4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 课标要求　1.理解等差数列、等差中项的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 我们学习了函数，建立了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．我们又知道数列是一种特殊的函数，类似地，有没有一些具有特殊变化规律的数列呢？能不能建立数列模型解决实际问题呢？从这节课开始，我们将学习这方面的内容． 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (2)某班5名男生1分钟内引体向上的个数为：10，10，10，10，10. 思考　以上两个数列有什么共同特征？ 提示：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 知识点一　等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 提醒　(1)定义中“从第2项起”的原因是第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； (2)定义中“每一项与它的前一项的差”强调了相邻两项且是后项减去前项； (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列至少三项．(　　) (4)等差数列的公差就是相邻两项的差．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 解析：选ABD.根据等差数列的定义可得，对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列，故D正确． 3．已知数列{an}对任意的m，n∈N*恒有am＋an＝am＋n，若a1＝2，则请判断数列{an}是否为等差数列？若是，求出其公差；若不是，说明理由． 解：令m＝1，则a1＋an＝an＋1，an＋1－an＝a1＝2， 所以{an}为等差数列，公差为2. 【感悟提升】　利用定义法判断等差数列，即从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 知识点二　等差中项 提醒　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. 　(1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．2 B． C．1 D． (2)设a＞0，b＞0，若log2a与log2b的等差中项是2，则ab＝________． 【解析】　(1)由已知可得，a＋b＝＋＝＝2. 设a，b的等差中项为m，根据等差中项的定义，则m＝＝. (2)由log2a与log2b的等差中项是2，可得log2a＋log2b＝4， 即log2(ab)＝4，可得ab＝16. 【答案】　(1)B　(2)16 【感悟提升】　(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝； (2)证明三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项和的即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 　1.若三个数a－2，5，2a成等差数列，则a＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选D.由题意有a－2＋2a＝2×5，得a＝4. 2．在△ABC中，若角A是B与C的等差中项，则角A＝________． 解析：因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，又角A是B与C的等差中项，所以2A＝B＋C，所以A＋2A＝π，即3A＝π，解得A＝. 答案： 知识点三　等差数列的通项公式及应用 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 提醒　已知首项a1和公差d，便可直接写出通项公式． 　(对接教材例1)在等差数列{an}中． (1)已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d； (2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n； (3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式． 【解】　(1)在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31， 所以解得 (2)由a1＝9，公差d＝－2，得an＝9－2(n－1)，又an＝－15，得－15＝9－2(n－1)， 解得n＝13. (3)设等差数列{an}的公差为d，由已知可得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12. 【感悟提升】　(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 　1.设{an}是等差数列，且a1＝，a2＋a3＝5，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝n C．an＝ D．an＝ 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝，a2＋a3＝5， 所以a1＋d＋a1＋2d＝5，解得d＝， 则an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n. 2．已知数列{an}满足an＋1－an＝1，若a8＝－10，am＝0，则m＝________． 解析：由题设，数列{an}是公差d＝1的等差数列，则a8＝a1＋7d＝a1＋7＝－10，即a1＝－17，故an＝a1＋(n－1)d＝n－18， 由am＝m－18＝0，得m＝18. 答案：18 3．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是________．(用具体数字作答) 解析：因为a1＝20，公差d＝－3，所以an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， 令an＝23－3n＜0，得n＞，所以数列中第一个负数项是第8项，即a8＝－1. 答案：－1 1．已知a＝＋，b＝－，则a，b的等差中项为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.a，b的等差中项为＝＝. 2．(多选)(教材P15T1改编)下列数列中是等差数列的有(　　) A．8，8，8，8 B．－2，－1，0，1 C．1，2，4，6 D．1，1，2，3 解析：选AB.A选项中的数列是常数列，是等差数列，公差为0； B选项中的数列是公差为1的等差数列； C选项中的数列的第3项与第2项的差为2，第2项与第1项的差为1，因此该数列不是等差数列； D选项中的数列的第2项与第1项的差为0，从第3项开始，每一项与它的前一项的差是1，因此该数列不是等差数列． 3．(教材P15T4改编)已知等差数列{an}的公差为1，2a4＋a5＝a1，则a15＝________． 解析：设数列{an}的公差为d，因为2a4＋a5＝a1，所以2(a1＋3d)＋(a1＋4d)＝a1， 又d＝1，解得a1＝－5，所以an＝a1＋(n－1)d＝－5＋n－1＝n－6，即a15＝9. 答案：9 4．在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 026的值； (2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 所以a2 026＝4×2 026－2＝8 102. (2)由(1)得an＝4n－2，令4n－2＝2 026，得n＝507∈N*， 所以2 026是数列{an}中的项，即2 026为数列{an}中的第507项． 1．已学习：(1)等差数列及等差中项的概念； (2)等差数列的通项公式． 2．须贯通：(1)利用定义法求等差数列的通项公式； (2)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，知三求一，体现方程思想． 3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第2项”、“每一项与它的前一项的差”、“同一个常数”．　 学科网（北京）股份有限公司 $