第15讲 指数（6大知识点+5大题型）（讲义）2026-2027学年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第15讲指数 目录 01思维导图与题型归纳… .2 02基础知识梳理 .3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质..... 知识点二、根式的概念和运算法则.... 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则...。 知识点四、有理数指数幂的运算. ..4 知识点五、无理数指数幂.... .4 知识点六、实数指数幂的运算性质！ ........5 03题型精讲举一反三. .6 题型一：根式取值范围求解... .6 题型二：根式化简求值..... ..6 题型三：分数指数幂与根式互化.. .7 题型四：指数幂化简求值... ........8 题型五：整体代换法应用..· .9 04过关测试.。 .12 1/15 01 思维导图与题型归纳 C (整数指数幂的概念 a".a"=am" 整数指数幂的概念及运算性质 (a"）"=am 运算法则 =am"(>na≠0) a" (ab)"=a"bm 若x=r(n∈N,>1y∈R),则x称为的n次方根 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为5： 负数的奇次方根有一个，是负数，记为： n次方根的定义 0的奇次方根为零，记为0=0 根式的概念和运算法则 n为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为±下： 负数没有偶次方根：零的偶次方根为零，记为0=0 指数 两个等式 分数指数幂的概念和运算法则 a".ab=a 有理数指数幂的运算 (a)=a (ab)°=ab 无理数指数幂 实数指数幂的运算性质 题型一：根式取值范围求解 题型四：指数幂化简求值 题型归纳 题型二：根式化简求值 题型五：整体代换法应用 题型三：分数指数幂与根式互化 2/15 02 基础知识梳理 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 a"=a…a…g(neZ) n个a a°=1(a≠0) a”=。a≠0，meZ列 2、运算法则 (1）a"a=a": (2)(a”=am am (3)a" =a(m>ma≠0) 4)(ab）=ab 知识点二、根式的概念和运算法则 1、n次方根的定义： 若=neN,>Ly∈R,则称为的n次方根 为奇数时，正数'的奇次方根有一个，是正数，记为)，负数'的奇次方根有一个，是负数，记为 y 0的奇次方根为零，记为6=0 ”为偶数时，正数'的偶次方根有两个，记为，负数没有偶次方根：零的偶次方根为零，记为 6=0. 2、两个等式 (1)当n>1且neN ,(a=a: a=a,(n为奇数) (2) a(n为偶数) 知识点诠释： 3/15 ①要注意上述等式在形式上的联系与区别： ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可 先写成a的形式，这样能避免出现错误. 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 m 为避免讨论，我们约定a>0,n,m∈N,且n为既约分数，分数指数幂可如下定义： a"=Va a"=(a)"=am .m1 anm an 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 (a>0,b>0,a,B∈2) (1)a·aB=aa+B; (2)(a)P=a4; (3)(ab)=a“b“; 当Q>0,卫P为无理数时，a'是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 知识点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算： (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 -42≠(-4)2 (3)幂指数不能随便约分.如(4≠(4) 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的：无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符 号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于 用指数运算性质，在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b),(a±b)=a2±2ab+b2, a±b=d±3ab+3ab±6，。-=(a-ba+ab+b）,。+B=(a+ba-ab+）的运用，能够 4/15 简化运算. 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂α(a>0,x为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样 适用于无理数指数幂， 【注意】(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数： ②它是有理数指数幂无限逼近的结果， (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①a'a'=a+(a>0,r,s∈R) ②(a）'=as(a>0r,seR). ③(ab)r=ab'(a>0,b>0,r∈R) 5/15 03题型精讲举一反三 题型一：根式取值范围求解 例1.(2026高一河北沧州期中)若(1-2x)4有意义，则x的取值范围是() A.R ®〔G* c.+ n 例2.若(1-2x)4有意义，则x的取值范围是() A.(-0,+0）) B.（uG e.传+ ( 例3.若(x-2)4有意义，则实数x的取值范围是() A.[2,+0) B.（-∞，2] C.(2,+0) D.（-∞，2) 变式1，若x+1+(x-)(xeN,n>)有意义，则x的取值范围是() A.X.-1且x≠1B.x.-1 C.x≠1 D.x∈R 变式2.若(0x|-1)2有意义，则x的取值范围是() A.{xx>1} B.{x|x<-1} C.{xx≠ D.{x|x<-l或x>1 题型二：根式化简求值 2 例4.(2026高一河北唐山期中)83=」 创5(206前打苏商道阶段检)计：0-+()-（号= 例6.(2026高一·天津河西·期末)（-8)3= 6/15 变式3.(2026高二天津静海阶段检测)计算： 6”-2x9-22*可 16 变式4.(2026高一广东东莞期中) 变式5.计算4-3W2)+日 -168+V17-12√2 变式6.2026上海☒行一模)已知。>0'b>0'化简：口66 题型三：分数指数幂与根式互化 例7.（多选题)(2026·高一·江苏南通阶段检测)设x>0,则下列根式与分数指数幂的互化正确的是 () C.x.=1 D.(E= 例8.（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是() ) >0) vxx>0.y>0) D.-G=(←x归（x>0) 例9.（多选题)（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是() A.-V=(-x)(x>0) B.F=y(y>0) C.,.e>0>0) D.x方=-r(x>0) 变式7.用根式的形式表示下列各式(a>0): (1)a2;(2)a;(3)。:(4)a. 变式8.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0): 7/15 (1)a2.a;(2)Vaa 变式9.用分数指数幂的形式表示下列各式： 源>0：2a-ra≥小：8D万e>0:o0叭 题型四：指数幂化简求值 《式子中的字母均为正数)· 例11.化简求值： ④02m-(6+2s64a-3+ (2)(a2b）(4ab):(12a*b2c） (3)2/a÷4ab×3V 例12.解下列方程. (1)332=81: (2)V5=25: (3)52x-6×5+5=0 8/15 变式10.(2026高一·吉林长春·期中)求下列各式的值： (1)(/2×V5)6+π°+0.1253-8025×2： ala ab) (2) V1-2a+a2(a>1,b>0) a (ab3） 变式11.(2026高一福建南平·期中)(1)计算4)- g-5x 2 11 ·a2.b3 (2)化简 a3.b1 (a>0,b>0) a-b5 变式12.计算下列各式： oa3w5-x4P+2-5. s- 4x20 (3 25×(2×45月 9/15 题型五：整体代换法应用 例13.(2026高一河北张家口阶段检测)回答下面两个题： 54 6a3b3÷ 311) (1)化简： --a3b3 59 (2)若x+x=9,求下列各式的值： 0r+r2:®r+x 例14.(2026高一·江西南昌·期中)已知a+a=4. 11 (1)求a2+a2: 33 (②求a2+a a2+a2 例15.(2026高一江苏无锡·期中)化简求值： v-16÷y5店-0ws。 (2)若x+x=4,求下列各式的值： ①x2+x2； x-xi. 变式13.(206高一江苏述云花期中)已知6-占5，求下列各式的值 10/15 (1)a+a ②o2+a a2+a2 -a a-a 变式14，已知x+x-3(x>0),求r+x的值 变式15。(2026高一江苏无锡期中)(1)计算： -25--w+或 (2)若a+a=3,求下列式子的值： ①a-a ②+a 11/15 04过关测试 C 1.(2026高二·河北衡水开学考试)已知正数a,b满足9×27=3，则3a+2b的最小值为() A.9 B.12 C.18 D.24 (neN)的结果为() 4".82 B 22m+5 C.22-2n*6 n. 3.(2026高一·福建厦门期中)下列各式中成立的是() A.)ni B.4= C.x3+y=(x+y)4 D.丽=5 4.(2026高一·全国单元测试)下列结论中，正确的是() 43 A.设a>0,则a3a4=a B.若m8=2,则m=±2 C.若a+a=3,则a+a=士5 D.2-π)=2-元 5.(2026高三全国阶段检测)若实数x,y满足4+4=2(2+2）)，则2+2的值可以是() A.2 3 c.2 B.1 D.2 6.(2026高一广东广州阶段检测)已知正数a,b满足9×27=3，则3a+2b的最小值为() A.10 B.12 C.18 D.24 7.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是() A.(-x)5=-V(x≠0) B.y D.x=- 8.(多选题)(2026高一·黑龙江哈尔滨期末)已知实数a>0,b>0,a+b=1.则下列不等式正确的 是() 12/15 A.ah≤月 B.Ja+bs2 c.(日+22+2s16D.+22w5 9.(多选题)(2026高一河北沧州阶段检测)下列计算正确的是() A.(27aj÷0.3a=10a B C.a5.a5=a2 D.aaa =a 10.(多选题)(2026·高一江苏南京·阶段检测)已知实数a满足a+a=4,下列选项中正确的是 () A.a2+a2=14 B.a-a=2√5 D.ait 3 -3 C. a2+a2=6 o04 1 11.已知x5+x5=22,且x>1,则x2-x5的值为 12.(2026高一湖南邵阳期末)已知5=2,5=9，则52的值为一 13.(2026高一·天津期末)已知a>0,若VaWa=a"，则实数m= 4.(已知2=4，求匠-园)后的值： (2)已知 *+a-的值 a2+a-1=0 Va8-2 15.计算下列各式： 时f6- g-g6 13/15 16.(2026高一陕西安康期中)(1)计算： (2)已知5+x=3”求 2+x2-2 +3的值. 17.(2026高一福建莆田·阶段检测)(1)计算：(a-b)°+(a-b)'(0<a<b) a计算+-6-3x2 18.（2026高一福建厦门期中)（山计算8+8+G-+16+(5.5, (2)若x2+x2=V5,求x+x的值. (3)已知0<x<2,求y=x1-2x)的最大值 3m-21 19.(2026高一·湖北荆州期中)(1)己知10=2,10"=3，求102的值： (2)计算： 1 8 +0wg2月 550-(π-3”+(2x5: 14/15 20,(2s高一湖北州羽中)山计第：（-(+6-可： 11 a+a+2 (2②)已知+a-3求。+a-2的值： 3) 3)已知g5+12=16:求4 的值 15/15 第15讲 指数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 3 知识点二、根式的概念和运算法则 3 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 4 知识点四、有理数指数幂的运算 4 知识点五、无理数指数幂 4 知识点六、实数指数幂的运算性质 5 03 题型精讲举一反三 6 题型一：根式取值范围求解 6 题型二：根式化简求值 7 题型三：分数指数幂与根式互化 8 题型四：指数幂化简求值 10 题型五：整体代换法应用 13 04 过关测试 16 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；0的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 题型一：根式取值范围求解 例1．（2026·高一·河北沧州·期中）若有意义，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，所以， 所以， 故选：D. 例2．若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得. 故选：D. 例3．若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是． 故选：C. 变式1．若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 变式2．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为，要使有意义， 需满足，即或， 即或. 故选：D. 题型二：根式化简求值 例4．（2026·高一·河北唐山·期中）___________． 【答案】4 【解析】由. 例5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【解析】原式． 故答案为： 例6．（2026·高一·天津河西·期末）___________． 【答案】 【解析】. 故答案为： 变式3．（2026·高二·天津静海·阶段检测）计算：_________ 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 变式4．（2026·高一·广东东莞·期中）______. 【答案】. 【解析】因为. 故答案为：. 变式5．计算___________. 【答案】3 【解析】 . 故答案为：3. 变式6．（2026·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 【答案】 【解析】， . 故答案为：. 题型三：分数指数幂与根式互化 例7．（多选题）（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：BD 例8．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 例9．（多选题）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误． 故选：BC 变式7．用根式的形式表示下列各式（）： （1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 变式8．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）： （1）；（2）. 【解析】（1）； （2）. 变式9．用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）当时，； （2）当时，，则； （3）当时，； （4）当时，. 题型四：指数幂化简求值 例10．化简（式子中的字母均为正数）. 【解析】原式. 例11．化简求值： （1） （2） （3） 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 例12．解下列方程． （1）；     （2）；     （3）. 【解析】（1）因为 ，所以 ，所以， 所以方程的解集为 .   （2）因为 ，所以 ，   所以，所以 ，   所以方程的解集为. （3）因为 ，所以 ，   所以 ，   所以或 ，   所以或， 所以方程 的解集为. 变式10．（2026·高一·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1） . （2）由于，所以， 所以 . 变式11．（2026·高一·福建南平·期中）（1）计算； （2）化简. 【解析】（1）原式； （2）原式. 变式12．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式. 题型五：整体代换法应用 例13．（2026·高一·河北张家口·阶段检测）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【解析】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以 例14．（2026·高一·江西南昌·期中）已知． (1)求； (2)求． 【解析】（1）， 因为，所以. （2）由（1）得，， 所以. 例15．（2026·高一·江苏无锡·期中）化简求值： (1)； (2)若，求下列各式的值： ①； ②. 【解析】（1） （2）①，则，则，则； ②设，则，则，即 变式13．（2026·高一·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值. (1) (2) (3) 【解析】（1）由，可知， 因为，故. （2）. （3）由（1）知，所以， 又因为，所以， 所以. 变式14．已知（），求的值. 【解析】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 变式15．（2026·高一·江苏无锡·期中）（1）计算:． （2）若，求下列式子的值： ① ② 【解析】（1）原式=； （2）①：，所以； ②：，由题意知，所以. 1．（2026·高二·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式． 故选：D 3．（2026·高一·福建厦门·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 4．（2026·高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 5．（2026·高三·全国·阶段检测）若实数x，y满足，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，又， 所以， 设，则，即. 因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，，所以的取值范围是 故选：C. 6．（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7．（多选题）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可.对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 8．（多选题）（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，．则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意易知，所以，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，易知， 当且仅当时取得等号，所以， 则，当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，若有，显然C错误； 对于D，由基本不等式知， 当且仅当时取得等号，故D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（2026·高一·河北沧州·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，原式，A正确； 对于B，原式 ，B正确； 对于C，原式，C错误； 对于D，原式，D正确． 故选：ABD． 10．（多选题）（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，故选项A正确； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ,,故选项D错误． 故选：AC． 11．已知，且，则的值为_____. 【答案】2 【解析】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. 12．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知，，则的值为______. 【答案】/ 【解析】因为，， 所以. 故答案是：. 13．（2026·高一·天津·期末）已知，若，则实数___________． 【答案】/ 【解析】因为，所以. 故答案为：. 14．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 15．计算下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ； （2）原式． . 16．（2026·高一·陕西安康·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解析】（1） （2），所以， ，． 17．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）（1）计算: （2）计算: . 【解析】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 18．（2026·高一·福建厦门·期中）（1）计算； （2）若，求的值. （3）已知，求的最大值 【解析】（1） （2）由，可得， 则 （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号； 所以的最大值为. 19．（2026·高一·湖北荆州·期中）（1）已知，求的值； （2）计算：； 【解析】（1），又， ； （2） . 20．（2026·高一·湖北荆州·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【解析】（1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $