4.3.1 第2课时 等比数列的性质与判定 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第2课时　等比数列的性质与判定 课标要求 1.体会等比数列与指数函数的关系．　2.掌握等比数列的性质，并能熟练运用等比数列的性质进行简化运算．　3.掌握等比数列的判断与证明方法． 返回导航 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论．今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 思考1　类比等差数列，等比数列的通项公式与哪类函数有关？ 提示：指数函数． 思考2　类比等差数列中am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)，能否发现等比数列中相似的关系呢？ 提示：aman＝apaq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*). 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　等比数列的单调性 第一部分 5 返回导航 2．等比数列的单调性 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当__________________________时，数列为递增数列； (2)当__________________________时，数列为递减数列； (3)当_______时，数列为常数列； (4)当________时，数列为摆动数列． q>1，a1>0或0<q<1，a1<0 q>1，a1<0或0<q<1，a1>0 q＝1 q<0 返回导航 A　 返回导航 (2)已知递增的等比数列{an}满足a4＝3，a6＝12，则a5＝________． 6 返回导航 【感悟提升】　由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，当q>0时，等比数列各项的符号相同；当q<0时，等比数列各项的符号正负交替． 点拨　任何等比数列的奇数项同号，偶数项同号． 返回导航 A　 训练 解析：当公比q<0且a1<0时，a2＝a1q>0，a3＝a1q2<0，此时a1<a2，a2>a3，{an}不为递增数列，充分性不成立；当等比数列{an}为递增数列时，a1<a2，必要性成立．综上所述,“a1<a2”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件． 返回导航 4 返回导航 知识点二　等比数列项的运算性质 第二部分 13 已知{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 (1)an＝am·_______(n，m∈N*)； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1an＝a2an－1＝…. qn－m aman＝apaq 返回导航 例2　(对接教材例2)(1)在等比数列{an}中，a2＝3，a8＝24，则a12＝(　　) A．48 B．72 C．96 D．192 C　 返回导航 11 返回导航 【感悟提升】　利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 返回导航 训练 　　 　1.在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝(　　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 D　 返回导航 2．在公比为q的正项等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝14，a5＋a6＋a7＝224，则a10＝________． 1 024 返回导航 第三部分 知识点三　等比数列的判定与证明 返回导航 返回导航 (2)求{an}的通项公式． 返回导航 【感悟提升】　(1)要判定一个数列不是等比数列，只要找到此数列中连续的三项不成等比数列即可． (2)在解答题中，证明一个数列是等比数列采用判定方法中的定义法与等比中项法． 返回导航 训练 　 　　已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2. (1)求数列{an}的通项公式； 解：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)若bn＝3an＋1，证明：{bn}是等比数列． 返回导航 课堂巩固自测 1．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则公比q＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　 返回导航 BD　 返回导航 3．(教材P40习题T1改编)已知等比数列{an}满足a4＋a8＝－3，a5a7＝2，则a6＝________． 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：等比数列的单调性、等比数列项的运算性质及等比数列的判断与证明． 2．须贯通：灵活利用等比数列项的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；解答题中证明等比数列的两种方法：定义法和等比中项法． 3．应注意：运用等比数列项的运算性质时，等式左右项数需相等才成立． 返回导航 (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则____________，特别地，若m＋n＝2r，则aman＝a，m，n，r∈N*； (2)等比中项法：a＝anan＋2且数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：数列{an}是等比数列． $