4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．在等差数列{an}中，若a1＝12，a7＝36，则公差d的值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选D.由a7＝a1＋6d＝12＋6d＝36，解得d＝4. 2．在等差数列{an}中，a3＝5，a7＝－3，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝17－4n C．an＝18－3n D．an＝11－2n 解析：选D.设等差数列{an}的公差为d. 由题意得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝9＋(n－1)×(－2)＝11－2n. 3．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是(　　) A．8 B．6 C．4.5 D．3 解析：选D.因为m＋2n＝8，2m＋n＝10， 所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6， 所以2m－n和2n－m的等差中项是＝＝3. 4．若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 解析：选D.这个数列的指数分别是0，7，14，21，…，则指数部分构成首项为0，公差为d＝7的等差数列{an}，则{an}的通项公式为an＝7n－7，n∈N*，由7n－7＝98，得n＝15， 所以398是原数列的第15项． 5．(2026·合肥期中)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2＝2an＋1－an，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．9 D．11 解析：选B.因为an＋2＝2an＋1－an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以数列{an}是等差数列． 因为a1＝2，a2＝3，所以公差d＝1，故an＝a1＋(n－1)d＝n＋1， 所以a5＝5＋1＝6. 6．(多选)记等差数列{an}的公差为d，已知a7＜0＜a8，则(　　) A．d＞0 B．a7＋a8＜0 C．a7＋a9＜0 D．a9＞ 解析：选AD.等差数列{an}的公差为d，a7＜0＜a8， 对于A，d＝a8－a7＞0，A正确； 对于B，a7＋a8的符号无法确定，B错误； 对于C，a7＋a9＝2a8＞0，C错误； 对于D，因为a8＞0，d>0，所以a9＝a8＋d>0，a10＝a9＋d＞0，则a9＝＞，D正确． 7．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为______． 解析：设方程的两根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－6，所以两根的等差中项为－3. 答案：－3 8．设数列{an}是公差为d(d＞0)的等差数列．若{an}的连续四项是集合{－6，－2，0，2，6}中的元素，则d＝________． 解析：数列{an}是公差为d(d＞0)的等差数列，因为{an}的连续四项是集合{－6，－2，0，2，6}中的元素，可得{an}的连续四项为－6，－2，2，6，所以d＝4. 答案：4 9．已知数列{nan}是以1为首项，3为公差的等差数列，则a5＝______． 解析：因为数列{nan}是以1为首项，3为公差的等差数列， 可得nan＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝＝3－，所以a5＝3－＝. 答案： 10．(13分)记等差数列{an}的公差为d. (1)已知a3＝－2，d＝3，求an；(4分) (2)若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值；(4分) (3)若a3＝，a7＝－，求a15的值．(5分) 解：(1)因为a3＝－2，d＝3，a3＝a1＋2d，所以a1＝－8，所以an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11. (2)因为a5＝11，d＝－2，a5＝a1＋4d，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n，又an＝1，所以1＝21－2n，解得n＝10. (3)数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－， 所以解得则a15＝a1＋14d＝＋×14＝－. 11．已知等差数列{an}的首项为，若{an}从第11项起比1大，则其公差d的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.依题意，an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)d， 由{an}从第11项起比1大，得即解得＜d≤， 所以公差d的取值范围是. 12．(2026·四川期末)若log3(9x)，log9(27x)，log27(3x)成等差数列，则正数x的值为________． 解析：由题意可知，log3(9x)＋log27(3x)＝2log9(27x)，且x>0， 则log3(9x)＋log3(3x)＝log3(27x)，则(9x)·(3x)＝27x，解得x＝9. 答案：9 13．(13分)(2026·常州期中)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝8，a3＋a4＝24. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)数列{an}中有多少项在36到100之间．(7分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a2＝8，a3＋a4＝24， 所以解得 所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2. (2)令36＜4n－2＜100，所以＜n＜， 所以10≤n≤25，n∈N*，所以项数有25－10＋1＝16项， 所以数列{an}中有16项在36到100之间． 14．(13分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝. (1)求a2，a3的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式．(8分) 解：(1)因为a1＝1，an＋1＝， 所以a2＝＝，a3＝＝. (2)因为an＋1＝，a1＝1，所以＝＝＋3，所以－＝3， 所以数列是以＝1为首项，3为公差的等差数列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝. 15．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1，3)为首项，公差d＝(1，0)的等差向量列．若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则＝________． 解析：类比等差数列的通项公式得，an＝(1，3)＋(n－1)(1，0)＝(n，3)， 因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，故nxn＝－3xn＋1， 由题设可知xn≠0，故＝－， 故＝··…··＝－ ＝－＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $