4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 课标要求　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式．　3.了解等差数列的前n项和公式与二次函数的关系，并能利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石．围绕天心石的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈． 那么一共有多少块石板？本节课我们一起来探究． 200多年前，高斯的算术老师提出了如下问题：1＋2＋3＋…＋100等于多少？高斯是这样处理的：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. 思考1　该方法利用了数列的什么性质？ 提示：利用了等差数列的下标和性质：若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at. 思考2　不考虑项数n的奇偶性，优化上述方法求等差数列{an}的前n项和． 提示：倒序相加法． 知识点　等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 　在等差数列{an}中，Sn为等差数列{an}的前n项和， (1)若a10＝30，a20＝50，求S30； (2)若a2＋a4＝，求S5. 【解】　(1)设公差为d，则由题意可得a20－a10＝10d＝20，得d＝2. 又a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，得a1＝12， 所以S30＝30a1＋d＝360＋×2＝1 230. (2)由{an}是等差数列，得a2＋a4＝2a3＝，解得a3＝， 所以S5＝(a1＋a5)＝5a3＝5×＝24，故S5的值为24. 【感悟提升】　等差数列前n项和公式的选择 (1)如果已知首项、公差及项数，则选择Sn＝na1＋d； (2)如果已知首项、末项及项数，则选择Sn＝，此时常用等差数列的下标和性质． 　1.在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝12，则它的前7项和S7＝(　　) A．18 B．21 C．24 D．28 解析：选D.在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝3a4＝12，则a4＝4， 则该数列的前7项和S7＝＝7a4＝28. 2．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋a6＝0，则S8＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a6＝2a1＋6d＝12＋6d＝0，得d＝－2， 所以S8＝8a1＋28d＝48－56＝－8. 答案：－8 应用点一　利用等差数列前n项和公式求基本量 　(对接教材例6)在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)已知a6＝10，S5＝5，求d与a1； (2)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n与d. 【解】　(1)由题可得 解得 (2)由题意得Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 【感悟提升】　等差数列的通项公式和前n项和公式中有a1，d，n，an和Sn五个基本量，这五个基本量可以“知三求二”．一般利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 　1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S4－a3＝18，S2＝7，则{an}的公差为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.设公差为d， 则 解得 2．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和．若S21＝7(a4＋a11＋ak)，则k＝___________________________________. 解析：方法一：因为S21＝7(a4＋a11＋ak)，所以＝7(a4＋a11＋ak)， 所以3a11＝a4＋a11＋ak，即2a11＝a4＋ak， 由等差数列的性质可得4＋k＝2×11，所以k＝18. 方法二：设等差数列{an}的公差为d. 由S21＝7(a4＋a11＋ak)，得21a1＋d＝7[(a1＋3d)＋(a1＋10d)＋a1＋(k－1)d]. 整理得kd＝18d. 因为d≠0，所以k＝18. 答案：18 应用点二　等差数列前n项和公式与二次函数的关系 　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. (1)求an； (2)证明：{an}是等差数列． 【解】　(1)数列{an}的前n项和Sn＝2n2－30n， 则当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32，a1＝－28满足上式，所以an＝4n－32. (2)证明：由(1)知an＝4n－32，当n≥2时，an－1＝4(n－1)－32. 因此an－an－1＝(4n－32)－[4(n－1)－32]＝4， 所以数列{an}是首项为－28，公差为4的等差数列． 【感悟提升】　在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1时是否满足an(n≥2)的情形． (1)若a1满足an，则an＝Sn－Sn－1. (2)若a1不满足an，则an＝ 常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C，则{an}是等差数列的充要条件是C＝0. (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则其公差为2A；当A＝0时，等差数列{an}为常数列． 　已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)＝－x2＋3x＋2的图象上． (1)求a1，a2，a3，a4； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)由点(n，Sn)均在函数f(x)＝－x2＋3x＋2的图象上，可得Sn＝－n2＋3n＋2， 则a1＝S1＝4，a2＝S2－S1＝4－4＝0， a3＝S3－S2＝2－4＝－2，a4＝S4－S3＝－2－2＝－4. (2)当n＝1时，可得a1＝S1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋3n＋2)－[－(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝－2n＋4. 经检验，当n＝1时，a1＝4不适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ 应用点三　等差数列中前n项和的最值 　(对接教材例9)在等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＝25，S8＝S18，求Sn的最大值． 【解】　方法一：设等差数列{an}的公差为d. 因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169.所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法二：同方法一，求出公差d＝－2， 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 由得 又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝25×13＋×(－2)＝169. 方法三：因为S8＝S18， 则S18－S8＝a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0， 所以a13>0，a14<0， 所以当n＝13时，Sn有最大值． 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以S13＝25×13＋×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. 【感悟提升】　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 在等差数列{an}中， (1)当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取得最大值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取得最小值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 　1.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝－n2＋8n，则(　　) A．{an}是递减数列 B．a10＝－11 C．当n＞4时，an＞0 D．当n＝4时，Sn取得最大值 解析：选ABD.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9， a1＝S1＝7满足上式，因此an＝－2n＋9. 对于A，an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an，因此{an}是递减数列，故A正确； 对于B，a10＝－11，故B正确； 对于C，当n＞4时，an≤a5＝－1＜0，故C错误； 对于D，当n≤4时，an≥a4＝1＞0，数列{an}的前4项都为正，从第5项起都为负， 因此当n＝4时，Sn取得最大值，故D正确． 2．已知在等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________． 解析：由题意可得即解得2＜d＜， 即公差d的取值范围是. 答案： 1．已知在等差数列{an}中，a4＋a7＝8，则前10项和S10的值为(　　) A．40 B．30 C．20 D．10 解析：选A.因为a4＋a7＝a1＋a10＝8，所以S10＝＝40. 2．(多选)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.若S4＝32，S6＝72，则(　　) A．d＝4 B．a5＝16 C．S5＝52 D．＝2 解析：选AD.由题意可得解得故A正确； 因为an＝2＋4(n－1)＝4n－2，Sn＝＝＝2n2， 所以＝2，故D正确； 且a5＝4×5－2＝18，S5＝S4＋a5＝50，故B，C错误． 3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn.若Sn＝(n＋2)2＋λ，则λ的值是________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 所以Sn＝na1＋d＝n2＋n. 又Sn＝(n＋2)2＋λ＝n2＋4n＋4＋λ， 所以4＋λ＝0，解得λ＝－4. 答案：－4 4．(教材P24练习T3改编)已知等差数列－2 026，－2 022，－2 018，…的前n项和为Sn，Sn是否存在最值？如果存在，求出取得最值时的n值． 解：易得该等差数列的首项a1＝－2 026，公差d＝－2 022－(－2 026)＝4， 故该数列的前n项和Sn＝na1＋d＝2(n－507)2－2×5072， 故当n＝507时，Sn取得最小值，Sn无最大值． 1．已学习：(1)等差数列前n项和公式的推导及应用； (2)等差数列前n项和与二次函数的关系及最值问题． 2．须贯通：(1)利用公式求和要会灵活选择求和公式； (2)等差数列前n项和的最值：二次函数法、邻项变号法、性质法、数形结合思想． 3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 学科网（北京）股份有限公司 $