4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第2课时　数列的递推公式及前n项和 课标要求　1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种．　2.掌握由数列的递推公式求数列通项公式的方法.　3.会利用an与Sn的关系求通项公式． 《算盘书》中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它们出生后的第3个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列． 观察图1至图4的规律，并依此规律，回答下面的问题． 思考1　第5个图形中的小正方形有多少个？ 提示：15个． 思考2　当n≥2时，第n个图形与第n－1个图形中小正方形的个数有什么关系？ 提示：设第n个图形中小正方形的个数为an，则an－an－1＝n(n≥2，n∈N*). 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项(或前几项)，就可以求出数列中的任意一项． 　(对接教材例5)(1)(2026·安徽十校联盟)若首项为2的数列{an}满足an＋1＝＋，则a4＝(　　) A． B． C． D．1 (2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝－，则a2 028＝______． 【解析】　(1)因为a1＝2，an＋1＝＋. 当n＝1时，a2＝＋＝1＋1＝2，当n＝2时，a3＝＋＝1＋＝， 当n＝3时，a4＝＋＝＋＝. (2)由题设得a3＝－＝－2，a4＝－＝－1，a5＝－＝1，a6＝－＝2，…， 所以{an}是周期为4的数列，故a2 028＝a507×4＝a4＝－1. 【答案】　(1)B　(2)－1 【感悟提升】　由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分之间的关系，依次代入计算即可． (2)若已知项不是首项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，或根据递推公式往前递推依次求出各项． 　1.已知数列{an}满足a1＝a2＝1，若an＋2＝－1，则a4＝(　　) A．－ B． C．1 D．2 解析：选C.令n＝1可得，a3＝－1＝－；令n＝2可得，a4＝－1＝1. 2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是an＝an－1＋______(n∈N*，n≥2).又a10＝55，则a12＝______． 解析：由已知可得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5， 所以递推公式可以写成an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2). 所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝55＋23＝78. 答案：n　78 知识点二　前n项和Sn与an的关系 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列{an}的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝． 　设Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2－10n，求a1及an. 【解】　因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 经验证当n＝1时，an＝2n－11成立， 所以an＝2n－11. 母题探究　本例中，若将条件“Sn＝n2－10n”变为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求a1及an. 解：因为Sn＝n2－10n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11，经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ 【感悟提升】　由Sn求an的一般步骤 　1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n3－2n2，则a3＋a4＝______． 解析：由题意可知a3＋a4＝S4－S2＝43－2×42－(23－2×22)＝32. 答案：32 2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝_____________________________. 解析：因为Sn＝n2＋1，则Sn－1＝(n－1)2＋1，n≥2， 两式相减得an＝n2－(n－1)2＝2n－1，n≥2， 当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2，不符合上式， 故an＝ 答案： 知识点三　由递推公式求通项公式 角度1　累加法求通项公式 　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝，求数列{an}的通项公式． 【解】　由an＋1－an＝＝－， 得当n≥2时，an－an－1＝－， an－1－an－2＝－， an－2－an－3＝－， … a3－a2＝－， a2－a1＝1－. 对这n－1个式子求和得an－a1＝1－，an＝2－，而a1＝1也满足该式， 所以an＝2－，n∈N*. 【感悟提升】　累加法求通项公式 (1)适用条件：递推公式可转化为an＋1－an＝f(n)，n∈N*，f(n)是可以求和的类型； (2)方法：令n＝1到n－1，将得到的n－1个式子累加； (3)将未知项抵消即可得到数列{an}的通项公式． 角度2　累乘法求通项公式 　已知在数列{an}中，a1＝4，(n＋1)·an＋1＝(n＋2)an，则an＝__________． 【解析】　因为(n＋1)an＋1＝an，a1＝4， 所以＝，即＝，n≥2， 于是有＝，＝，…，＝，n≥2， 上述n－1个式子相乘得到，＝，所以an＝2n＋2，n≥2， 经检验，n＝1时上式也成立， 所以an＝2n＋2，n∈N*. 【答案】　2n＋2，n∈N* 【感悟提升】　累乘法求通项公式 (1)适用条件：递推公式可转化为＝f(n)，n∈N*，f(n)是可以求积的类型； (2)方法：令n＝1到n－1，将得到的n－1个式子累乘； (3)将未知项抵消即可得到数列{an}的通项公式． 　1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg ，则a100＝________． 解析：由an＋1＝an＋lg 可得an＋1－an＝lg ＝lg ＝lg (n＋1)－lg n， 故a2－a1＝lg 2－lg 1， a3－a2＝lg 3－lg 2， …， a100－a99＝lg 100－lg 99， 相加可得a100＝lg 100－lg 1＋a1＝5. 答案：5 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________． 解析：由已知得，a1＝1，所以有a2＝a1＝1， 因为an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2，n∈N*)，① 所以an＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an(n∈N*)，② 用②－①可得an＋1－an＝an，移项得＝，n≥2， 于是有＝，＝，…，＝，n≥3， 上述n－2个式子相乘得到，＝，所以an＝，n≥3， 经检验，n＝1时，a1＝1不适合上式；n＝2时，a2＝1适合上式， 所以an＝ 答案： 1．(教材P8练习T2改编)若数列{an}满足an＝an－1＋n＋2(n≥2)，a1＝2，则a5＝(　　) A．16 B．20 C．24 D．28 解析：选C.a2＝a1＋2＋2＝6，a3＝a2＋3＋2＝11，a4＝a3＋4＋2＝17，a5＝a4＋5＋2＝24. 2．(多选)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝，a1＝－，则(　　) A．{an}为周期数列 B．{an}为递增数列 C．a2＝ D．S13＝14 解析：选AC.由题可知a1＝－，a2＝，a3＝4，a4＝－，所以{an}为周期数列，故A，C正确，B错误；数列的周期为3，所以S13＝S12＋a13＝4×＋＝≠14，故D错误． 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，则a99＝________． 解析：因为an＝an－1＋－(n≥2)，所以an－an－1＝－(n≥2). 所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1. 又当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1(n∈N*). 所以a99＝－＋1＝11－. 答案：11－ 4．(教材P8T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n＋2n＋1，求{an}的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n-1＋2(n－1)＋1]＝2×3n-1＋2， 当n＝1时，a1不符合此式，所以an＝ 1．已学习：(1)递推公式及由递推公式求an； (2)前n项和Sn与an间的关系． 2．须贯通：由数列的前n项和Sn求通项公式，利用an＝ 3．应注意：(1)累加法、累乘法中要注意验证首项是否符合通项公式； (2)由Sn求an时易忽略验证n＝1时的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $