4.3.1　等比数列的概念(第2课时)　等比数列的判定与性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的判定与性质，通过复习等比数列定义衔接前课时，以定义法、等比中项法、通项公式法为判定支架，结合通项推广、下标和等性质构建知识脉络。 其亮点在于“入木三分”问题辨析与题型分类教学，运用数学思维中的推理意识，如例1通过定义法严谨证明等比数列，培养逻辑推理能力。借助数学语言表达下标关系，帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂教学提升效率。

4.3.1　等比数列的概念(第2课时) 等比数列的判定与性质 要点1　等比数列的判定方法 (3)通项公式法：an＝a1qn－1. 第页 要点2　等比数列的性质 qn－m am·an 第页 第页 1．若{an}为等比数列，则“m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)”是“aman＝apaq”的充要条件吗？若不是，则是什么条件？ 答：不是，在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则一定有aman＝apaq，反之则不一定成立，如{an}是常数列(各项均不为0)，则不成立．故“m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)”是“aman＝apaq”的充分不必要条件． 第页 2．(1)数列{an}为各项均为正数的等比数列，则数列{lg an}是什么数列？ 返 回 课时学案 7 题型一　 等比数列的判定与证明 例 　 (1)求a1，a2； 第页 8 (2)求证：数列{an}是等比数列． 第页 探究1 第页 思考题1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； 【解析】　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn. ∵b1＝a1＋1＝2≠0，∴bn≠0. 第页 (2)求{an}的通项公式． 【解析】　(2)由(1)知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1. 第页 题型二　 等比数列的性质 例 2　已知{an}为等比数列．　 第页 13 (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 【解析】　(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10. 第页 探究2 应用等比数列性质解题的策略： (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝a进行求解． 第页 思考题2　(1)已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80＝(　　) A．32　　　　　 B．64 C．256 D．±64 √ 【解析】　∵a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a1＋a99＝10，a1a99＝16， 第页 √ 第页 第页 (3)在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20＝b，则a99＋a100＝(　　) √ 第页 题型三　 等比数列性质的应用 √ 例 　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第页 20 【解析】　①{anan＋1}是首项为a1a2，公比为q2的等比数列； ②当q≠－1时，{an＋an＋1}是等比数列，但当q＝－1时，{an＋an＋1}不是等比数列； ③当q≠1时，{an＋1－an}是等比数列，但当q＝1时，{an＋1－an}不是等比数列； 第页 探究3 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0. 第页 思考题3　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 √ 返 回 课后巩固 24 √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　) A．6 B．2 C．2或6 D．－2 √ 解析　等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根， ∴a2·a18＝4，且a2＋a18＝－6，∴a2<0，且a18<0，∴a10<0， ∴a4a16＋a10＝4－2＝2.故选B. 第页 5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)证明：数列{an＋4}是等比数列； 解析　(1)证明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2， (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(2)由(1)知an＋4＝2n，∴an＝2n－4. 返 回 (1)定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 性质1 通项公式的推广：an＝am·_____ (n，m∈N*) 性质2 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝_______． 特别地，当n＝m时，k＋l＝2m(k，l，m∈N*)，则ak·al＝aeq \o\al(2,m). 常见形式：an－1·an＋1＝aeq \o\al(2,n)，an－k·an＋k＝aeq \o\al(2,n)，an·an＋2＝aeq \o\al(2,n＋1) 性质3 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，且λ是不等于0的常数，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq \o\al(2,n)}，{anan＋1an＋2}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列 性质4 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… 性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列，即am，am＋k，am＋2k，…(k，m∈N*)是公比为qk的等比数列 答：(1)等差数列．证明如下：当n≥2时，lg an－lg an－1＝lg eq \f(an,an－1)＝lg q(与n无关)． (2)数列{an}为等差数列，则{beq \s\up12(an)}是什么数列？ 答：(2)等比数列．证明如下：当n≥2时，eq \f(b\s\up12(an),ban－1)＝beq \s\up12(an－an－1)＝bd(与n无关)． 1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)． 【解析】　(1)由S1＝eq \f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq \f(1,3)(a1－1)， ∴a1＝－eq \f(1,2).又S2＝eq \f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq \f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq \f(1,4). 【解析】　(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)(an－1)－eq \f(1,3)(an－1－1)，即2an＝－an－1， 又a1＝－eq \f(1,2)≠0，∴an－1≠0，得eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2). 所以{an}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列． 数列{an}为等比数列的前提是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≠0，,q≠0，))即各项均不为零且公比不为零．等比数列的证明可以用等比数列的定义或等比中项的性质，注意由数列递推关系式的整式形式变为定义中分式的形式时，必须说明即将作分母的式子不等于0. ∴eq \f(bn＋1,bn)＝2，∴{bn}是等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝eq \f(1,2)，求a1aeq \o\al(2,3)a5； 【解析】　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝eq \f(1,2)，∴aeq \o\al(2,3)＝a1a5＝a2a4＝eq \f(1,2)， ∴a1aeq \o\al(2,3)a5＝eq \f(1,4). 【解析】　(2)由等比中项的性质，得aeq \o\al(2,6)＋2a6a8＋aeq \o\al(2,8)＝49， 即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7. 又∵在等比数列{an}中，a1a99＝aeq \o\al(2,50)，an＞0， ∴a50＝4，a20·a50·a80＝aeq \o\al(2,50)＝64.故选B. (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5eq \r(2) B．7 C．6 D．±5eq \r(2) 【解析】　方法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝aeq \o\al(3,2)＝5，a7a8a9＝aeq \o\al(3,8)＝10，所以a2a8＝50eq \s\up20(\f(1,3))，又an＞0， 所以a4a5a6＝aeq \o\al(3,5)＝(eq \r(a2a8))3＝(50eq \s\up20(\f(1,6)))3＝5eq \r(2). 方法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±eq \r(5×10)＝±5eq \r(2).又数列{an}各项均为正数，所以a4a5a6＝5eq \r(2). A.eq \f(b9,a8) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up20(9) C.eq \f(b10,a9) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up20(10) 【解析】　∵数列{an}为等比数列，∴a9＋a10，a19＋a20，a29＋a30，…，a99＋a100成等比数列，首项为a9＋a10＝a，公比为eq \f(a19＋a20,a9＋a10)＝eq \f(b,a). ∴a99＋a100＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up20(9)＝eq \f(b9,a8). 3　设{an}是等比数列，公比为q，则下列数列：①{anan＋1}；②{an＋an＋1}；③{an＋1－an}；④{aeq \o\al(2,n)}；⑤eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))；⑥{an＋3}中，一定是等比数列的有(　　) ④根据性质3知{aeq \o\al(2,n)}是首项为aeq \o\al(2,1)，公比为q2的等比数列； ⑤根据性质3知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)，公比为eq \f(1,q)的等比数列； ⑥仅当q＝1且an≠－3时，{an＋3}是不为零的常数列，故是等比数列，但当q≠1或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝1，,an＝－3))时，{an＋3}不是等比数列． 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝(　　) A．－eq \f(1,2)　　　 　　 B．－2 C．2 D．eq \f(1,2) 解析　∵a5＝a2q3，∴eq \f(1,4)＝2q3，∴q＝eq \f(1,2).故选D. 2．已知在等比数列{an}中，若a50a401＝eq \f(2,15)，则a102a349的值为(　　) A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,6) C.eq \f(2,15) D.eq \f(4,15) 解析　在等比数列{an}中，因为a50a401＝eq \f(2,15)，所以a102a349＝a50a401＝eq \f(2,15)，故选C. 3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq \o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \r(2) D．2 解析　因为a3·a9＝2aeq \o\al(2,5)，则由等比数列的性质有a3·a9＝aeq \o\al(2,6)＝2aeq \o\al(2,5)，所以eq \f(a\o\al(2,6),a\o\al(2,5))＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a6,a5))) eq \s\up20(2)＝q2＝2，因为公比为正数，故q＝eq \r(2).又因为a2＝1，所以a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∴a4a16＝a2·a18＝4，aeq \o\al(2,10)＝a2·a18＝4，∴a10＝－2， ∵an＋1＝2an＋4，an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴an＋4≠0.∴eq \f(an＋1＋4,an＋4)＝2，∴数列{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． $