专题15.1 图形的轴对称（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与对称轴的定义、两个图形成轴对称的特征及性质、线段垂直平分线的定义与性质（含逆定理）、互逆命题，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料亮点在于16种题型分层设计，例题搭配变式题，如通过围棋棋盘判断轴对称培养几何直观，利用线段垂直平分线求最值发展推理能力，实际应用题型提升应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题15.1 图形的轴对称（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 对称轴】 3 【题型3 识别成轴对称的两个图形】 4 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 5 【题型5 根据轴对称的性质进行求解】 6 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 8 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求周长】 9 【题型8 利用线段垂直平分线的性质求角度】 10 【题型9 利用线段垂直平分线的性质求面积】 11 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求最值】 12 【题型11 利用线段垂直平分线的性质证明】 13 【题型12 作已知线段的垂直平分线】 14 【题型13 证明线段垂直平分线】 15 【题型14 线段垂直平分线的实际应用】 16 【题型15 垂直平分线的性质及其逆定理的综合】 17 【题型16 写出命题的逆命题】 19 考点1 轴对称及其性质 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）小篆是书法中常用的字体，其字形端庄匀称．下面“奋斗龙华”小篆字形中，可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【题型2 对称轴】 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型3 识别成轴对称的两个图形】 【例3】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式3-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式3-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例4】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【变式4-3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 根据轴对称的性质进行求解】 【例5】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 考点2 线段的垂直平分线 知识点4 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 知识点5 互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例6】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求周长】 【例7】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【变式7-2】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【题型8 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例8】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为______． 【变式8-2】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 【题型9 利用线段垂直平分线的性质求面积】 【例9】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【变式9-1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【变式9-2】如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为______．    【变式9-3】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若 平分求的面积． 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求最值】 【例10】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【变式10-1】如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【变式10-2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为___________． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·周测）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【题型11 利用线段垂直平分线的性质证明】 【例11】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式11-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【变式11-2】如图，四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：是的角平分线； ②若时，求的长． 【变式11-3】如图，在中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状，并证明你的结论． 【题型12 作已知线段的垂直平分线】 【例12】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式12-1】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式12-2】（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式12-3】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型13 证明线段垂直平分线】 【例13】筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【变式13-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【变式13-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【变式13-3】已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【题型14 线段垂直平分线的实际应用】 【例14】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式14-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式14-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【变式14-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【题型15 垂直平分线的性质及其逆定理的综合】 【例15】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式15-1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【变式15-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【变式15-3】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【题型16 写出命题的逆命题】 【例16】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【变式16-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【变式16-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【变式16-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是____________________（填“真”或“假”）命题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 图形的轴对称（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 对称轴】 4 【题型3 识别成轴对称的两个图形】 6 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 8 【题型5 根据轴对称的性质进行求解】 10 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 13 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求周长】 16 【题型8 利用线段垂直平分线的性质求角度】 18 【题型9 利用线段垂直平分线的性质求面积】 21 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求最值】 24 【题型11 利用线段垂直平分线的性质证明】 29 【题型12 作已知线段的垂直平分线】 34 【题型13 证明线段垂直平分线】 36 【题型14 线段垂直平分线的实际应用】 39 【题型15 垂直平分线的性质及其逆定理的综合】 41 【题型16 写出命题的逆命题】 45 考点1 轴对称及其性质 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）小篆是书法中常用的字体，其字形端庄匀称．下面“奋斗龙华”小篆字形中，可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中只有B选项中的图形是轴对称图形． 【变式1-2】下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 【题型2 对称轴】 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 【题型3 识别成轴对称的两个图形】 【例3】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式3-2】国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式3-3】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例4】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解： 与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【变式4-2】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误； 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 【详解】解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 【题型5 根据轴对称的性质进行求解】 【例5】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 考点2 线段的垂直平分线 知识点4 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 知识点5 互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 【题型6 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例6】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 【变式6-1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 【变式6-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 【题型7 利用线段垂直平分线的性质求周长】 【例7】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【答案】27 【分析】连接，结合等边三角形的性质、角平分线的定义以及垂直平分线的性质证明为等边三角形，易得，进而可得，可证明，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的平分线交于点O，和的垂直平分线交于E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【答案】6 【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于． 【详解】解：∵的中垂线交于点F， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的周长， ∵， ∴的周长． 【变式7-2】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【题型8 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例8】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可. 【详解】解：线段的垂直平分线交线段于点， ， ， . 【变式8-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】首先利用等边对等角求出，然后由垂直平分线的性质得到，结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 由作图得，垂直平分 ∴ ∴． 【变式8-2】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 【答案】#20度 【分析】由点是、垂直平分线的交点得，由可得，在中可得，又得，故． 【详解】解：点O是，垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 【答案】/81度 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的外角， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 【题型9 利用线段垂直平分线的性质求面积】 【例9】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】20 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，是边上的垂直平分线，得，即可证得，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式9-2】如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为______．    【答案】6 【分析】先求出，再根据，计算即可. 【详解】∵平分，垂直平分， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，线段垂直平分线的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 【变式9-3】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若 平分求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠得，则，所以，则，求得． （2）作于点F，由折叠得垂直平分，由角平分线的性质得，则． 此题重点考查翻折变换的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正解地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长是． （2）解：作于点F， ∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∵平分于点F，于点E，且， ∴， ∴， ∴的面积是． 【题型10 利用线段垂直平分线的性质求最值】 【例10】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 【变式10-1】如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵l垂直平分， ， ， 的最小值是，值为7， 故选：C． 【变式10-2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为___________． 【答案】18 【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点关于，的对称点分别是点，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴当最小即取最小值时，的面积最小， ∴当，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积的最小值， 故答案为：18． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·周测）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 【题型11 利用线段垂直平分线的性质证明】 【例11】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【变式11-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【变式11-2】如图，四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：是的角平分线； ②若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的长为3 【分析】（1）由平行线的性质得到，，由线段中点的定义得到，由“”可证； （2）①由全等三角形的性质可得，由中垂线的性质可得，则可证明，则是的角平分线；②根据前面所证可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的角平分线； ②由（2）①， ∴的长为3．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，证明是本题的关键． 【变式11-3】如图，在中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等． （1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据推出即可； （2）根据全等得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求出答案； （3）根据线段垂直平分线的性质求出，求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，， ，， ， ， ∵在和中， ，， ，， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形， 证明：，F是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【题型12 作已知线段的垂直平分线】 【例12】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【变式12-1】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，等腰即为所求． 【分析】作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段垂直平分线的性质得到． 【变式12-2】（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：根据题意，作图如下： 则即为所求． 【分析】先作的垂直平分线，与交于点D，再在上截取，连接，结合，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可判定是等边三角形，即为所求． 【变式12-3】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接、，作线段、的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求， 【题型13 证明线段垂直平分线】 【例13】筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由得到，然后得到，推出，进而得到垂直平分，即可证明四边形是筝形． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点A和点C都在的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴四边形是筝形． 【变式13-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 【变式13-2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【变式13-3】已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)证明：平分，，， ， (2)证明：平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线 【分析】（1）由角的平分线性质得，再由等边对等角即可证明； （2）由平分得，由，得，结合共用可证，可得，，由垂直平分线判定定理得出是的垂直平分线即可． 【题型14 线段垂直平分线的实际应用】 【例14】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 【变式14-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 【变式14-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵仓库到三个学校的距离相等， ∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点， 故选：． 【变式14-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】解：到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：C． 【题型15 垂直平分线的性质及其逆定理的综合】 【例15】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 【变式15-1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确． 【变式15-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 【详解】解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式15-3】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【题型16 写出命题的逆命题】 【例16】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 【变式16-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 【变式16-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 【变式16-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是____________________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查写出命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握该知识点是解题关键． 逆命题即将原命题的结论变为已知，原命题的已知变为结论，再判断命题的真假即可求解． 【详解】解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $