4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，则a20＝(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－2 解析：选B.因为a1＝1，an＋an＋1＝3，所以a2＝2，a3＝1，a4＝2，a5＝1，…， 即数列{an}的奇数项为1，偶数项为2，所以a20＝2. 2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　) A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an C．an＋1＝an D．an＋1＝－an 解析：选D.观察可知该数列的后一项与前一项的比值为－，即an＋1＝－an. 3．(2026·朝阳月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，则a5＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选C.因为点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，所以Sn＝2n－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n-1－1)＝2n-1， 所以a5＝24＝16. 4．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，则an＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由已知an＋1＝an，即＝， 则当n≥2时，＝，＝，＝，…，＝，＝， 等式左右两边分别相乘可得＝···…··＝， 又a1＝1，适合上式， 所以an＝. 5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是(　　) A．20 B．21 C．26 D．27 解析：选B.n条直线相交，交点最多的个数设为an－1， 则a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋3＝6，故an＝an－1＋n，n≥2， 即a4＝6＋4＝10，a5＝10＋5＝15，a6＝15＋6＝21， 故7条直线相交，交点的个数最多是21. 6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，am＋n＝aman，则下列结论正确的是(　　) A．a20＝1 B．a21＝1 C．若S20＝20，则a1＝1 D．若S21＝－1，则a1＝－1 解析：选ACD.在数列{an}中，a2＝1，am＋n＝aman，令m＝n＝1，得a2＝a＝1，解得a1＝±1， 令m＝2，则an＋2＝ana2＝an，因此a20＝a2＝1，a21＝a1＝±1，故A正确，B错误； 显然a2n＝1，a2n－1＝a1，则S20＝10a1＋10a2＝10a1＋10＝20，解得a1＝1，故C正确； S21＝11a1＋10a2＝11a1＋10＝－1，解得a1＝－1，故D正确． 7．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意n∈N*，有an＋1＝an＋(－1)n·n，则a50＝______． 解析：依题意，a2＝a1－1，a3＝a2＋2，a4＝a3－3，…，a49＝a48＋48，a50＝a49－49， 上述49个式子相加得a50＝a1＋24×1－49＝1－25＝－24. 答案：－24 8．已知数列{an}对任意正整数n，均满足a1a2a3·…·an＝n2，则a3＝________． 解析：由数列{an}对任意正整数n，均满足a1a2a3·…·an＝n2， 当n＝2时，可得a1a2＝4；当n＝3时，可得a1a2a3＝9， 所以a3＝＝. 答案： 9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋2(n∈N*)，则数列前4项的和为____________________________． 解析：在数列{an}中，由an＋1－an＝2n＋2，得an＋1＝an＋2n＋2，而a1＝2， 则a2＝a1＋4＝6，a3＝a2＋6＝12，a4＝a3＋8＝20， 所以＋＋＋＝＋＋＋ ＝＋＋＋＝1－＝. 答案： 10．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－30n＋1. (1)求Sn的最小值，并求此时n的值；(6分) (2)求{an}的通项公式．(7分) 解：(1)由Sn＝2n2－30n＋1＝2－，n∈N*， 故当n＝7或n＝8时，Sn取最小值，最小值为S7＝S8＝－111. (2)当n＝1时，a1＝S1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32， 显然a1＝－27不满足上式，故an＝ 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22称为五边形数．若五边形数所构成的数列记作{an}，则下列是数列{an}的项的是(　　) A．36 B．50 C．70 D．91 解析：选C.由已知得，a1＝1，a2＝5＝a1＋4＝a1＋3×2－2，a3＝12＝a2＋7＝a2＋3×3－2， a4＝22＝a3＋10＝a3＋3×4－2，…，所以an＝an－1＋3n－2，n≥2， 所以a5＝a4＋13＝35，a6＝a5＋16＝51，a7＝a6＋19＝70，a8＝a7＋22＝92. 12．(多选)已知正项数列{an}满足an＋1＝{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定正确的是(　　) A．若a1＝10，则a7＝4 B．若a1＝10，则a15＝8 C．若a1＝10，则S100＝251 D．若a3＝16，则a1的值有3种情况 解析：选ACD.对于A，由题意得an＋1＝且a1＝10， 依次可得a2＝5，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，a8＝2，a9＝1，…， 则数列{an}从第4项开始呈现周期为3的规律，可得a7＝4，故A正确； 对于B，易得a15＝a6＝1，故B错误； 对于C，S100＝10＋5＋8＋4＋32×(4＋2＋1)＝251，故C正确； 对于D，若a3＝16，则a2＝32或a2＝13；若a2＝32，则a1＝64或a1＝29； 若a2＝13，则a1＝26，所以a1的值有3种情况，故D正确． 13．(13分)某次练习中一道多选题中的一个选项为“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋λn＋3，则数列{an}为递增数列”．小华同学在草稿纸上的解答过程如下： 解：已知Sn＝n2＋λn＋3，则Sn－1＝(n－1)2＋λ(n－1)＋3，两式相减得an＝2n－1＋λ，故数列{an}为递增数列．请问小华的解答过程和结论是否正确？如果不正确，请简要说明理由． 解：不正确． 理由：当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋λ(n－1)＋3，Sn－Sn－1得， an＝2n－1＋λ(n≥2)，只能说明数列{an}从第二项开始是递增数列， 还需检验首项． 因为a1＝S1＝4＋λ，a2＝3＋λ，则a1＞a2， 所以数列{an}不是递增数列． 14．(15分)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. (1)求a1和a3的值，并猜想{an}的通项公式；(6分) (2)证明第(1)问猜想的通项公式．(9分) 解：(1)由题意对任意正整数n，有2Sn＝nan， 令n＝1，2S1＝a1，即2a1＝a1，可得a1＝0； 令n＝3，2S3＝3a3，即2(0＋3＋a3)＝3a3，可得a3＝6. 由a1＝0，a2＝3，a3＝6，猜想：an＝3(n－1)(n∈N*). (2)证明：由(1)可知a1＝0，a2＝3，a3＝6， 当n≥2时，由2Sn＝nan得2Sn＋1＝(n＋1)an＋1，则2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 即(n－1)an＋1＝nan，即＝， 故当n≥3时，an＝··…··a2＝××…××3＝3(n－1)， 且a1＝0，a2＝3也适合上式，所以an＝3(n－1)(n∈N*). 15．已知数列{an}满足a1＝1，Sn为其前n项和，若对任意正整数p，q，当p＞q时，恒有ap＋q＋ap－q＝2ap－aq成立，则S7＝______． 解析：由已知ap＋q＋ap－q＝2ap－aq， 当p＝2，q＝1时，a3＋1＝2a2－1，即a3＝2a2－2， 当p＝3，q＝1时，a4＋a2＝2a3－1，得a4＝3a2－5， 当p＝4，q＝1时，a5＋a3＝2a4－1，得a5＝4a2－9， 又当p＝3，q＝2时，a5＋a1＝2a3－a2，即4a2－9＋1＝2(2a2－2)－a2，解得a2＝4， 则a1＝1，a2＝4，a3＝6，a4＝7，a5＝7， 当p＝5，q＝1时，a6＋a4＝2a5－1，得a6＝6， 当p＝6，q＝1时，a7＋a5＝2a6－1，得a7＝4， 所以S7＝1＋4＋6＋7＋7＋6＋4＝35. 答案：35 学科网（北京）股份有限公司 $