5.1 勾股定理及其逆定理课时作业 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

青岛版 八年级上册 · 5.1　勾股定理及其逆定理　课时作业 第五章　勾股定理与实数 5.1　勾股定理及其逆定理　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　得分：________ 学习目标 1．掌握勾股定理及其逆定理，能用面积法理解勾股定理的证明． 2．会用勾股定理求直角三角形的边长，会用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形． 3．能运用勾股定理及其逆定理解决折叠、最短路径、实际测量等问题． 一、知识梳理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么+=． 2．勾股定理的变形：=-，=-．使用前要先确认哪条边是斜边． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角． 4．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数叫做勾股数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41． 5．判定直角三角形的步骤：①找出最长边；②计算较短两边的平方和与最长边的平方；③比较二者是否相等． 6．常见应用：求线段长、折叠问题（设未知数，用勾股定理列方程）、立体图形表面最短路径（展开成平面图形）． 二、基础过关 （一）选择题 1．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（　　） A．7 B．9 C．10 D．14 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，24，25 D．0.3，0.4，0.5 3．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．4，6，8 D．6，7，8 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．60 C．32.5 D．65 5．如图，一棵大树在离地面9 m处折断，树的顶端落在离树根12 m处，则这棵树折断之前的高度为（　　） A．15 m B．21 m C．24 m D．25 m 6．若三角形的三边长a，b，c满足-=2ab，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个较小正方形的面积分别为=9，=16，则最大正方形的面积为（　　） A．7 B．12 C．25 D．144 8．如图，一架长25 m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端B离墙7 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4 m，那么梯子的底端在水平方向上将滑动（　　） A．4 m B．6 m C．8 m D．9 m （二）填空题 9．在Rt△ABC中，两直角边长分别为5和12，则斜边长为________，斜边上的高为________． 10．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为________，面积为________． 11．已知△ABC的三边长分别为9，12，15，则△ABC是________三角形，它的面积为________． 12．已知|a-6|+=0，c=10，则以a，b，c为边的三角形是________三角形． 13．如图，圆柱的底面周长为12 cm，高为8 cm，一只蚂蚁从圆柱下底面的点A沿侧面爬到上底面与A相对的点B，它爬行的最短路程是________cm． 14．一个直角三角形的斜边长为20，两条直角边长之比为3∶4，则两条直角边长分别为________． 15．如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将它折叠使点D与点B重合，折痕为EF，则AE=________． 16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，按此规律，第5组勾股数为11，________，________． （三）解答题 17．如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，BC=14，AD⊥BC于点D，求AD的长． 18．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积． 19．已知n是大于1的整数，判断以-1，2n，+1为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由． 20．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多出1 m，当他把绳子的下端拉开到离旗杆底部5 m处时，绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，BD平分∠ABC交AC于点D，求CD的长． 三、能力提升 22．在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC的长为（　　） A．21 B．9 C．21或9 D．15 23．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm，则能放进盒子里的木棒的最大长度为（　　） A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm 24．已知一个直角三角形的周长为24，斜边长为10，则这个直角三角形的面积为________． 25．已知△ABC的三边长a，b，c满足+++50=6a+8b+10c，则△ABC是________三角形，面积为________． 26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300 km的B处，并以每小时10 km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．A城是否会受到这次台风的影响？请说明理由． 27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE（D在BC上，E在AB上），求CD的长． 四、参考答案与解析 （一）选择题 1．C　解析：+=100=． 2．C　解析：+=49+576=625=；D中的数不是正整数，不是勾股数． 3．B　解析：+=169=． 4．A　解析：=-=144，BC=12，面积=×5×12=30． 5．C　解析：折断部分长为斜边，+=225=，原树高9+15=24（m）． 6．B　解析：展开得+2ab+-=2ab，即+=． 7．C　解析：=+=25． 8．C　解析：原来顶端高-=576，即24 m；下滑后高20 m，底端距墙-=225，即15 m，滑动15-7=8（m）． （二）填空题 9．13，　解析：斜边上的高==． 10．8，48　解析：由“三线合一”，底边一半为6，高的平方为-=64，高为8． 11．直角，54　　12．直角 13．10　解析：侧面展开后，两点之间的水平距离为底面周长的一半6 cm，竖直距离8 cm，+=． 14．12，16　解析：设两直角边为3x，4x，则9+16=400，x=4． 15．4　解析：设AE=x，则BE=DE=9-x，+=，解得x=4． 16．60，61　解析：第n组为2n+1，2+2n，2+2n+1． （三）解答题 17．解：设BD=x，则CD=14-x．由勾股定理得=-=-，解得x=9，所以=225-81=144，AD=12． 18．解：连接AC．在Rt△ABC中，=+=25，AC=5．在△ACD中，+=169=，所以∠ACD=90°．S=×3×4+×5×12=6+30=36． 19．解：是直角三角形．因为+=-2+1+4=+2+1=，由勾股定理的逆定理知是直角三角形． 20．解：设旗杆高x m，则绳长(x+1) m．由勾股定理得+=，解得x=12．答：旗杆高12 m． 21．解：AB=10．过点D作DE⊥AB于E，则DE=CD．设CD=x，由=+得×6×8=×6x+×10x，解得x=3，即CD=3． （四）能力提升 22．C　解析：BD=15，CD=6；当D在BC上时BC=21，当D在BC延长线上时BC=9． 23．B　解析：底面对角线的平方为+=25，体对角线的平方为25+=169，最大长度为13 cm． 24．24　解析：a+b=14，+=100，2ab=-(+)=96，面积=ab=24． 25．直角，6　解析：配方得++=0，a=3，b=4，c=5． 26．解：过点A作AC⊥BF于点C．由题意∠ABC=90°-60°=30°，所以AC=AB=150 km．因为150<200，所以A城会受到这次台风的影响． 27．解：连接AD，由折叠得AD=BD．设CD=x，则AD=8-x．在Rt△ACD中，+=，解得x=，即CD=． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $