15.1图形的轴对称【重难点培优讲义】2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1 图形的轴对称 学习目标和重难点 1、理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确识别并找出对称轴。 2、探索并掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 3、了解线段垂直平分线的概念，体会轴对称在生活中的应用，感受图形的对称美。 重点：轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；轴对称的性质。 难点：区分轴对称图形与两个图形成轴对称；理解对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。 知识梳理 针对训练 题型1 轴对称图形的识别 题型2 成轴对称的两个图形的识别 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5 台球桌面上的轴对称问题 题型6 轴对称中的光线反射问题 题型7 折叠问题 题型8 线段垂直平分线的性质 题型9 线段垂直平分线的判定 题型10 写出命题的逆命题 题型11 作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 题型12 做垂线（尺规作图） 题型13 求对称轴条数 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点1 轴对称图形与对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 【针对训练】 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：A． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 展开后的图形呈轴对称， 故选：C． 知识点2 两个图形成轴对称 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 【针对训练】 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称， ∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确， AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【针对训练】 【典例1】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【解答】解：如图，即为所求作：    【变式1】如图，画出关于直线对称的图形． 【答案】作图见详解 【解答】解：根据轴对称图形的性质作图如下， 知识点4 作轴对称图形 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 【针对训练】 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 知识点5 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出对称点的坐标； （2）根据对称点的坐标描点； （3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形． 【针对训练】 【典例1】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　3　 ． 【答案】（1）作图见解析部分； （2）3． 【解答】解：（1）如图，直线l即为所求； （2）S△ABC＝2×41×22×21×4＝3， 故答案为：3． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称． （1）直接写出△ABC的面积 　5　 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m． （3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB． 【答案】（1）5； （2）（3）见解答． 【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×41×22×43×4＝5； 故答案为5； （2）如图，直线m为所作； （3）如图，△DCB为所作． 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】下列标志中，是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是找到对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后重叠，根据概念一一判断即可； 【规范解答】解：根据轴对称图形的概念一一判断可知：第1，2，4是轴对称图形，共3个， 故选：C． 【变式训练】方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 【答案】B 【思路引导】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【规范解答】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去①和③，剩下的图形不是轴对称图形； 故选：B． 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】利用轴对称的性质可得阴影部分面积是正方形面积的一半，即可解答； 【规范解答】解：正方形的面积=4×4=16cm2， AC是正方形的对角线， ∴阴影部分的面积==8 cm2； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，掌握轴对称的两个图形的面积相等是解题关键． 【变式训练】把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【规范解答】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． (1)作出关于y轴对称的图形．其中分别A、B、C和对应，则线段的长度为 ； (2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小． 【答案】(1)作图见解析，6 (2)见解析 【思路引导】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点即可．根据变换后的图形可直接得出的长度； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求，线段AA1的长度为6， 故答案为：6； （2）点P的位置如图所示． 【考点剖析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【规范解答】解：∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【规范解答】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 题型5：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【思路引导】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【规范解答】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式训练】如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ． 【答案】41 【思路引导】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'，得到BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'， 则EG= E'G，HF=HF'， ∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'， 连接E'F'，交AB、CD于H、G点，BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长， 过点E'作E'H⊥BC，交BC的延长线于H， 则F'H=14+2×13=40，E'H =9， 在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41， ∴BG+G+HF的最小值为：41， 故答案为：41． 【考点剖析】本题主要考查了勾股定理，轴对称一最短路线问题，通过作对称点，将BG+HG+HF的最小值转化为E'F'的长是解题的关键． 题型6：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称，点的坐标，解题的关键是能够正确找到循环的数值，从而得到规律，按照反弹规律依次画图即可． 【规范解答】    根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每次一循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 题型7：折叠问题 【典例精讲】将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟知其性质是解题的关键． 根据折叠的性质进行解题即可． 【规范解答】解：由折叠知，，， 而， ∴， 即． 故选：B ． 【变式训练】如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质可得出，，由，利用平行线的性质可得出，再结合，即可求出的度数，于是得到结论． 【规范解答】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 即， ． ， 故选：A． 题型8：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【规范解答】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 【变式训练】如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【规范解答】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 题型9：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【规范解答】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【变式训练】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【规范解答】解：如图，点P即为所求． 题型10：写出命题的逆命题 【典例精讲】直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形 【思路引导】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可． 【规范解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形． 【变式训练】下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【思路引导】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【规范解答】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 考点11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 【典例精讲】如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【规范解答】解：如图，点P即为所求． 【变式训练】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段的加减计算． （1）由作法可知垂直平分，即，进而计算即可； （2）由题意可知，，进而可知． 【规范解答】（1）解：由作法可知垂直平分， 所以， 所以， 因为， 所以； （2）由作法可知垂直平分， 所以， 因为的周长为， 即， 所以 即 所以的周长为． 题型12：做垂线（尺规作图） 【典例精讲】如图，图①和图②分别是一个轴对称图形，请按要求分别作出图形的对称轴，并简要说明作图方法． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了画对称轴，画垂线以及作垂直平分线，熟练掌握轴对称的性质，即可求解． （1）用三角尺在弧上确定两点，连接交于点，过点画的垂线，即可求解； （2）作的垂直平分线，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，用三角尺在弧上确定两点，连接交于点，过点画的垂线，直线，即为所求； （2）解：如图所示，作的垂直平分线，则直线，即为所求； 【变式训练】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图 作法：1．连接交于点， 2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； （2）解：如图 作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：如图 作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 题型13：求对称轴条数 【典例精讲】如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【规范解答】解：该轴对称图形有2条对称轴， 如图所示． 故答案为：2． 【变式训练】如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【答案】(1)是，4 (2) 【思路引导】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； （2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：    故答案为：是，4； （2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为， 则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为， 空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为， ∴这个地板砖的面积为：， ∴停留在阴影区域的概率是： 答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是． 基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意 D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2．如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 3．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称得出，即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 4．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】根据入射线与反射线的关系，作出入射角等于反射角即可． 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    6．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 7．到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 8．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、平行公理的应用、判断命题真假、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 10．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画对称轴 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 11．如图，把纸张沿黑色部分剪下后展开，所得字是________． 【答案】呆 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：如图，把纸张沿黑色部分剪下后展开，所得字是呆． 12．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 13．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 14．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为G，点D，C分别落在，的位置上，如果，那么__________． 【答案】/50度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】首先利用平行线的性质得到，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 15．如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】分别以点B、C为圆心，大于为半径画弧，然后交于两点，过这两点作直线交于点，进而问题可求解． 【详解】略 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 16．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称的基本性质：对应角相等、对应边相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，据此逐项分析． 【详解】解：选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， 同时延长和会相交一点， ∴不一定成立， ∴选项符合题意． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∴成立， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∵交于点， ∴成立， ∴选项正确． 17．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】先根据得出，再根据，推出，从而得出，结合折叠，得出，最后根据是的外角，根据即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∵是的外角， ∴， ∴． 18．已知，线段，线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图①，②，③所示（图②中为外任一点），则不一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③均正确 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【详解】解：图①：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线，图中的尺规作图是标准的作角平分线的操作，得到的直线就是的对称轴，作图正确； 图②：线段的对称轴是的垂直平分线，正确的尺规作法需要分别以P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧分别相交，过两个交点的直线才是的垂直平分线。但图中O是外任意一点，作图过程没有保证得到的直线垂直平分，因此这条直线不一定是的对称轴，作图不一定正确； 图③：该尺规作图是标准的作线段垂直平分线的操作，得到的直线就是的对称轴，作图正确； 因此不一定正确的是② 19．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 20．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 21．如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得，设，分别表示两个三角形的周长，根据算式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，设， 的周长为，的周长为， ， ， 解得． 22．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是________．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重叠，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重叠，则：折痕即为边上的高； 故上述三条线段中能通过折纸折出的是①②③． 23．如图，在中，，，平分． (1)在中，用直尺和圆规画出边上的高； (2)求的度数． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2) 【知识点】画三角形的高、与角平分线有关的三角形内角和问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，注意高是线段； （2）先由三角形内角和定理求解，然后由角平分线求解，再由三角形的外角性质求解，最后再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵是边上的高， ∴， ∴． 24．如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2)证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 思维创新拓展练（测试时间：20分钟） 25．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 26．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到、，，再利用长方形的性质求出，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 27．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 28．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，从而将转化为，根据垂线段最短可知，当、、三点共线且时，取得最小值，最小值即为点到的距离，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 29．如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由对称得直线垂直平分，由垂直平分线的性质得，进而求出，则，当，B，C三点共线时等号成立． 【详解】解：，两点关于直线对称， 直线垂直平分， ， 的周长是16，， ， ， 点在直线上， ， ，当，B，C三点共线时等号成立，如图： 的最大值为6． 30．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、折叠问题 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请探索和的数量关系．并证明你的结论． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 根据折叠可知：， ， ， ； (3)解：，理由如下： 根据折叠可知：，，，， ，，， 设，， 则， 又， 即， ， ， ， ， ， 即， ． 在中，， 设， ， ， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】(1)根 据 折 叠 得 出，根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 ； (2)过点M作，证明，再证明 ，得出； (3)根据折叠可知：，，， ，，，，设，，由折叠的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和为360°及角度的和差关系，得出 ，，即可得出，整理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 根据折叠可知：， ， ； （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 图形的轴对称 学习目标和重难点 1、理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确识别并找出对称轴。 2、探索并掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 3、了解线段垂直平分线的概念，体会轴对称在生活中的应用，感受图形的对称美。 重点：轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；轴对称的性质。 难点：区分轴对称图形与两个图形成轴对称；理解对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。 知识梳理 针对训练 题型1 轴对称图形的识别 题型2 成轴对称的两个图形的识别 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5 台球桌面上的轴对称问题 题型6 轴对称中的光线反射问题 题型7 折叠问题 题型8 线段垂直平分线的性质 题型9 线段垂直平分线的判定 题型10 写出命题的逆命题 题型11 作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 题型12 做垂线（尺规作图） 题型13 求对称轴条数 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点1 轴对称图形与对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 【针对训练】 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 知识点2 两个图形成轴对称 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 【针对训练】 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【针对训练】 【典例1】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【变式1】如图，画出关于直线对称的图形． 知识点4 作轴对称图形 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 【针对训练】 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【变式1】如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 知识点5 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出对称点的坐标； （2）根据对称点的坐标描点； （3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形． 【针对训练】 【典例1】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　 　 ． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称． （1）直接写出△ABC的面积 　 　 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m． （3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB． 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】下列标志中，是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． (1)作出关于y轴对称的图形．其中分别A、B、C和对应，则线段的长度为 ； (2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 【变式训练】如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 题型5：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式训练】如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ． 题型6：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ．    题型7：折叠问题 【典例精讲】将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 题型8：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【变式训练】如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 题型9：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【变式训练】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 题型10：写出命题的逆命题 【典例精讲】直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【变式训练】下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 题型11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 【典例精讲】如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 题型12：做垂线（尺规作图） 【典例精讲】如图，图①和图②分别是一个轴对称图形，请按要求分别作出图形的对称轴，并简要说明作图方法． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【变式训练】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 题型13：求对称轴条数 【典例精讲】如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【变式训练】如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 4．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 5．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 8．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 10．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 11．如图，把纸张沿黑色部分剪下后展开，所得字是________． 12．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 13．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 14．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为G，点D，C分别落在，的位置上，如果，那么__________． 15．如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 提升拔高突破练（测试时间：20分钟） 16．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 17．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．已知，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．已知，线段，线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图①，②，③所示（图②中为外任一点），则不一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③均正确 19．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 20．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 21．如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 22．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是________．（填序号） 23．如图，在中，，，平分． (1)在中，用直尺和圆规画出边上的高； (2)求的度数． 24．如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 思维创新拓展练（测试时间：20分钟） 25．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 26．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 30．如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 31．已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请探索和的数量关系．并证明你的结论． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $