4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．已知等差数列{an}，若a2＋a4＝12，则S5＝(　　) A．14 B．16 C．30 D．48 解析：选C.由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝12， S5＝＝＝30. 2．(2026·许昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，S9＝3(a5＋a6)，Sm＝0，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，显然d≠0. 由题意得，9a1＋36d＝3(2a1＋9d)， 化简得a1＋3d＝0. Sm＝ma1＋d＝m(a1＋d)＝0， 显然＝3，解得m＝7. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝5，a5＝3a3，则a8＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B.由题意得S5＝×5＝5a3＝5，所以a3＝1.又a5＝3a3，所以a5＝3， 所以公差d＝＝1，则a8＝a3＋5d＝6. 4．(2026·西安月考){an}为等差数列，若a1＋3a8＋a15＝120，下列不是定值的是(　　) A．a3＋a13 B．a16 C．2a9－a10 D．S15 解析：选B.因为数列{an}为等差数列， 则a1＋3a8＋a15＝(a1＋a15)＋3a8＝2a8＋3a8＝120，解得a8＝24. 对于A，a3＋a13＝2a8＝48；对于B，无法确定a16的值； 对于C，2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24； 对于D，S15＝＝15a8＝15×24＝360. 5．(2026·淮安月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.若8a1＋S5＝110，4d＋S4＝20，则Sn≤0时，n的最小值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：选B.由8a1＋S5＝110，4d＋S4＝20可得 解得则Sn＝10n＋×(－2)＝－n2＋11n， 由Sn≤0可得－n2＋11n≤0，解得n≥11. 6．(多选)已知在等差数列{an}中，a2＝－6，a7＝9，前n项和为Sn，则下列选项中正确的有(　　) A．a4＋a5＝3 B．a9＝3 C．S3＝S4 D．S7＝0 解析：选ACD.设等差数列{an}的公差为d，由a2＝－6，a7＝9， 可得解得 由于a4＋a5＝a2＋a7＝－6＋9＝3，故A正确； a9＝a1＋8d＝15，故B错误； S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝－18，S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝－18， 所以S3＝S4，故C正确； S7＝7a1＋d＝7a1＋21d＝0，故D正确． 7．在等差数列{an}中a2＝5，S4＝26，则an＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，所以解得 所以an＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 答案：3n－1 8．(2026·江苏月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝6，S3＝0.函数f(x)＝(x＋6)5＋4，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意，可得S3＝3a1＋3d＝0，即a1＝－d. 因为a1＝6，则d＝－6，故an＝6＋(n－1)×(－6)＝－6n＋12， 则a1＋a5＝a2＋a4＝2a3＝2×(－6×3＋12)＝－12. 因为f(x)＝(x＋6)5＋4，而f(－12－x)＝(－12－x＋6)5＋4＝－(x＋6)5＋4， 故f(x)＋f(－12－x)＝(x＋6)5＋4－(x＋6)5＋4＝8， 则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋[f(a2)＋f(a4)]＋f(a3)＝[f(a1)＋f(－12－a1)]＋[f(a2)＋f(－12－a2)]＋f(－6) ＝8＋8＋4＝20. 答案：20 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S17＝S9.若Sm＝S14(m≠14)，则m的值为_______________________________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则Sn＝n2＋n， 所以Sn可看成二次函数f(x)＝x2＋x，x∈N*. 由二次函数图象的对称性及S17＝S9，Sm＝S14， 可得＝，解得m＝12. 答案：12 10．(13分)在等差数列{an}中，Sn是其前n项和． (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10；(4分) (2)已知a1＝，公差d＝－，Sn＝－15，求n及a12；(4分) (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.(5分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 所以S10＝20×10＋＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 可得4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14. 11．(2026·济南月考)把正整数按下列方法分组，(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数．设Sn表示第n组中所有数的和，那么S21＝(　　) A．1 113 B．4 641 C．5 082 D．5 336 解析：选B.第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数． 因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数， 所以S21＝21×211＋×1＝4 641. 12．(多选)(2026·渭南期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S5，S7＝S6，S7>S8，则下列说法正确的是(　　) A．S9>S5 B．公差d<0 C．S6和S7均为Sn的最大值 D．a7＝0 解析：选BCD.由S6>S5，得S6－S5＝a6>0.由S6＝S7，得S7－S6＝a7＝0. 由S7>S8，得S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d＝a7－a6<0，故B，D正确；所以a1，a2，a3，a4，a5，a6为正数，a7＝0，从第8项起均为负数，故S6和S7均为Sn的最大值，故C正确；S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，即S9<S5，故A不正确. 13．(2026·淄博期中)已知平面α内有四点A，B，C，D，且任意三点不共线，点O为平面α外一点，数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn.若＝a1 012－＋a1 014，则S2 025－a1 013＝________． 解析：因为A，B，C，D四点都在平面α内且任意三点不共线， 由＝a1 012－＋a1 014和共面向量定理，可得a1 012＋a1 014－1＝1，即a1 012＋a1 014＝2. 因为{an}为等差数列，所以S2 025＝＝＝2 025. 又a1 012＋a1 014＝2a1 013＝2，所以a1 013＝1， 所以S2 025－a1 013＝2 024. 答案：2 024 14．(13分)(2026·咸阳月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝－n2＋13n. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值．(7分) 解：(1)已知Sn＝－n2＋13n， 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋13＝12； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋13n)－[－(n－1)2＋13(n－1)]＝－2n＋14. 又n＝1时，a1＝12，符合上式， 故数列{an}的通项公式为an＝14－2n(n∈N*). (2)Sn＝－n2＋13n＝－＋， 由于n为正整数，6＜＜7且S6＝－36＋78＝42，S7＝－49＋91＝42， 故(Sn)max＝S6＝S7＝42. 15．(15分)已知在正项数列{an}中，a1＝1且＋＝an(n≥2)，其中Sn为数列{an}的前n项和． (1)求证：数列{}是等差数列；(5分) (2)求数列{an}的通项公式；(4分) (3)若对任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，求实数λ的取值范围．(6分) 解：(1)证明：在数列{an}中，Sn－Sn－1＝an(n≥2)①， 又因为＋＝an(n≥2)②，an＞0， 所以得－＝1(n≥2).又因为＝＝1， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1，也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (3)由(2)知，Sn＝n2. 因为对任意n∈N*，2n·λ≥Sn恒成立，所以λ≥恒成立． 设bn＝，则bn＋1－bn＝－＝＝. 当n＝1，n＝2时，bn＋1－bn＞0，即bn＜bn＋1； 当n≥3，n∈N*时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1， 所以b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞…， 所以数列{bn}的最大项是b3＝，所以λ≥， 即实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $