4.2.1 第3课时 等差数列的综合应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第3课时　等差数列的综合应用 课标要求　1.能由等差数列构造新数列．　2.能灵活设项解决等差数列问题．　3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　 应用点一　由等差数列构造新数列 　(1)(多选)(2026·长沙期中)若数列{an}是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有(　　) A．{an＋3} B．{a} C．{an＋1－an} D．{2an} (2)将数列{2n－1}与{3n＋1}的所有公共项从小到大排列形成一个新数列{an}，则an＝________． 【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d， 对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，可知数列{an＋3}是以a1＋3为首项，d为公差的等差数列，A正确； 对于B，a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)＝d(an＋1＋an)，相邻两项之差不是常数，B错误； 对于C，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝0，数列{an＋1－an}是以a2－a1＝d为首项，0为公差的常数列，C正确； 对于D，2an＋1－2an＝2d，数列{2an}是以2a1为首项，2d为公差的等差数列，D正确． (2)易知数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，即1，3，5，7，9，…， 数列{3n＋1}是以4为首项，3为公差的等差数列，即4，7，10，13，…， 所以{an}是首项为7，公差为6的等差数列，得an＝7＋6(n－1)＝6n＋1. 【答案】　(1)ACD　(2)6n＋1 【感悟提升】　构造等差数列的常见方法 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 (1)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列． (2)数列{tan±λbn}(t，λ是常数)是公差为td±λd′的等差数列． (3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列． 特别地，所有的偶数项构成的数列{a2n}、所有的奇数项构成的数列{a2n－1}都是等差数列，公差都为2d. 　1.已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的通项公式为cn＝________． 解析：由题意有an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1，所以cn＝abn＝a1＋bn－1＝a1＋b1＋n－2，又a1＋b1＝5，所以cn＝n＋3. 答案：n＋3 2．已知等差数列{an}的首项a1＝3，a5＝35，若在{an}中每相邻两项间插入1项，使其与原数列的数构成新的等差数列{bn}，则b15＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝35，解得d＝8. 设数列{bn}的公差为d1，由题意可知d1＝＝4， 故数列{bn}是以3为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝3＋4(n－1)＝4n－1， 所以b15＝59. 答案：59 应用点二　灵活设元求解等差数列 　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数． 【解】　方法一：设这三个数分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 方法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 【感悟提升】　等差数列设元技巧 (1)三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为a－d，a，a＋d，公差为d； (2)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 　已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：方法一：设这四个数分别为a，a＋d，a＋2d，a＋3d， 依题意2a＋3d＝2，a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得＝－8， 解得d＝2或d＝－2. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2，0，2，4. 方法二：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 依题意2a＝2，(a－3d)(a＋3d)＝－8，解得a＝1，d＝±1， 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 应用点三　等差数列的实际应用 　(对接教材例3)某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元．设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则数列{an}满足an＝an－1－20(n≥2). 可得数列{an}是一个公差为－20的等差数列，因为购进设备的价值为230万元， a1＝230－20＝210，于是an＝a1＋(n－1)×(－20)＝230－20n. 根据题意得an＝230－20n＜230×5%＝11.5，解得n≥11. 【答案】　B 【感悟提升】　解等差数列实际问题的基本步骤 　一支车队有15辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于12时出发，以后每间隔12分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在16时停下来休息，则截止到16时，最后一辆车行驶了________个小时． 解析：因为每间隔12分钟，即0.2小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为12＋(15－1)×0.2＝14.8时， 故最后一辆车行驶了16－14.8＝1.2个小时． 答案：1.2 1．已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a2＋b2＝7，a8＋b8＝11，则a14＋b14＝(　　) A．9 B．15 C．19 D．27 解析：选B.设cn＝an＋bn，则c2＝7，c8＝11， 因为数列{an}与{bn}均为等差数列，所以{cn}也是等差数列，所以2c8＝c2＋c14，可得c14＝2c8－c2＝15，即a14＋b14＝15. 2．(多选)已知数列{an}是等差数列，则下列一定是等差数列的是(　　) A．{a2n－1} B．{anan＋1} C．{an＋2an＋1} D．{|an|} 解析：选AC.设等差数列{an}的公差为d，则a2(n＋1)－1－a2n－1＝a2n＋1－a2n－1＝2d，所以{a2n－1}是等差数列，故A正确； (an＋1＋2an＋2)－(an＋2an＋1)＝an＋1－an＋2(an＋2－an＋1)＝d＋2d＝3d，所以{an＋2an＋1}是等差数列，故C正确； 若an＝2n－5，则a1＝－3，a2＝－1，a3＝1，a4＝3，所以a1a2＝3，a2a3＝－1，a3a4＝3，所以a1a2＋a3a4≠2a2a3，故{anan＋1}不是等差数列，故B错误； 若an＝2n－5，|a1|＝3，|a2|＝1，|a3|＝1，所以2|a2|≠|a1|＋|a3|，故{|an|}不是等差数列，故D错误． 3．(教材P17T1改编)某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有________个座位． 解析：根据题意可设第n排的座位个数为an， 易知{an}为等差数列，且a1＝12，d＝2， 所以可得a7＝a1＋6d＝24. 答案：24 4．已知递增等差数列{an}的前三项和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式． 解：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d， 可得 解得或 由于数列{an}为递增数列，所以 故等差数列{an}的首项为3，公差为4，其通项公式为an＝4n－1. 1．已学习：(1)灵活设元解决等差数列问题； (2)利用等差数列构造新数列； (3)等差数列的实际应用． 2．须贯通：(1)等差数列中的设项问题，注意方程思想的应用；(2)利用等差数列构造新数列的过程中体现了转化与化归的思想． 3．应注意：在实际应用问题中项数不清． 学科网（北京）股份有限公司 $