5.4.1 二次函数与一元二次方程 课件 --2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 5.4.1 二次函数与一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 关系 二次函数 $\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$ 当 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)}$ 时\(x_1=4，x_2=-2\)得到一元二次方程：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\ (a≠0)}$ > 抛物线与$x$轴交点的横坐标\(x_1=4，x_2=-2\)就是对应一元二次方程的根。 ### 2. 判别式 $\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$ - $\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等实数根**；抛物线与$x$轴**2个交点** - $\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等实数根**；抛物线与$x$轴**1个交点（顶点在x轴上）** - $\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**无实数根**；抛物线与$x$轴**没有交点** ### 3. 简单理解 - 交点$(x_1,0),(x_2,0)$ ⇒ 方程两根 $\(\boldsymbol{x=}\)x_1,\ \(\boldsymbol{x=}\)x_2$ - 若抛物线过$\((2,0)\)$\(x_1=4，x_2=-2\)则$\(\(\boldsymbol{x=}\)2\)$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根 ### 4. 补充 - 求抛物线与$x$轴交点：令$\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)$\(x_1=4，x_2=-2\)解一元二次方程 - 求抛物线与$y$轴交点：令$\(\(\boldsymbol{x=}\)0\)$\(x_1=4，x_2=-2\)得$\((0,c)\)$ > 易错提醒 1. $\Delta$公式是$b^2-4ac$\(x_1=4，x_2=-2\)不要写成$4ac-b^2$； 2. $\Delta=0$\(x_1=4，x_2=-2\)是**两个相等实数根**\(x_1=4，x_2=-2\)不能说“只有一个根”； 3. 抛物线和x轴交点个数\(x_1=4，x_2=-2\)直接由$\Delta$判断。 ## 一、选择题（每题4分\(x_1=4，x_2=-2\)共20分） 1. 抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴交点横坐标是方程（）的根 A.$x^2-2x-3=0$ B.$x^2-2x-3=1$ C.$x^2-2x-3=x$ D.$x^2-2x-3=y$ 2. 二次函数$y=x^2-4x+4$\(x_1=4，x_2=-2\)$\Delta$的值为（） A.$\Delta>0$ B.$\Delta=0$ C.$\Delta<0$ D.无法判断 3. 抛物线与$x$轴没有交点\(x_1=4，x_2=-2\)则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.两个实数根 4. 抛物线$y=x^2-5x+6$与$x$轴交点个数（） A.0 B.1 C.2 D.3 5. 抛物线$y=2x^2+3x+2$\(x_1=4，x_2=-2\)$\Delta=9-16=-7<0$\(x_1=4，x_2=-2\)则（） A.与x轴2个交点 B.与x轴1个交点 C.与x轴无交点 D.过原点 ## 二、填空题（每题4分\(x_1=4，x_2=-2\)共20分） 1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$\(x_1=4，x_2=-2\)令$\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)$\(x_1=4，x_2=-2\)得到方程________。 2. $\boldsymbol{\Delta=}$________。 3. 若$\Delta>0$\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与x轴有____个交点；$\Delta=0$\(x_1=4，x_2=-2\)____个交点；$\Delta<0$\(x_1=4，x_2=-2\)____个交点。 4. 抛物线$y=x^2-9$与x轴交点坐标____________。 5. 抛物线过点$\((4,0)\)$\(x_1=4，x_2=-2\)则方程$ax^2+bx+c=0$必有一个根是$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=}\)}$____。 ## 三、解答题（共60分） 1.（18分）已知二次函数$y=x^2-2x-8$。 （1）求对应的一元二次方程； （2）求$\Delta$\(x_1=4，x_2=-2\)判断抛物线与$x$轴交点个数； （3）求抛物线与$x$轴交点坐标。 2.（20分）二次函数$y=-x^2+2x-1$。 （1）计算判别式$\Delta$； （2）判断抛物线与$x$轴交点个数； （3）求交点坐标。 3.（22分）已知二次函数$y=2x^2-3x+m$。 （1）当$m$取何值\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与$x$轴有两个交点？ （2）当$m$取何值\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与$x$轴只有一个交点？ （3）当$m$取何值\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与$x$轴没有交点？ ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.A 2.B 解析：$\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$ 3.C 4.C 解析：$\Delta=25-24=1>0$ 5.C ### 填空题 1.$ax^2+bx+c=0$ 2.$b^2-4ac$ 3.$2；1；0$ 4.$(3,0),(-3,0)$ 5.$4$ ### 解答题 1.解： （1）令$\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)$\(x_1=4，x_2=-2\)一元二次方程：$\boldsymbol{x^2-2x-8=0}$ （2）$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与$x$轴有2个交点。 （3）解方程$x^2-2x-8=0$\(x_1=4，x_2=-2\)$(x-4)(x+2)=0$\(x_1=4，x_2=-2\)$x_1=4\(x_1=4，x_2=-2\)x_2=-2$ 交点坐标：$\boldsymbol{\((4,0)\),(-2,0)}$ 2.解： （1）$a=-1,b=2,c=-1$ $\Delta=2^2-4\times(-1)\times(-1)=4-4=0$ （2）$\Delta=0$\(x_1=4，x_2=-2\)抛物线与$x$轴**1个交点** （3）令$\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)$\(x_1=4，x_2=-2\)$-x^2+2x-1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0$\(x_1=4，x_2=-2\)$x_1=x_2=1$ 交点坐标：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{(1,0)}\)}$ 3.解： $a=2,b=-3,c=m$ $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times2\times m=9-8m$ （1）两个交点：$\Delta>0$ $9-8m>0 \Rightarrow \boldsymbol{m<\dfrac98}$ （2）一个交点：$\Delta=0$ $9-8m=0 \Rightarrow \boldsymbol{m=\dfrac98}$ （3）无交点：$\Delta<0$ $9-8m<0 \Rightarrow \boldsymbol{m>\dfrac98}$ ## 易错点总结 1. $\Delta=0$\(x_1=4，x_2=-2\)是**两个相等实数根**\(x_1=4，x_2=-2\)描述不能写成“一个根”； 2. 求与x轴交点\(x_1=4，x_2=-2\)一定要令$\(\boldsymbol{\(y=0\)}\)$； 3. 字母参数题\(x_1=4，x_2=-2\)直接用$\Delta$列不等式求范围； 4. 抛物线与x轴交点横坐标=方程的根。 下一节：**5.4.2 利用二次函数求一元二次方程的近似根**\(x_1=4，x_2=-2\)继续练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 5.4.1二次函数与一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二次函数 素养目标 1. 理解二次函数的图象与 x 轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.(重点) 2. 能准确表述何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. (难点) 素养目标 竖直上抛物体的高度 h (单位：m) 与运动时间 t (单位：s) 的关系可以近似地用公式来表示： 一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h 与运动时间 t 的关系如图所示. h＝－5t2 +v0t + h0 抛出时的高度 抛出时的速度 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？ h=－5t2＋40t (2) 小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流. ① 由图象可知 8 秒后小球落地. ②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8 t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间. 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 【观察·思考】二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示. 与同伴交流并回答问题. (1) (2) (3) 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 二次函数 y = x2 + 2x 的图象与 x 轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程 x2 + 2x = 0 有几个根？ 两个根 解：x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ∴ x(x + 2) = 0. ∴ x1 = 0，x2 = -2. 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？ 两个相同的根 解：x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 ∴ x - 1 = 0. ∴ x1 = x2 = 1. 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？ 没有根 解：∵ Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×2 = - 4＜0 ∴ 原方程无实数根. 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数角度 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 x y O -2 2 1 3 -1 2 3 1 -3 -1 y = ax2 + bx + c y = 0 是否有解 ax2 + bx + c = 0 判断 Δ 的情况 思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！ 想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 【归纳总结】 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 知识点1 最大利润问题 1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元） 之间的关系式是 ，则获得的利润最大为( ) D A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元 返回 当堂检测 12 2.某种商品每件进价为20元，调查发现：在某段时间内若以每件 元 （，且为整数）出售，可卖出 件，要使利润最大， 每件的售价应为( ) B A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 返回 当堂检测 13 3.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外。若按每吨5万元 出售，平均每天可售出 。市场调查反映：如果每吨降价1万元，平 均每天销售量相应增加 。该果商每吨降价____万元才能使每天的利 润最大。 0.5 返回 当堂检测 14 【链接中考】 1. 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点，则 b2 - 4ac≥0. 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？ 【想一想】 h=－5t2＋40t 解：令 h = 60， -5t2 + 40t = 60 t2 - 8t + 12 = 0 (t - 2)(t - 6) = 0 t1 = 2，t2 = 6 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 1. 一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 【练一练】 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 2. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 综上所述，k 的取值范围是 k≤4. ∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点， 当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数． ∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3； 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数． 探究点：二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 4.端午节前夕，某商店购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现： 日销售量（袋）与售价 （元/袋）满足如图所示的一次函数关系。 当堂检测 19 （1）求与 之间的函数表达式； 解：设与之间的函数表达式为，将， 代入， 得解得 所以与之间的函数表达式为 。 当堂检测 20 （2）当售价定为每袋多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是 多少元？ 解：设日销售利润为元，由题意得 ， 因为，所以当时， 有最大值，最大值为810，所以当 售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元。 返回 当堂检测 21 知识点2 其他问题 5.某车的刹车距离与开始刹车时的速度 之间满足二次函数 ，若该车某次的刹车距离为 ，则开始刹车时的速度 为( ) D A. B. C. D. 返回 当堂检测 22 6.为加强劳动教育，某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现： ①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为 ；②在每平方米 种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株， 平均单株产量减少。设每平方米种植株 为整数，且 。已知学校劳动基地共有 的空地用于种植这种番茄， 当每平方米种植___株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产 量为_____ 。 6 312 返回 当堂检测 23 7.有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力 与讲授概念所用 时间 之间满足二次函数关系 。 值越大，表示接受能力越强。 根据这一结论回答下列问题： （1）将二次函数关系式化成顶点式； 解： 。 当堂检测 24 （2）在什么范围内，学生的接受能力逐渐增强？ 在什么范围内，学 生的接受能力逐渐降低？ 解：当 时，学生的接受能力逐渐增强； 当 时，学生的接受能力逐渐降低。 返回 当堂检测 25 8.某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月 可销售200个。经调查发现，每个该电子产品售价每涨价1元，其每月的 销售量就减少8个。设每个电子产品涨价 元，以下说法错误的是( ) D A.一个该电子产品的利润为 元 B.每月的销售量为 个 C.涨价越多赚的越少 D. 返回 当堂检测 26 9.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第 天 （且为整数）的售价为（元/）。当 时， ；当时，。销量与 的函数 关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/ ，第15天的售 价为15元/，设第天的销售额为 元。 （1）____， ____； 30 当堂检测 27 （2）写出销售额元与 之间的函数关系式； 解：依题意， 得 当时， ， 当时， ， 所以 当堂检测 28 （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元。 解：当 时， ， 当时， ， 解得 。 因为 为正整数，所以第24天至第30天，销售额超过500元。 （天）。 答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元。 返回 当堂检测 29 Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $