4.2.2 第3课时 等差数列前n项和的应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第3课时　等差数列前n项和的应用 课标要求　1.能解决两个等差数列前n项和之比的问题．　2.能求数列{|an|}的前n项和．　3.会利用等差数列前n项和解决一些实际问题． 北宋的科学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出了“隙积术”，它不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积术”的研究． 思考1　等差数列{an}的前2n－1项和与中间项的关系是什么？ 提示：S2n－1＝(2n－1)an. 思考2　等差数列{an}的每一项加上绝对值后还是等差数列吗？如何求和呢？ 提示：不一定是；分段求和． 应用点一　两个等差数列的前n项和之比的问题 　有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn. (1)若＝，则＝______； (2)若＝，则＝______． 【解析】　(1)＝＝＝＝＝. (2)因为＝，设Sn＝kn(2n－1)＝k(2n2－n)， Tn＝kn(3n＋1)＝k(3n2＋n)，其中k≠0， 则a3＝S3－S2＝15k－6k＝9k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k， 因此，＝. 【答案】　(1)　(2) 【感悟提升】　已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn. (1)若已知＝(a，b，c，d为常数)，则可设Sn＝tn(an＋b)，其中t≠0，则Tn＝tn(cn＋d)，再利用an＝Sn－Sn－1，bm＝Tm－Tm－1，即可求出； (2)若已知，则可把an，bm看作数列{an}，{bn}中间的一项，构造S2n－1，T2m－1，利用表示解决和之比． 　1.设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.在等差数列{an}中，由＝，得＝＝×＝×＝. 2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且＝，则＝______． 解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn， 所以＝＝＝＝×＝. 答案： 应用点二　数列{|an|}的前n项和问题 　(2026·常州月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－n2＋10n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 【解】　(1)因为Sn＝－n2＋10n，当n≥2时，Sn－1＝－(n－1)2＋10(n－1)， 则an＝Sn－Sn－1＝－2n＋11(n≥2，n∈N*). 又a1＝S1＝9也符合上式， 所以an＝－2n＋11(n∈N*). (2)当n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0. ①当n≤5，n∈N*时，Tn＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6，n∈N*时， Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an) ＝50＋n2－10n. 综上，Tn＝n∈N*. 【感悟提升】　已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤： (1)确定{an}的通项公式； (2)求解an≥0(＜0)时，n的取值范围； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式． 　(2026·邯郸月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3＝－30，S6＝－42. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前20项和． 解：(1)设数列{an}的公差为d， 则解得故{an}的通项公式为an＝－12＋2(n－1)＝2n－14. (2)由(1)可知，Sn＝＝n(n－13)， 所以bn＝＝n－13.易知{bn}为等差数列． 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝＝， 所以数列{|bn|}的前20项和为|b1|＋|b2|＋…＋|b20|　 ＝－b1－b2－…－b13＋b14＋b15＋…＋b20 ＝T20－2T13＝－2×＝106. 应用点三　等差数列前n项和的实际应用 　某影院欲新建一个播放厅，只能容纳1 160个座位．若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为(　　) A．24 B．22 C．20 D．18 【解析】　由题意，设每排的座位数构成等差数列{an}，其中a1＝20，公差d＝4. 设播放厅最多可以建的座位的排数为n(n∈N*)，可得20n＋×4＝1 160， 即2n2＋18n－1 160＝0，解得n＝20或n＝－29(舍去)， 即播放厅最多可以建的座位的排数为20. 【答案】　C 【感悟提升】　应用等差数列解决实际问题的一般思路 (1)建模：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型． (2)解模：①分清首项、公差、项数等；②分清问题是求an还是求Sn；③选用适当的方法求解． (3)还原：把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解． 　《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．书中收录了“九儿问甲歌”这类经典年龄算术题，内容如下：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为________岁． 解析：按从长到幼排序，设第n个儿子的年龄为an岁．由题可知{an}是等差数列，设其公差为d，前n项和为Sn，易得d＝－3，则S9＝9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 答案：35 1．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选A.因为{an}，{bn}是等差数列，且＝， 所以＝＝×＝1，即＝1. 2．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化．计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该花坛铺满一共需要的花盆数是(　　) A．380 B．390 C．400 D．600 解析：选B.记每排摆放的花盆数构成数列{an}，数列{an}的前n项和为Sn. 由题意可知，数列{an}是以12为首项，6为公差的等差数列， 所以S10＝10a1＋d＝10×12＋45×6＝390. 故将该花坛铺满一共需要390个花盆． 3．已知两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝______________________________. 解析：由等差数列的性质可得， ＝＝＝＝＝. 答案： 4．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝11，S3＝S9. (1)求{an}的通项公式； (2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求T100. 解：(1)由S3＝S9，得a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，故a6＋a7＝0，即a12＋a1＝0，则a12＝－a1＝－11. 设{an}的公差为d，则a1＋11d＝－11，即11＋11d＝－11，解得d＝－2， 则an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝－2n＋13， 所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋13. (2)由题可知T100＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|a100|， 所以T100＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋…＋a100)， 所以T100＝S6－(S100－S6)＝2S6－S100 ＝－＝8 872， 所以T100＝8 872. 1．已学习：两个等差数列的前n项和之比、含绝对值的数列的前n项和的求法及等差数列的实际应用． 2．须贯通：解决两个等差数列的前n项和之比问题时，注意等差数列下标和性质的应用；求数列{|an|}的前n项和时，体会分类讨论的数学思想． 3．应注意：求数列{|an|}的前n项和时，明确分类标准；建立等差数列模型解决问题时，分清是“项”的问题还是“和”的问题． 学科网（北京）股份有限公司 $