4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．已知等比数列{an}的公比q＝2，a4＝－8，则首项a1＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B.由题意知，a4＝a1q3，所以a1＝＝－1. 2．已知2，a－3，－a成等比数列，则a的值为(　　) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解析：选C.因为2，a－3，－a成等比数列，所以(a－3)2＝2，即(a－2)2＝0，解得a＝2. 3．已知等比数列{an}的前3项积为8，a1＞0，a4＝8，则a3＝(　　) A．4 B．－4 C．16 D．2 解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn-1. 由题可得解得则a3＝a1q2＝4. 4．已知{an}为等比数列，a1＞0，且a3＞4a2，则{an}的公比q的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．(－1，0)∪(0，4) C．(0，4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：选D.因为a3＞4a2，所以a1q2－4a1q＝a1q(q－4)＞0， 又a1＞0，所以q(q－4)＞0，解得q∈(－∞，0)∪(4，＋∞). 5．已知等比数列{an}满足a1＝1，a4＝8，若将an除以5所得余数记为bn，则b369＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2， 则an＝2n-1，所以b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝3，b5＝1，b6＝2，b7＝4，b8＝3，…， 所以{bn}为周期为4的周期数列，所以b369＝b4×92＋1＝b1＝1. 6．(多选)(2026·重庆期末)已知等比数列{an}中，a2，a4是方程x2＋3x＋4＝0的两根，则a3＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 解析：选AD.因为a2，a4是方程x2＋3x＋4＝0的两根，可得a2a4＝4. 又由等比数列的性质，可得a＝a2a4＝4，所以a3＝±2. 7．在等比数列{an}中，若a4＝8a1＝－8，则a6＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题得a1＝－1，a4＝－8， 所以a4＝a1q3＝－8，解得q＝2. 所以a6＝a1q5＝－32. 答案：－32 8．已知三个互不相等的一组实数a，b，c成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数a，b，c为_______________________． 解析：－4，2，－1成等比数列，而－4，－1，2成等差数列， 所以a，b，c可取－4，2，－1. 答案：－4，2，－1(答案不唯一) 9．若等比数列{an}满足anan＋1＝2n，则其公比q为__________． 解析：由anan＋1＝2n，得a1a2＝2，a2a3＝22＝4， 所以＝＝2，即q2＝2，解得q＝±. 又2＝a1a2＝aq＞0，所以q＞0，所以q＝. 答案： 10．(13分)在等比数列{an}中： (1)若a1＝3，a7＝81，求a11；(4分) (2)若a3a5＝64，a6＝32，求a1；(4分) (3)若＝4，求公比q.(5分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q. 因为a1＝3，a7＝81，所以q6＝＝27，所以q2＝3. 所以a11＝a1q10＝3×35＝729. (2)设等比数列{an}的公比为q， 因为所以 解得或 所以a1的值为1或－1. (3)因为＝＝＝＝4，所以q＝±. 11．(2026·南通期中)设数列{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1.若数列{an}的连续四项构成集合{－81，－9，3，27}，则q的值为(　　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 解析：选B.因为数列{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，且数列{an}的连续四项构成集合{－81，－9，3，27}，则数列{|an|}的连续四项为递增数列，为3，9，27，81， 所以数列{an}的连续四项为3，－9，27，－81，所以公比q＝＝－3. 12．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若a，b，c成等差数列，则3a－2，3b－2，3c－2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列 C．若a，b，c成等比数列，则ln a，ln b，ln c成等差数列 D．若a，b，c成等比数列，则a2，b2，c2成等比数列 解析：选ABD.对于A，若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以3a－2＋3c－2＝3(a＋c)－4＝6b－4＝2(3b－2)， 所以3a－2，3b－2，3c－2成等差数列，A正确； 对于B，若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 则(2b)2＝22b＝2a＋c＝2a·2c， 因为2a，2b，2c均为正数，所以2a，2b，2c成等比数列，B正确； 对于C，若a，b，c成等比数列，如取a＝b＝c＝－1， 则ln a，ln b，ln c均无意义，C错误； 对于D，若a，b，c成等比数列，则a，b，c均不为零，且b2＝ac， 所以(b2)2＝(ac)2＝a2c2，即a2，b2，c2成等比数列，D正确． 13．已知等比数列{an}满足a2n＝a，且－a2是a1与a3的等差中项，则a5＝______． 解析：由等比数列{an}得，a1≠0，公比q≠0， 因为a2n＝a，所以a1q2n-1＝(a1qn-1)2， 即a1q2n-1＝aq2n-2，化简得a1＝q. 因为－a2是a1与a3的等差中项，所以－2a2＝a1＋a3， 即－2a1q＝a1＋a1q2， 化简得q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1，则a1＝－1， 得到a5＝a1q4＝－1×1＝－1. 答案：－1 14．(15分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}满足bn＝2log2an＋3，b1＝3，b6＝13. (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)求数列{bn}的前n项和Sn.(8分) 解：(1)因为b1＝2log2a1＋3＝3，所以a1＝1. 又b6＝2log2a6＋3＝13，所以a6＝25. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则a6＝25＝a1q5，故q＝2， 因此an＝a1qn-1＝2n-1. (2)bn＝2log2an＋3＝2log22n-1＋3＝2n＋1， 由于bn＋1－bn＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2， 故{bn}为等差数列，且公差为2， 故Sn＝＝＝n2＋2n. 15．(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)已知数列{bn}的前n项积为Tn，且bn＝，求Tn的最大值．(9分) 解：(1)Sn＝2an－2，① 当n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，② 由①－②得 an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 故{an}为首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＝2·2n-1＝2n. (2)bn＝＝＝210-n， 所以Tn＝b1b2b3·…·bn＝29·28·27·…·210-n＝29+8+7+…+10-n＝2. 因为y＝2x在R上单调递增， 所以只需求出f(n)＝的最大值， 其中f(n)＝＝， 又n∈N*，所以当n＝9或n＝10时，f(n)取得最大值， 最大值为f(10)＝＝45， 所以Tn的最大值为245. 学科网（北京）股份有限公司 $