4.4 等腰三角形课时作业 2026-2027学年青岛版数学 八年级上册

青岛版 八年级上册 · 4.4　等腰三角形　课时作业 第四章　图形的轴对称 4.4　等腰三角形　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　得分：________ 学习目标 1．掌握等腰三角形的性质“等边对等角”“三线合一”和判定“等角对等边”． 2．掌握等边三角形的性质与判定，了解含30°角的直角三角形的性质． 3．能综合运用等腰三角形的性质与判定进行计算和证明，学会分类讨论． 一、知识梳理 1．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2．等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；(2) 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）；(3) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线． 3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 4．三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形的三个内角都相等，且每个角都等于60°；它有3条对称轴． 5．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 6．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 方法提醒：已知等腰三角形的一个角或一条边求其他角或边时，要分类讨论，并检验是否满足三角形内角和为180°或三边关系． 二、基础过关 （一）选择题 1．等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角是（　　） A．70° B．40° C．70°或40° D．55° 2．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．10 3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．BD=CD B．AD平分∠BAC C．∠B=∠C D．AB=BC 4．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．三边都相等的三角形 D．有一个外角是120°的三角形 5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，则DB与DE的大小关系是（　　） A．DB=DE B．DB>DE C．DB<DE D．无法确定 （二）填空题 9．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角为________°． 10．等腰三角形的周长为20，其中一边长为6，则另外两边长为______________． 11．如图（第3题图），在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠BAD=25°，则∠C=________°． 12．在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC=________． 13．在等边△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，则AB=________，∠BAD=________°． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若BD=2，则CD=________． 15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若BD=10，则AC=________． 16．等腰三角形的底角为15°，腰长为a，则腰上的高为________． （三）解答题 17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，DC=AC，求∠B和∠BAC的度数． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE．求证：BD=CE． 19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形． 20．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，求∠AFE的度数． 21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，BD=2，求AB的长． 三、能力提升 22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 23．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，AB=10，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 24．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的腰长为________． 25．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BCD的周长为________． 26．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，过点D作DM⊥BE，垂足为M．求证：M是BE的中点． 27．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD=CF，BE=CD． (1) 求证：△DEF是等腰三角形； (2) 若∠A=40°，求∠EDF的度数． 四、拓展探究 28．如图，∠AOB=40°，点A在射线OA（即∠AOB的一边）上，点P在射线OB上运动．当△AOP是等腰三角形时，求∠OAP的度数． 29．如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，AE与BD相交于点F． (1) 求证：AE=BD； (2) 求∠AFB的度数． 五、课堂小测（限时10分钟） 30．若等腰三角形的顶角是底角的2倍，则顶角的度数为（　　） A．45° B．60° C．90° D．120° 31．若等腰三角形的腰长为6，周长为16，则底边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 32．等边三角形一边上的高与另一边的夹角是________°． 33．在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=________°． 34．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度数． 六、参考答案与解析 （一）选择题 1．C　解析：70°为顶角时顶角是70°；70°为底角时顶角为180°-2×70°=40°． 2．B　解析：若腰为3，则3+3<7，不能构成三角形；所以腰为7，周长为7+7+3=17． 3．D　解析：由“三线合一”可知A，B正确；由“等边对等角”可知C正确． 4．D 5．C　解析：∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠DBC=36°=∠A，∠BDC=72°=∠C，所以△ABC，△ABD，△BCD都是等腰三角形． 6．C　解析：当三角形为锐角三角形时顶角为60°；当三角形为钝角三角形时顶角为120°． 7．B　解析：30°角所对的直角边等于斜边的一半． 8．A　解析：∠DBC=30°，∠ACB=∠CDE+∠E=60°，又CD=CE，∴∠E=30°=∠DBC，∴DB=DE． （二）填空题 9．50　　10．6，8或7，7　　11．65　　12．5　　13．6，30 14．4　解析：∠B=∠C=30°，DA=DB=2，∠DAB=30°，∠DAC=90°，所以CD=2AD=4． 15．5　解析：DA=DB=10，∠ADC=2∠B=30°，所以AC=AD=5． 16．　解析：顶角为150°，其外角为30°，腰上的高等于a． （三）解答题 17．解：设∠B=x．∵AB=AC，∴∠C=x；∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=x，∠ADC=2x；∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC=2x．在△ADC中，x+2x+2x=180°，x=36°．所以∠B=36°，∠BAC=x+2x=108°． 18．证明：过点A作AH⊥BC于点H．∵AB=AC，∴BH=CH；∵AD=AE，∴DH=EH．∴BH-DH=CH-EH，即BD=CE． 19．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，即△BED是等腰三角形． 20．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°．又BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE．∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°． 21．解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴AB=2BC=8． （四）能力提升 22．B　解析：∠ABC=∠C=70°，BD=BC，∠BDC=∠C=70°，∠DBC=40°，∠ABD=70°-40°=30°． 23．C　解析：∠A=30°，∠C=90°，BC=AB=5． 24．10或8　解析：设腰长为x，底边长为y．若x+=15，+y=12，得x=10，y=7；若x+=12，+y=15，得x=8，y=11．两种情况都能构成三角形． 25．16　解析：DA=DB，周长=BD+DC+BC=AC+BC=16． 26．证明：连接BD．∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，∴∠DBC=30°，∠ACB=60°．∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠DBC=∠E，DB=DE．又DM⊥BE，由“三线合一”得BM=EM，即M是BE的中点． 27．(1) 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△BED和△CDF中，BE=CD，∠B=∠C，BD=CF，∴△BED≌△CDF（SAS），∴DE=DF，△DEF是等腰三角形． (2) 解：∠B=∠C=70°．由全等得∠BED=∠CDF，∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-∠BDE-∠BED=∠B=70°． （五）拓展探究 28．解：分三种情况：①OA=OP时，∠OAP=∠OPA==70°；②AO=AP时，∠APO=∠AOP=40°，∠OAP=100°；③PA=PO时，∠OAP=∠AOP=40°．所以∠OAP为70°或100°或40°． 29．(1) 证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD． (2) 解：由(1)得∠CBD=∠CAE．∠AFB=180°-∠FAB-∠FBA=180°-(∠BAC+∠CAE)-(∠ABC-∠CBD)=180°-60°-60°=60°． （六）课堂小测 30．C　　31．A　　32．30　　33．80 34．解：设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=x，∠BDC=2x；∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x．在△ABC中，x+2x+2x=180°，x=36°，即∠A=36°． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $