精品解析：四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级上学期课后服务质量监测数学试题

渠县中学初2023级初三数学备课组 九上10月大练习数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，当时是一元二次方程，原选项不符合题意； 、由得，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是分式方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 3. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，解题关键是将方程化为一般形式（），从而确定、、的值．先将化为一般式即可确定、、的值． 【详解】解：， 移项得：， ，， 故选：B． 4. 下列有关四边形的命题正确的是（ ） A. 两组邻边分别相等的四边形是菱形 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据正方形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定定理判断即可 【详解】解：A．两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如筝形，故本选项命题错误，不符合题意： B．对角互补的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意： C．矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本选项命题错误，不符合题意： D．正方形的对角线相等且互相平分，命题正确，符合题意； 故选：D． 5. 现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 首先根据题意列出表格，然后求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字都为非负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】列表如下： -3 0 2 -3 (0,-3) (2,-3) 0 (-3,0) (2,0) 2 (-3,2) (0,2) 所有等可能的情况有6种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有、共2种， 则两个都是非负数的概率为， 故选：B． 6. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理； 过作于，设，根据勾股定理求出，进而得出的长，再证明，四边形是矩形，求出的长，再在中运用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠可知， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴在中，， 故选：C． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，连接，证明，则，证明是等腰直角三角形，得到，即点在的角平分线上运动，以为边，在右侧作正方形，连接，则，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线,求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， 即点在的角平分线上运动， 以为边，在右侧作正方形，连接，则 在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线, ∵正方形的边长为3， ∴ ∴ 即点F运动的路径长为， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点在的角平分线上运动是解题的关键． 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 10. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 二、填空题（每题4分，共20分）. 11. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________． 【答案】6 【解析】 【详解】分析：直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数． 详解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为， ∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×=6． 故答案为6． 点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键． 12. 如果， 那么=________ 【答案】 【解析】 【详解】设x=2k，y=5k， ==. 故答案为：. 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 14. 已知实数满足，那么的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】设， ∴原式可转化为：， 整理得，， 解得，或， ∵， ∴将(舍去) ∴的值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍． 15. 如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定．根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得的周长，进而判断②正确，无法证明是等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共90分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）等式右边进行因式分解后，移项，再利用因式分解法进行求解即可； （3）移项后，利用因式分解法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴； 【小问3详解】 解： ∴． 17. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 18. 如图，，且． （1）求的值； （2）若，，分别求出和的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是解决本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据结合可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵, ∴, ∴； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴该方程总有两个实数根： （2）2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式和解法是关键． （1）根据根的判别式的范围即可证明结论； （2）解一元二次方程得到，根据和该方程的两个实数根的差为2，得到，即可求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， ， ， ， ∵该方程的两个实数根的差为2， ， 解得． 20. 如图，在中，点E、点F分别在的延长线上，且，EF分别交于点H、点G ． （1）求证：； （2）若，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，矩形的判定． （1）根据平行四边形的性质可证，再证明即可； （2）根据平行四边形的性质得，求出可知，进而根据矩形的判定解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以即可得解； （3）先求出组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【小问1详解】 解：本次抽测了名九年级学生， ； 【小问2详解】 解：组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人； 【小问3详解】 解：组人数为（人）， ∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生， ∴抽取的优秀学生人数为（人）， ∵其中恰好有2名女生， ∴组的男生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 22. 如图，在菱形中，．点E，点F分别在边上，连接，交于点G，且满足． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴； （3） 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于T， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得到，再由平行线的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）根据四边形内角和定理得到，则可证明，再由菱形的性质和平行线的性质证明，则可证明； （3）延长到H，使得，连接，证明，得到，则可证明，得到；过点C作于T，则，由勾股定理得，，则，再根据线段的和差关系证明即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 （2） 日销售利润不能达到元，理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，利用月销售量月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 略 24. 阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，且， 、可看作方程， ，， ； 【小问3详解】 解：把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县中学初2023级初三数学备课组 九上10月大练习数学试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. B. C. D. 4. 下列有关四边形的命题正确的是（ ） A. 两组邻边分别相等的四边形是菱形 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等且互相平分 5. 现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 8. 如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（ ） A. B. C. 6 D. 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 10. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共20分）. 11. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________． 12. 如果， 那么=________ 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 14. 已知实数满足，那么的值为______． 15. 如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 三、解答题（共90分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 17. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 18. 如图，，且． （1）求的值； （2）若，，分别求出和的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 20. 如图，在中，点E、点F分别在的延长线上，且，EF分别交于点H、点G ． （1）求证：； （2）若，求证：是矩形． 21. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 22. 如图，在菱形中，．点E，点F分别在边上，连接，交于点G，且满足． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 23. 在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 24. 阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 25. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $