2.3二次函数域一元二次方程、不等式讲义（知识点+9题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系这一核心知识点，系统梳理一元二次不等式的概念、解法（结合Δ与函数图象）、三个“二次”的内在联系，延伸至含参不等式、分式与绝对值不等式、恒成立与能成立问题及实际应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以知识结构化与题型分层为特色，通过图象分析根与解集关系培养几何直观（数学眼光），含参问题分类讨论发展逻辑推理（数学思维），刹车距离、利润计算等实际应用题强化模型意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，提升解题能力。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识要点梳理 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解法 （1）一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.三个“二次”之间的关系 ①三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. ②讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下. 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 4.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 5.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系应用 1.已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 2.解简单的分式或绝对值不等式 角度1　解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. ①>0(<0)⇔(ax+b)(cx+d)>0(<0)； ②≥0(≤0)⇔ (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 角度2　解绝对值不等式 绝对值不等式的解法 (1)直接去绝对值：已知a>0，则|x|<a⇔-a<x<a；|x|>a⇔x<-a或x>a. (2)分段去绝对值. (3)平方去绝对值：对于|A|<|B|(A，B为代数式)，|A|<|B|⇔A2<B2⇔(A+B)(A-B)<0. 3.一元二次不等式的实际应用 知识点3 恒成立问题与能成立问题 1.在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 考点题型突破 一、题型一 一元二次不等式的判断 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 3．下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、题型二 解不含参不等式 4．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 5．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 6．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 7．解下列不等式： （1）；          （2）；         （3） 8．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 三、题型三 已知解集求参数 9．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 10．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 12．已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为__________； （2）用表示，为__________； （3）不等式的解集为__________； （4）__________0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为__________. 四、题型四 二次函数图象 13．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 14．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 15．已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 16．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 17．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 五、题型五 含参不等式的求解 18．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 19．下列不等式中解集非空的是（    ） A． B． C． D． 20．解关于x的不等式. 21．已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 22．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 六、题型六 根的分布 23．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 24．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 25．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 26．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 27．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 七、题型七 恒成立问题 28．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 29．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 30．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 31．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 32．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 33．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 八、题型八 存在性问题 34．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 35．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 36．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 37．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 38．若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 九、题型九 二次不等式的应用 39．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 40．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 41．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 42．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 43．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识要点梳理 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解法 （1）一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.三个“二次”之间的关系 ①三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. ②讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下. 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 4.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 5.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系应用 1.已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 2.解简单的分式或绝对值不等式 角度1　解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. ①>0(<0)⇔(ax+b)(cx+d)>0(<0)； ②≥0(≤0)⇔ (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 角度2　解绝对值不等式 绝对值不等式的解法 (1)直接去绝对值：已知a>0，则|x|<a⇔-a<x<a；|x|>a⇔x<-a或x>a. (2)分段去绝对值. (3)平方去绝对值：对于|A|<|B|(A，B为代数式)，|A|<|B|⇔A2<B2⇔(A+B)(A-B)<0. 3.一元二次不等式的实际应用 知识点3 恒成立问题与能成立问题 1.在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 考点题型突破 一、题型一 一元二次不等式的判断 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的结构为进行判断. 【详解】为一元一次不等式，故①不符合；当时，ax2＋4x－7＞0为一元一次不等式，故③不符合题意；x2＋mx－1＞0和x2＜0均为一元二次不等式，故②④符合题意，即一定为一元二次不等式的有2个. 故选：B. 【点睛】本题考查对一元二次不等式的理解，属于简单题. 2．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 3．下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】（1）符合一元二次不等式的定义，所以（1）是一元二次不等式. （2）符合一元二次不等式的定义，所以（2）是一元二次不等式. （3）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. （4）不是，因为x的最高次数为3，不符合一元二次不等式的定义. （5）不是，因为当时，它为一元一次不等式；当时，它为二元二次不等式. （6）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. 二、题型二 解不含参不等式 4．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 5．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 6．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 7．解下列不等式： （1）；          （2）；         （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集. 【详解】（1）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；          （2）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；         （3）等价于等价于，解得：，所以不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题. 8．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 三、题型三 已知解集求参数 9．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 10．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 12．已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为__________； （2）用表示，为__________； （3）不等式的解集为__________； （4）__________0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据解集判断；再结合韦达定理得出关系；求解一次不等式；根据解集判断不等关系；消参解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以. （2）由题可知-3，4是的两根， 由根与系数的关系可得所以 （3）由（2）得，即，所以，即的解集为. （4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即. （5）由以上分析可知不等式即. 因为，故，所以或.故不等式的解集为. 故答案为： 四、题型四 二次函数图象 13．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 14．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 15．已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【详解】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 16．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 17．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【分析】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对. 故选：BD. 五、题型五 含参不等式的求解 18．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 19．下列不等式中解集非空的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二次不等式的解法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，解得，故解集为，非空，满足题意； 对于B选项，，故的解集为空集，不满足题意； 对于C选项，，故解集为，非空，满足题意； 对于D选项，，故的解集为空集，不满足题意； 故选：AC 20．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21．已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 六、题型六 根的分布 23．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 24．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 25．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 26．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 27．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 七、题型七 恒成立问题 28．若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 29．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 30．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 31．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 32．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 33．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 八、题型八 存在性问题 34．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 35．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 36．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 37．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 38．若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由命题的否定为真命题，得到，，进而可求解. 【详解】由题意可知：，为真命题， 即，， 又当时，，当时取等号， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 九、题型九 二次不等式的应用 39．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 40．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 41．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 42．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 43．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $