第22讲 等差数列（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第22讲 等差数列 【人教A版】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（24-25高二下·四川泸州·期末）公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（   ） A．0 B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.3】（24-25高二下·江西上饶·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【变式2.1】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【变式2.3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A．30 B．40 C．50 D．70 【变式3.1】（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式3.2】（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 【变式3.3】（24-25高二下·广东湛江·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．6 B．16 C．24 D．60 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4.3】（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【变式6.3】（24-25高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前n项和Sn； (2)设，求证：数列的前项和. 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【变式7.2】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 【变式7.3】（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【变式8.1】（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式8.2】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8.3】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【题型9 等差数列与不等式综合】 【例9】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式9.1】（2025·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式9.2】（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式9.3】（24-25高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 一、单选题 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）在等差数列中，，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 6．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 7．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 8．（25-26高二上·甘肃白银·期中）记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 11．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）在等差数列中，，，则 ． 13．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，则数列的通项公式 ． 14．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 16．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求. (2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 等差数列 【人教A版】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（24-25高二下·四川泸州·期末）公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算. 【解答过程】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【解答过程】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·江西上饶·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据题意结合等差数列的通项公式运算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，则，整理可得， 又因为，即. 故选：A. 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【答案】B 【解题思路】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【解答过程】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先证明出充分性成立，再证明出必要性成立，得到答案. 【解答过程】由题意得， 若，则，即， ，即， 由与得， 由与得， 依此类推，可得，故是等差数列，充分性成立， 若是等差数列，不妨设，则， 故，即 因为，所以， 所以，必要性成立， 故“”是“是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 【变式2.3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由题设递推式写出，； （2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论； （3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式. 【解答过程】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A．30 B．40 C．50 D．70 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的下标和性质求解即可. 【解答过程】在等差数列中，， 则，解得. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【解题思路】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【解答过程】由已知，， 所以，故． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 【答案】D 【解题思路】先求出，然后利用等差数列的性质计算即可． 【解答过程】因为，公差为，所以， 所以，因此，   故选：D． 【变式3.3】（24-25高二下·广东湛江·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．6 B．16 C．24 D．60 【答案】C 【解题思路】根据等差数列下标和的性质即可求的值，根据通项公式计算即可得出结果. 【解答过程】由等差数列的性质：，设等差数列的公差为， 而. 故选：C. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解答过程】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可； （2）根据裂项相消法求和即可． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ，，， 解得，，， ，． （2）， ． 【变式4.3】（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 【答案】(1) (2) (3)195 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. （2）利用等差中项的意义求解. （3）利用等差数列性质求解. 【解答过程】（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【解答过程】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值. 【解答过程】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【解答过程】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【解答过程】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D. 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得到，利用等差中项求得，然后依次求得，即可求得. 【解答过程】∵，∴， 即，∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【解答过程】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)或13， 【解题思路】（1）根据题意求出公差，利用等差数列的通项公式列方程求； （2）根据等差数列求和公式写出的表达式，再利用二次函数的性质求最小值. 【解答过程】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 【变式6.3】（24-25高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式及前n项和Sn； (2)设，求证：数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式计算即可； （2）利用裂项相消法来求和，再用放缩法，不等式即可得证. 【解答过程】（1）由题意可知， 等差数列的公差为， 所以， 又 所以； （2）因为， 所以, 即. 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【解答过程】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解题思路】由已知得到的关系，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【解答过程】因为，所以，整理得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值， 故选：B． 【变式7.2】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值，此时 【解题思路】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，． 所以，解得， 所以的通项公式是． （2）    当且仅当时，的最大值为16． 【变式7.3】（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【解题思路】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，列式求出等差数列的公差，进而求出目标值. 【解答过程】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解题思路】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【变式8.2】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解题思路】由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断①选项；利用等差数列的通项公式可判断②选项；利用等差数列的求和公式可判断③④选项. 【解答过程】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列， 记数列的前项和为， 对于①，由题意可得，解得，①结论正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，， 而，故④错误； 故选：D. 【题型9 等差数列与不等式综合】 【例9】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质判断数列的增减性，再利用等差数列的前项和公式即可. 【解答过程】因数列是等差数列，则， 又，则，故公差，则数列是递增数列， 故当时递减，当时递增， 又，， 故使不等式成立的最大的的值为. 故选：C. 【变式9.1】（2025·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围. 【解答过程】因为，时，， 时，， 所以，，， 因为为等差数列，所以，， 从而，， 所以，即， 则当时，恒成立， ，解得或， 只有选项A符合题意， 故选：A. 【变式9.2】（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【解答过程】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2）由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是：. 【变式9.3】（24-25高三上·上海静安·期中）等差数列中，，的前n项和为，满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，设是数列的前n项和，若存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立，求的最小值. (3)若对于任意，，不等式都成立，求正数k的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设等差数列的首项和公差为，由题意可得，解方程求出，即可得出答案； （2）由裂项相消法求出，再根据的单调性求出，即可得出答案； （3）由等差数列的前项和公式求出，代入不等式，分离参数可得，令，换元法求出的最小值，即可得出答案. 【解答过程】（1）因为等差数列中，，， 设等差数列的首项和公差为， 所以，解得：， 故等差数列的通项公式为：. （2）， ，其中， 因为在上单调递增，所以， 又因为，所以， 因为存在常数s，t，使不等式对任何正整数n都成立， 所以的最小值为. （3）因为，所以， 原不等式即，即， 由可得：，即， 令，令，所以， 所以， 当时，取得最小值为，即， 正数k的最大值为. 一、单选题 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）在等差数列中，，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由题知公差. 故选:D. 2．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）在等差数列中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】因为数列是等差数列，所以. 故选：D. 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设公差为，根据单调递增，得到，结合等差数列的通项公式得到，根据求出答案． 【解答过程】因为为等差数列，设公差为， 因为，则， 因为数列单调递增，所以，则，即. 故选：C． 4．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若数列的前4项依次为20，11，2，，则数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察前4项规律，写出通项公式，可判断B，对A，C，D举反例说明. 【解答过程】对于B，从前四项看，这是一个以20为首项，以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式有，故B正确； 对于A，当时，，这与条件不符，故A错误； 对于C，当时，，这与条件不符，故C错误； 对于D，当时，，这与条件不符，故D错误. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【解答过程】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 6．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 【答案】C 【解题思路】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【解答过程】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 7．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的求和公式及通项公式列方程求首项及公差可得解. 【解答过程】假设等差数列的公差为，首项为最小的一份，100修改为： 则，解得，， 因为要使得每个人获得的面包数都是整数个， 所以是的正整数倍，结合选项可知. 故选：C. 8．（25-26高二上·甘肃白银·期中）记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】设等差数列的公差为，首项为，通过已知条件建立方程组解出，写出等差数列的通项公式和等差数列前项和公式，然后建立不等式解出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 则，即， 解得：， 所以， ， 由，则有， 即，解得， 所以使成立的的最大值是5， 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【解答过程】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 10．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【解题思路】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【解答过程】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【解题思路】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【解答过程】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）在等差数列中，，，则 ． 【答案】 【解题思路】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 13．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】根据递推式得，结合等差数列的定义写出通项公式即可. 【解答过程】因为， 所以，可得 ， 从而， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 所以 ，即． 故答案为：. 14．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则 ． 【答案】2或 【解题思路】根据题中条件可推出之间的关系式，再由求出的值，继而解方程，即可求得答案. 【解答过程】为等差数列，， 又，知，所以， ，即， 解得或，结合，则，且为递增数列，故； 又由得：，即， ，即， 解得或（舍去）， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或. 故答案为：2或. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【解答过程】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 16．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知条件求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）先对进行裂项，然后利用裂项相消法求出，最后证明. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，首项为， 根据等差数列通项公式，已知，， 可得方程组，解得，， 所以的通项公式为； （2）由（1）可知，则， 所以， 则， 可得：， 因为，所以，则，即. 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求. (2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或6时，取得最大值15，无最小值 【解题思路】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得，进而求解即可； （2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，，则，解得， 所以. （2）由，函数开口向下，对称轴为， 而，则或6时，取得最大值15，无最小值. 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出； （2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【解答过程】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程解出，再写出通项公式； （2）由（1）得，利用裂项相消法可求； （3）先求数列的前项和求出使成立的的所有取值，再按和两种情况分析的符号，结合的单调性即求出的最大值. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为 由，得，解得. . （2）由（1）得，， . （3）由（1）得， 由 得 ， ∵当时， 当时，；当时， ∴当或或或时，有最大值. 因为当时，， 而随增大而增大；随增大而减小. 所以的最大值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $