4.2.1 第2课时 等差数列的性质与判定 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第2课时　等差数列的性质与判定 课标要求　1.体会等差数列与一元一次函数的关系．　2.掌握等差数列的性质，并能熟练运用等差数列的性质进行简化运算．　3.掌握等差数列的判断与证明方法． 在学习等差数列过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数的数列．如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10，…，容易发现这是一个等差数列．同样，如果我们把其中的奇数拿出来，即1，3，5，7，9，…，也能构成一个新的等差数列．今天我们就具体研究等差数列中的性质． 思考1　数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为与哪类函数有关呢？ 提示：一次函数． 思考2　根据等差数列任意两项之间的关系，能发现公差与相应一次函数图象间的关系吗？ 提示：公差d＝是相应直线(一次函数的图象)的斜率． 知识点一　等差数列的函数特性 等差数列的通项公式与一次函数的关系 (1)若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d). ①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d． ②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d． (2)等差数列{an}的公差为d， 则d＞0⇔{an}为递增数列； d＜0⇔{an}为递减数列； d＝0⇔{an}为常数列． 　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点， 所以a2＝－1，a4＝－7，即 解得 因此an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋5. (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列离散的点，如图所示． (3)因为公差d＝－3＜0，所以等差数列{an}为递减数列． 【感悟提升】　熟练掌握等差数列的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项的系数，它的符号决定了数列的单调性． 　1.(多选)已知等差数列{an}的通项公式是an＝10－4n，n∈N*，则(　　) A．等差数列{an}的公差d＝10 B．数列{an}是递减数列 C．等差数列{an}的首项a1＝6 D．－100是数列{an}中的项 解析：选BC.因为等差数列{an}的公差d＝an－an－1＝－4，故A错误； 因为公差d＝－4＜0，所以数列{an}是递减数列，故B正确； 在an＝10－4n，n∈N*中，令n＝1得a1＝6，故C正确； 由10－4n＝－100得，n＝∉N*，所以－100不是数列{an}中的项，故D错误． 2．在正项等差数列{an}中，a3＝2，则公差d的取值范围是________． 解析：依题意可得a1＝a3－2d＝2－2d＞0，则d＜1. 又等差数列{an}的各项均为正，则d≥0，所以0≤d＜1. 答案：[0，1) 知识点二　等差数列项的运算性质 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝am＋(n－m)d，d＝(m，n∈N*，且m≠n). (2)若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at； 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，s，t，p∈N*). (3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 　(1)已知数列{an}为等差数列，且满足a103＝2 026，a2 026＝103，则a2 126＝(　　) A．2 036 B．2 126 C．126 D．3 (2)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a8－a9＝________． 【解析】　(1)方法一：依题意，设数列{an}的公差为d，则解得 所以a2 126＝a1＋2 125d＝2 128－2 125＝3. 方法二：设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝－1， 所以a2 126＝a103＋(2 126－103)d＝2 026－2 023＝3. (2)已知{an}是等差数列，a3＋a6＋a8＋a11＝12， 由等差数列的性质可得a6＋a8＝2a7，a3＋a11＝2a7. 因此2a7＋2a7＝12，得a7＝3， 又因为2a8＝a7＋a9，所以2a8－a9＝a7＝3. 【答案】　(1)D　(2)3 【感悟提升】　等差数列运算的两种思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 　1.已知数列{an}为等差数列，若m是正整数，则“m＝3”是“a1＋a15＝am＋a13”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当m＝3时，由等差数列的性质得，a1＋a15＝a3＋a13，充分性成立． 当等差数列的公差d＝0时，若a1＋a15＝am＋a13，则m∈N*，必要性不成立． 故“m＝3”是“a1＋a15＝am＋a13”的充分不必要条件． 2．已知在等差数列{an}中，a2＋a18＝20，则a4＋a10＋a16＝________． 解析：在等差数列{an}中，由a2＋a18＝2a10＝20得，a10＝10， 所以a4＋a10＋a16＝3a10＝30. 答案：30 知识点三　等差数列的判定与证明 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)或an＋1－an＝d. (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数). 　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝(n∈N*). (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：在数列{an}中，由an＋1＝，得an＋1－2＝－2＝， 显然an－2≠0，否则a1＝2，矛盾，则＝·＝·＝＋， 所以数列是等差数列． (2)由(1)知，等差数列的首项为＝1，公差为， 则＝1＋(n－1)·＝，整理得an＝＋2＝， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 【感悟提升】　(1)判定一个数列是否为等差数列可以用定义法(作差法)、等差中项法及通项公式法，前两个较为严谨，可用于解答题，通项公式法一般适用于选择、填空题． (2)要否定一个数列是等差数列，只需要举出一个反例，即说明其中存在连续三项不为等差数列即可． 　已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝3n2＋3n. (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)依题意，a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以an＋1＝an＋3(n＋1)， 所以a2＝2a1＋3×2＝8，a3＝a2＋3×3＝21. (2)依题意，a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝3n(n＋1)， 所以－＝3， 所以是首项为＝1，公差为3的等差数列， 所以＝3n－2， 所以an＝n(3n－2)＝3n2－2n. 1．已知等差数列{an}满足a1＋a5＋a7＋a11＝36，则a6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C.由等差数列的性质可得a1＋a11＝a5＋a7＝2a6，故4a6＝36，解得a6＝9. 2．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝a＋bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是(　　) A．若a2＞a1，则a3＞a1 B．若a2＞a1，则a3＞a2 C．若a3＞a1，则a2＞a1 D．若a3＞a1，则a1＋a2＞a1 解析：选ABC.由an＝a＋bn，知an＋1＝a＋b(n＋1)，所以an＋1－an＝b，故数列{an}是等差数列，且公差为b.若a2＞a1，则公差d＞0，所以数列{an}是递增数列，故A，B正确； 若a3＞a1，则a3－a1＝2d＞0，所以数列{an}是递增数列，所以a2＞a1，故C正确；当a2＜0时，a1＋a2＞a1不成立，故D不正确． 3．(教材P18T3改编)在等差数列{an}中，a2＝m，am＝2(m≠2，m∈N*)，则am＋2＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得am＝a2＋(m－2)d＝2， 即m＋(m－2)d＝2.又因为m≠2，解得d＝－1， 所以am＋2＝a2＋md＝m－m＝0. 答案：0 4．已知数列{an}，an＞0，a1＝2，a－a＝an＋1＋an. (1)证明：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，因为an＞0，所以an＋1＋an＞0， 所以an＋1－an＝1， 所以数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，an＝2＋(n－1)×1＝n＋1. 1．已学习：(1)等差数列的函数特性； (2)等差数列的判定与证明； (3)等差数列项的运算性质． 2．须贯通：(1)用函数的观点处理等差数列单调性问题，体现数形结合的数学思想； (2)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想． 3．应注意：忽略等差数列函数关系中d＝0的情况；运用性质出错或解法繁琐． 学科网（北京）股份有限公司 $