4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 课标要求　1.理解并掌握等差数列前n项和的性质．　2.能利用等差数列前n项和的性质解决相关问题． 小明研究一个等差数列{an}时，计算了S4＝32，S8＝56，S12＝72，S16＝80，发现S4，S8，S12，S16不成等差数列，而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12还是等差数列，小明的研究正确吗？你还能归纳出其他的结论吗？这就是这节课我们要研究的问题：等差数列前n项和的性质． 思考1　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，从结构特征看有何数学含义？数列是等差数列吗？ 提示：从结构特征看，它表示等差数列{an}前n项的平均值；数列是等差数列． 思考2　依次取出有限等差数列{an}的奇数项、偶数项，按原先顺序排列形成新的等差数列，它们的项数一定相等，对吗？ 提示：不对，有限等差数列{an}的项数是偶数时，两个新数列的项数才相等． 知识点一　等差数列片段和的性质 设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝8，S8＝40，则S12＝(　　) A．52 B．96 C．106 D．12 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且S3＝4，S6＝10，则a16＋a17＋a18＝______． 【解析】　(1)由等差数列{an}的性质可知，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即8，32，S12－40成等差数列． 方法一：8＋S12－40＝2×32，得S12＝96. 方法二：S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝8＋32＋56＝96. (2)由等差数列的片段和性质知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12，S18－S15成等差数列．由S3＝4，S6－S3＝6，得该等差数列首项为4，公差为2， 所以a16＋a17＋a18＝S18－S15＝4＋5×2＝14. 【答案】　(1)B　(2)14 【感悟提升】　此类问题的特征是各段和的项数必须一致才能构成等差数列，且一定有如下结论：Skm＝Sm＋(S2m－Sm)＋(S3m－S2m)＋…＋(Skm－S(k－1)m)(k个片段和就是Skm). 　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝4，则＝__________． 解析：由等差数列片段和的性质可得，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等差数列． 令n＝2，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等差数列． 由＝4，设S2＝k(k≠0)，得S4＝4k， 则S4－S2＝3k，S6－S4＝5k，S8－S6＝7k， 所以S6＝9k，S8＝16k，所以＝＝4. 答案：4 知识点二　等差数列的前n项和与项数n比的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 　(1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若Sm＝－3，Sm＋1＝0，Sm＋2＝4，则m＝___________________________. 【解析】　(1)因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列．设的公差为d′， 则－＝2＝2d′，则d′＝1.又因为＝a1＝1， 所以＝1＋n－1＝n，所以Sn＝n2，所以S10＝100. (2)方法一：由题意得，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，am＋2＝Sm＋2－Sm＋1＝4， 则等差数列{an}的公差d＝am＋2－am＋1＝1， 则a1＝3－m，Sm＝m(3－m)＋＝－3， 所以m＝6或m＝－1(舍去). 方法二：由等差数列的性质易知为等差数列， 则＋＝，得＋＝0，解得m＝6. 【答案】　(1)B　(2)6 【感悟提升】　此类问题的本质是借助等差数列{an}的前n项和公式，构造新的等差数列，再利用等差数列的通项公式、前n项和公式及相关性质解决问题． 　已知数列{an}满足an＋1＝an＋6，{an}的前n项和为Sn，则－＝______． 解析：因为an＋1＝an＋6，所以数列{an}是以6为公差的等差数列， 所以－＝－＝a1＋3n－a1－3(n－1)＝3， 所以数列是以3为公差的等差数列，所以－＝712×3＝2 136. 答案：2 136 知识点三　等差数列奇(偶)数项和的性质 设等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若等差数列{an}的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列{an}的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an). 　(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 【解】　(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，前12项中奇数项和为S，偶数项和为S′， 则由题意得解得 由等差数列的性质可知，S′－S＝192－162＝6d，解得d＝5， 故该数列的公差为5. (2)设等差数列{an}中共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项为第n＋1项，记作an＋1.设奇数项和为Sm，偶数项的和为St. 由等差数列前n项和的性质，可知＝.又Sm＝44，St＝33， 所以＝＝，解得n＝3. 又因为Sm＝(n＋1)an＋1＝44，所以an＋1＝11， 所以这个数列的中间项为11. 【感悟提升】　此类问题的本质是把一个等差数列转化为两个等差数列，利用这两个等差数列的和、差、比的关系处理相关问题，往往采取整体代换的解题思路，化繁为简． 　1.已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项和为140，偶数项和为120，则m＝(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析：选A.项数为2m＋1的数列{an}中奇数项共有(m＋1)项， 其和为＝＝(m＋1)am＋1＝140， 项数为2m＋1的数列{an}中偶数项共有m项，其和为＝＝mam＋1＝120， 所以＝＝，解得m＝6. 2．已知一个项数为n的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差d＝－8，则当n为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 解析：当n为偶数时，由题意可知S奇＝×，S偶＝×， 所以S偶－S奇＝d＝－4n＝360－480＝－120，所以n＝30. 此时S奇＝×15＝15a15＝480，解得a15＝32， S偶＝×15＝15a16＝360，解得a16＝24， 则a1＋a30＝a15＋a16＝32＋24＝56. 答案：56 1．(教材P23练习T5改编)一个等差数列共有2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则此数列第n＋1项为(　　) A．31 B．30 C．29 D．28 解析：选C.由题中条件及等差数列的性质可知 所以an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1＝319－290＝29. 2．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＜－a13＜a1，则(　　) A．a7＞0 B．a8＜0 C．S15＞0 D．数列是递减数列 解析：选ABD.设数列{an}的公差为d，又a2＜－a13＜a1，则 所以即故A，B正确； S15＝＝15a8＜0，故C错误； 由＝a1＋·d，则－＝(a1＋·d)－(a1＋·d)＝＜0， 所以数列是递减数列，故D正确． 3．(教材P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝10，S20＝60，则S50＝__________． 解析：因为{an}为等差数列，所以S10，S20－S10，…，S50－S40，…成等差数列， 即等差数列为10，50，90，130，170，…， 所以S50＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＋(S50－S40)＝450. 答案：450 4．在等差数列{an}中，已知公差d＝，前n项和为Sn，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，求S100的值． 解：因为(a2＋a4＋a6＋…＋a100)－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝50d＝25， 所以a2＋a4＋a6＋…＋a100＝25＋60＝85， 所以S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝60＋85＝145. 1．已学习：等差数列片段和性质、前n项和与项数n比的性质以及等差数列的奇数项和、偶数项和的性质． 2．须贯通：利用等差数列的性质解决问题，注意整体代换的数学思想，虽大多数能起到化繁为简的作用，但也要注意基本方法的基础作用，不盲目追求性质． 3．应注意：性质的结构形式、本质内容不能混淆，不能臆想编造． 学科网（北京）股份有限公司 $