第二章 直线和圆的方程 题型训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 直线和圆的方程 题型1 斜率与倾斜角的变化关系 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型3 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 题型4 直线图象的辨析 题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型7 直线过定点问题 题型8 距离新定义 题型9 求两点的对称轴 题型10 将军饮马问题求最值 题型11 直线关于直线对称问题 题型12 圆的对称性的应用 题型13 直线与圆中的定点定值问题 题型14 圆内接三角形的应用 题型15 直线与圆的实际应用 题型16 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型17 相交圆的公共弦方程 【题型1 斜率与倾斜角的变化关系】 1．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 2．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 3．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 4．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 【题型3 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知正数满足，则___________. 9．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【题型4 直线图象的辨析】 10．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 11．已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________. 【题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13．已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 14．已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 15．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 16．已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 17．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________________________（写成一般式方程） 18．已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【题型7 直线过定点问题】 19．已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 20．（多选）已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 21．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【题型8 距离新定义】 22．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 24．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______. 【题型9 求两点的对称轴】 25．已知点，．点在轴上，且，求的面积． 26．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 27．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【题型10 将军饮马问题求最值】 28．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 29．已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 30．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【题型11 直线关于直线对称问题】 31．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 32．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 33．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型12 圆的对称性的应用】 34．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 35．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 36．已知曲线与圆交于，，，四个点，且四边形的面积为4，则圆的面积为______． 【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 37．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 38．已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 39．设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． (1)求的取值范围； (2)若，求圆的标准方程； (3)求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【题型14 圆内接三角形的应用】 40．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 41．已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 42．已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【题型15 直线与圆的实际应用】 43．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 44．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 45．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【题型16 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 46．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 47．已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 48．已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【题型17 相交圆的公共弦方程】 49．（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 50．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 51．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 直线和圆的方程 题型1 斜率与倾斜角的变化关系 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型3 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 题型4 直线图象的辨析 题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型7 直线过定点问题 题型8 距离新定义 题型9 求两点的对称轴 题型10 将军饮马问题求最值 题型11 直线关于直线对称问题 题型12 圆的对称性的应用 题型13 直线与圆中的定点定值问题 题型14 圆内接三角形的应用 题型15 直线与圆的实际应用 题型16 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型17 相交圆的公共弦方程 【题型1 斜率与倾斜角的变化关系】 1．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围. 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 . 因为 （），当 时，； 当 时，； 当 时，直线 与线段 无公共点， 所以 的取值范围是 . 2．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 3．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 4．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解. 【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率， 如图，易求得，， 所以得取值范围为. 故选：C. 5．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 6．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知确定三等分点坐标，利用两点斜率公式列不等式求范围即可. 【详解】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，    直线的斜率存在，所以直线的斜率为， 由题可得，解得，即． 故答案为： 【题型3 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 7．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 8．已知正数满足，则___________. 【答案】/. 【分析】如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 9．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 【题型4 直线图象的辨析】 10．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 11．已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可. 【详解】直线方程即：， 其斜率，直线在轴的截距， 据此可知直线不经过第二象限. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查直线方程及其应用，属于基础题. 12．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________. 【答案】[，＋∞) 【分析】先根据一次函数的图象不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则 故答案为：[，＋∞). 【题型5 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13．已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 14．已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 【答案】， 【分析】根据题意，结合直线平行的结论与三角形的面积公式，解方程组即可. 【详解】∵，∴.① 由题意知，， 直线与轴、轴的交点坐标分别为，， 则，得.② 由①②，得，． 15．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 16．已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【分析】先由已知直线斜率求出倾斜角，取其一半得到直线l的倾斜角与斜率，再用点斜式写出方程并整理为一般式． 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，， ，故， 已知直线的倾斜角，故， 故直线的斜率， 过点的直线方程为， 故一般方程为． 17．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________________________（写成一般式方程） 【答案】 或 【详解】当直线过原点时，设， 代入点，解得， 即直线的方程为， 当直线不过原点时，设， 代入点，解得， 即直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 18．已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，        所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意；                    若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 【题型7 直线过定点问题】 19．已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 【答案】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或， 即k的取值范围是. 20．（多选）已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 21．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 【题型8 距离新定义】 22．设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C 23．（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 24．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 【题型9 求两点的对称轴】 25．已知点，．点在轴上，且，求的面积． 【答案】 【详解】，设的中点坐标为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即． 令，则，即P点的坐标为，所以， 点P到AB的距离为．因为，所以， 所以． 26．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 27．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 【题型10 将军饮马问题求最值】 28．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 29．已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 30．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    【题型11 直线关于直线对称问题】 31．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 32．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 33．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 【题型12 圆的对称性的应用】 34．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 35．圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 36．已知曲线与圆交于，，，四个点，且四边形的面积为4，则圆的面积为______． 【答案】 【分析】根据，结合圆的对称性画示意图，设且，利用、分别关于原点对称，且四边形为矩形，列方程求参数，最后由及圆的面积公式求面积. 【详解】由，即为过一、三象限的双曲线，如下图示， 根据对称性，、分别关于原点对称，且四边形为矩形， 不妨令且，则， 则，故， 所以，又， 所以，即，所以， 若（负值舍），此时，则，圆的面积为； 若（负值舍），此时，则，圆的面积为； 综上，圆的面积为. 故答案为： 【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 37．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 38．已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 39．设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． (1)求的取值范围； (2)若，求圆的标准方程； (3)求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 设圆的一般方程为， 令，得，此方程有一根为，即， 令，得，与是同一个方程，即， 所以， 设，则，，即，， 所以，即，即圆心在定直线上． 【分析】（1）分析可知函数的图象与轴有两个交点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）当时，求出函数的图象与两坐标轴的三个交点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的外心的坐标，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设圆的一般方程为，分别令、可得出、，可得出，设，求得，，代入等式即可证得结论成立. 【详解】（1）因为二次函数的图象与两坐标轴有三个交点， 该函数的图象交轴于点，所以该函数的图象与轴有两个交点， 所以，解得且， 故的取值范围是． （2）抛物线与轴交点是， 当时，由，得或，即抛物线与轴交点是、． 因为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 同理可得线段的中垂线方程为， 联立得，则圆心为， 圆的半径， 故圆的标准方程为． （3）略 【题型14 圆内接三角形的应用】 40．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 41．已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式分析可知当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 42．已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； 解法二：设圆心为，根据，结合平面内两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 【题型15 直线与圆的实际应用】 43．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 44．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 45．已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 【题型16 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 46．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】由题意得到，根据两点间距离公式列方程组求出圆半径，代入圆的标准方程求解即可. 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若， 则圆的半径. 设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或. 所以圆的圆心坐标为. 故圆的标准方程为. 47．已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 48．已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    【题型17 相交圆的公共弦方程】 49．（多选）已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（    ） A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立 C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A，根据两圆外切判断；对于B，结合，半径相等即可判断；对于C，根据图象，当直线过点，则，直线方程为时，满足；当和时，满足，进而判断C；对于D，结合题意得，再求最值即可判断. 【详解】已知圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 弦长公式：，其中为圆心到直线的距离， 对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误； 对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：， 圆心到直线距离： 圆心到直线距离： 所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确； 对于C选项，由B知，当直线过点，则， 因为，故，又 所以，由弦长公式，，解得， 所以，当时，. 当直线为水平线时，， 因为，即，即， 整理得，解得或 所以，当和时，， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误； 对于D选项，当，直线，即，， 所以，， 因为，当时取得等号， 所以，，当时取得等号，即取得最大值， 此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确. 50．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 51．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $