4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和 [课时跟踪检测] 1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为a1=2,所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C. 2.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则a6= (　　) A.1 B.5 C.7 D.9 解析:选A　因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=则a6=S6-S5=(5×6-4)-52=1.故选A. 3.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 (　　) A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析:选C　法一　由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…,∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 4.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn=3an-3,则a4= (　　) A.27 B.81 C.93 D.243 解析:选B　根据2Sn=3an-3,可得2Sn+1=3an+1-3,两式相减得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an.当n=1时,2S1=3a1-3,解得a1=3,则a4=3a3=32a2=33a1=81. 5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024= (　　) A.-1 B. C.2 D.1 解析:选B　由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…,故{an}为周期数列,周期为3,故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B. 6.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　∵an+1=,则==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∴a10=.故选B. 7.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店饮半斗.注:古代一斗是10升.大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出),再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则,若李白酒壶中原来有酒6升,则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 (　　) A.37升 B.21升 C.26升 D.32升 解析:选A　由题意,可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an},则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5,即an+1=2an-5,∵a1=6×2-5=7,∴a2=2a1-5=2×7-5=9,a3=2a2-5=2×9-5=13,a4=2a3-5=2×13-5=21,a5=2a4-5=2×21-5=37.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A. 8.(5分)在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=　　　　.  解析:由题意得an+2=an+1+an,则a3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19. 答案:19 9.(5分)数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an=　　　　.  解析:当n≥2时,有Sn=nan,Sn-1=(n-1)an-1,两式作差可得,Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,整理可得an=an-1.又a1=1,所以an=1. 答案:1 10.(5分)在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024=　　　　.  解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*),所以(n+1)an=nan+1,所以=, 所以是常数列,又==,所以a2 024=2 025. 答案:2 025 11.(5分)数列{an}中,a1=2,an=2an-1(n∈N*,2≤n≤10),则数列{an}的最大项为　　　　.  解析:法一　∵a1=2,an=2an-1,∴an≠0,∴=2>1,∴an>an-1,即{an}递增, ∴{an}的最大项为a10=2a9=4a8=…=29·a1=29×2=210=1 024. 法二　用累乘法.由an=2an-1,得=2,于是an=··…···a1=2×2×2×…×2×2=2n,显然{an}是递增数列, 故{an}的最大项为a10=210=1 024. 答案:1 024 12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),则a6=　　 　.  解析:因为a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),所以当n=2时,S2-a2=0,即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0,所以a2=2,当n≥3时,Sn-1-an-1=0,由可得an=-an-1,所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2. 答案:2 13.(10分)根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);(3分) (2)a1=1,an+1=an+(n∈N*);(3分) (3)a1=-1,an+1=an+(n∈N*).(4分) 解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(n∈N*). (2)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=(n∈N*). (3)a1=-1,a2=-,a3=-,a4=-.猜想an=-(n∈N*). 14.(10分)已知数列{an}中,a1=1,以后各项满足an=an-1+(n≥2). (1)写出数列{an}的前5项;(4分) (2)求数列{an}的通项公式.(6分) 解:(1)a1=1;a2=a1+=;a3=a2+=;a4=a3+=;a5=a4+=. (2)由an=an-1+得an-an-1==-(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=++…+++1=++…+++1=-+1+1=2-=(n≥2). 当n=1时,a1=1符合上式,∴an=. 15.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3. (1)求数列{an}的通项公式an;(3分) (2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的最大项.(7分) 解:(1)Sn=2n+3中,令n=1得a1=2+3=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1,其中21-1=1≠5,故an= (2)当n=1时,b1==,当n≥2时,bn=>0,则=·==,当n=2时,=>1, 当n≥3时,+1≤,≤×<1,故<1,故n≥2时,{bn}的最大项为b3=, 又b3>b1,故数列{bn}的最大项为b3=. 学科网（北京）股份有限公司 $