得a2＝4a1，又a1＝1，所以a2＝4，将n＝2代入得a3＝3a2＝12，又bn＝，所以b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列，理由如下：由题可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1≠0，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)知＝bn＝2n-1，所以an＝n·2n-1. 11．设数列{an－1}是公比为2的等比数列，且a1＝2，数列{bn}满足abn＝an＋1，则不等式an＋bn>15成立时，对应n的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.因为a1＝2，所以a1－1＝2－1＝1，因为数列{an－1}是公比为2的等比数列，所以an－1＝1×2n-1＝2n-1，即an＝2n-1＋1，易知{an}是递增数列．又数列{bn}满足abn＝an＋1，所以bn＝n＋1，不等式an＋bn>15成立，即2n-1＋1＋n＋1>15，化简为2n-1＋n>13，因为函数y＝2n-1＋n在n∈N*上单调递增，所以当n＝4时，23＋4＝12<13，当n＝5时，24＋5＝21>13，则不等式an＋bn>15成立时，对应n的最小值为5. 12．(多选)(2026·济南月考)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比为q(q>0)，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．若q＝1，则删去任意一个数都可以 B．若q≠1，则可以删去a1或a4 C．若q≠1，删去a2，则q＝ D．若q≠1，删去a3，则q＝ 解析：选ACD.对于A，若q＝1，则a1，a2，a3，a4均相等，删去其中的任意一个数，则剩下的三个数还相等，公差为0，故A正确；对于B，若删去a1或a4，都得到等差数列，则公比q＝1，故B错误；对于C，若删去a2，则由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，由等比数列可知a1≠0，所以2q2＝1＋q3，得(q－1)(q＋1)＝q2(q－1)，又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，得q＝，故C正确；对于D，若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3.又a1≠0，所以2q＝1＋q3，因为q＝1是方程的根，提取公因式q－1，得q(q＋1)·(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝，故D正确． 13．定义：＝ad－bc.若等比数列{an}满足 ＝ ，且a1＝1，则a10＝________． 解析：因为 ＝ ⇒anan＋1－2a＝a⇒anan＋1＝3a.因为{an}为等比数列，所以an≠0，所以an＋1＝3an，则公比q＝＝3.又a1＝1，所以an＝1×3n-1＝3n-1，所以a10＝39. 答案：39 14．(13分)(2026·内江月考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝. (1)证明数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(6分) (2)令bn＝，证明：bn<bn＋1<1.(7分) 解：(1)由an＋1＝，a1＝1，得＝＋1，即＋1＝2，又＋1＝2≠0，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则＋1＝2·2n-1＝2n，故an＝. (2)证明：由(1)得bn＝＝，则bn＋1＝.则bn－bn＋1＝－＝ ＝－<0；bn＋1－1＝ ＝－<0.则bn<bn＋1<1. 15．(15分)“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万km2，其中70%是沙漠，30%是绿洲．从今年初起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年初起(包括今年初)第n年初绿洲面积为an万km2. (1)求an与an－1(n≥2)的关系；(4分) (2)判断是不是等比数列，并说明理由；(5分) (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(参考数据：lg 2≈0.301)(6分) 解：(1)由题意当n≥2时，an＝(1－0.04)an－1＋(1－an－1)×0.16＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋(n≥2). (2)数列是等比数列．理由如下： 由(1)得an＝an－1＋(n≥2)， 当n≥2时，设an＋x＝(an－1＋x)，可得an＝an－1－，所以－＝，可得x＝－，所以an－＝，且a1－＝－＝－，因此数列是首项为－，公比为的等比数列． (3)由(2)可知，an－＝－×n-1，即an＝－×n-1＋.令an＝－×n-1＋>，得n-1<，两边取常用对数，得(n－1)lg <lg ，所以n>＋1＝＋1＝＋1＝＋1≈＋1＝＋1≈5.1，又n∈N*，所以第6年初绿洲面积可超过60%，即至少经过5年，绿洲面积可超过60%. 学科网（北京）股份有限公司 $