4.1 第1课时 数列的概念与简单表示 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示 课标要求　1.了解数列的有关概念与数列的表示法．　2.掌握数列通项公式的概念及应用．　3.理解数列与函数的关系． 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届(1984年)美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌．从第23届起，奥运会的举办年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016，…，显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列． 思考1　全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数是什么？ 提示：2，4，6，8，10，…. 思考2　我们知道函数f(x)＝2x＋1的图象是一条直线，(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)，(5，11)五个点有什么规律？ 提示：五个点均在函数f(x)＝2x＋1的图象上． 知识点一　数列的概念与分类 1．数列的有关概念 数列 按照确定的顺序排列的一列数 项 数列中的每一个数 首项 数列的第1项 通项 数列中的第n项an 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； (2)字母表示：上面数列通常记为{an}． 提醒　(1)概念中的“一列数”，即不止一个数；(2)数列中的数是有顺序的；(3)同一个数在一个数列中可以重复出现；(4)数列{an}与an是不同的，{an}表示数列，an表示数列{an}中的第n项． 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1，0，1，0是一个数列．(　　) (2)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (3)数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　) (4)数列4，7，3，4的首项是4.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小于10的正整数排成一个递减数列{an}，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝1 B．a4＝4 C．a5＝5 D．a9＝9 解析：选C.依题意，递减数列{an}应为：9，8，7，6，5，4，3，2，1. 3．已知下列数列： ①0，0，0，0，0，0； ②0，－1，2，－3，4，－5，…； ③0，，，…，，…； ④1，0.2，0.22，0.23，…； ⑤0，－1，0，…，cos π，…. 其中，有穷数列是__________，无穷数列是__________，递增数列是__________，递减数列是__________，常数列是__________，摆动数列是__________．(填序号) 解析：①是常数列且是有穷数列； ②是无穷摆动数列； ③是无穷递增数列； ④是无穷递减数列； ⑤是无穷摆动数列． 答案：①　②③④⑤　③　④　①　②⑤ 【感悟提升】　数列分类的方法 (1)一组元素构成数列的依据：各项是否为按确定顺序排成的一列“数”． (2)一个数列是递增、递减还是常数列，要从项的变化趋势来分析；是有穷还是无穷数列，要看项的个数是有限个还是无限个． 知识点二　数列的表示 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 提醒　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法； (3)图象法 角度1　数列的表示方法 　(对接教材例1)根据下列数列的通项公式，用表格表示前5项并作出其图象： (1)an＝－； (2)dn＝. 【解】　(1){an}的前5项如下表： n 1 2 3 4 5 an＝－ － － － －1 － 图象如图所示： (2){dn}的前5项如下表： n 1 2 3 4 5 dn＝ －1 － － 图象如图所示： 【感悟提升】　(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系． (2)图象法表示数列时，数列的图象是以(n，an)为坐标的一系列孤立的点． (3)通项公式法表示数列时，就是用一个式子表示第n项an与它的序号n之间的关系． 角度2　根据数列的前几项写通项公式 　(对接教材例2)写出下面各数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，…； (2)1，2，4，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)1，－1，1，－1，…. 【解】　(1)3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝2n＋1(n∈N*). (2)1＝21-1，2＝22-1，4＝23-1，8＝24-1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝2n-1(n∈N*). (3)9＝10－1，99＝102－1，999＝103－1，9 999＝104－1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝10n－1(n∈N*). (4)1＝(－1)1-1，－1＝(－1)2-1，1＝(－1)3-1，－1＝(－1)4-1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝(－1)n-1(n∈N*). 【感悟提升】　根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负项交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1处理． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 　1.将下列表格补充完整． n 1 2 … 5 … … n an … … 195 … n2－2n 解：由题得an＝n2－2n， 令n＝1得a1＝－1； 令n＝2得a2＝0； 令n＝5得a5＝15； 令an＝n2－2n＝195，所以n＝15(负值已舍去). 所以得到下面表格： n 1 2 … 5 … 15 … n an －1 0 … 15 … 195 … n2－2n 2.写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)－1，7，－13，19； (3)0.7，0.77，0.777，0.777 7； (4)1，，，. 解：(1)从数列的前4项，，，中发现规律， 该数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). (2)从数列的前4项－1，7，－13，19中发现规律，其每一项的符号按照(－1)n的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*). (3)从该数列的前4项，，，中发现规律， 由7，77，777，7 777，…，可以联想常见数列{bn}：9，99，999，9 999，…， 它的通项公式为bn＝10n－1， 因此该数列的一个通项公式为an＝＝(n∈N*). (4)从该数列的前4项，，，中发现规律， 该数列的一个通项公式为an＝＝(n∈N*). 应用点　数列通项公式的简单应用 　已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*). (1)写出该数列的第4项和第7项； (2)判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是该数列的第几项；若不是，说明理由． 【解】　(1)依题意an＝， 所以a4＝＝，a7＝＝. (2)令＝(n∈N*)，解得n＝3. 所以是数列{an}中的项，是第3项． 令＝(n∈N*)，得n2＝，无正整数解，所以不是数列{an}中的项． 【感悟提升】　求项或判断某数是否为数列中的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列中的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数列中的项． 　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*). (1)计算a3＋a4的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为数列的第几项？若不是，请说明理由． 解：(1)在数列{an}中，a3＝＝，a4＝＝， 所以a3＋a4＝＋＝. (2)若为数列{an}中的项，则＝， 即n(n＋2)＝120，整理得n2＋2n－120＝0，而n∈N*，解得n＝10， 所以是数列{an}中的项，且是第10项． 1．数列{1－3n}的第6项为(　　) A．－19 B．－17 C．－14 D．19 解析：选B.当n＝6时，1－3×6＝－17，所以数列{1－3n}的第6项为－17. 2．(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列211，985，211，985，…，211，985，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 解析：选BC.由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项的个数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如an＝sin ，an＝cos 可以表示同一个数列，故D错误． 3．(教材P5T2改编)根据数列的通项公式an＝2(1＋3n)，填写下表． n 1 2 3 … 11 … … an … … 128 … 602 解：在数列{an}中，an＝2，则a1＝8，a2＝14，a3＝20，a11＝68， 由an＝128，得2(1＋3n)＝128，解得n＝21， 由an＝602，得2(1＋3n)＝602，解得n＝100， 所以填写表格如下． n 1 2 3 … 11 … 21 … 100 an 8 14 20 … 68 … 128 … 602 4.(教材P5T4改编)根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)－1，3，－5，7，－9，…； (2)，，，，…. 解：(1)由该数列每一项的正负变化，以及数列每一项绝对值的变化规律， 即可得到该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)(n∈N*). (2)依题意，＝，＝，＝，＝，…， 由此可得该数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). 1．已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用、数列与函数的关系． 2．须贯通：(1)要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解； (2)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系． 3．应注意：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式；(2)并非所有数列的通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $