5.4 二次函数与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第1课时　抛物线与x轴的交点和 一元二次方程实数解 第五章　5.4　二次函数与一元二次方程 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解抛物线与x轴的交点个数和一元二次方程实数根的个数之间的关系.(重点) 2.能把二次函数问题转化为一元二次方程问题，能利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决一些简单的实际问题.(难点) 3.在解题过程中，加深对二次函数与一元二次方程的理解，提高综合运用所学知识的能力与逻辑思维能力. 情境引入 我们已经知道，竖直上抛物体运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(单位：m)是物体被抛出时的高度，v0(单位：m/s)是物体被抛出时的速 度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出，小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图所示. (1)写出h与t之间的关系式； (2)小球经过多少秒落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流. 抛物线与x轴的交点和一元二次方程实数解 问题　二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. (1)根据图1可知，二次函数y=x2+2x的图象与x轴有　　　个交点；  根据图2可知，二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有　　　个交点；  根据图3可知，二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴有　　　个交点；  2 1 0 (2)对于一元二次方程x2+2x=0，∵Δ=22-4×1×0=4>0，∴方程x2+2x=0的解的情况是　　　　 ；  对于一元二次方程x2-2x+1=0，∵Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴方程x2-2x+1=0的解的情况是　　　　 ；  对于一元二次方程x2-2x+2=0，∵Δ=(-2)2-4×1×2<0，∴方程x2-2x+2=0的解的情况是　　　　 ；  有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 (3)根据(1)(2)结果，得二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数，与一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根的个数　　 (填“相等”或“不相等”). 相等 知识梳理 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系对应着一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的三种情况，如表所示. 二次函数y=ax2+bx+c 图例 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 a>0 a<0 图象与x轴有两个交点     Δ=b2-4ac>0，方程有两个不相等的实数根 图象与x轴只有一个交点     Δ=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根 图象与x轴没有交点     Δ=b2-4ac<0，方程无实数根 例　已知抛物线y=(m-2)x2+2mx+m+3与x轴有两个交点. (1)求m的取值范围； 解　∵抛物线y=(m-2)x2+2mx+m+3与x轴有两个交点， ∴当y=0时，(m-2)x2+2mx+m+3=0，则Δ=(2m)2-4(m-2)(m+3)>0，m-2≠0， 解得m<6且m≠2. 例　已知抛物线y=(m-2)x2+2mx+m+3与x轴有两个交点. (2)当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标. 解　∵m<6且m≠2， ∴m满足条件的最大整数是m=5， ∴y=3x2+10x+8. 当y=0时，3x2+10x+8=0， 解得x1=-2，x2=-， 即抛物线与x轴两个交点的坐标是(-2，0)，. 跟踪训练　已知抛物线y=x2+2mx-m2(m>0). (1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点； 证明　当y=0时，x2+2mx-m2=0， ∵Δ=(2m)2-4×1×=9m2， ∵m>0， ∴9m2>0，即Δ>0， ∴抛物线y=x2+2mx-m2(m>0)与x轴必有两个交点. 跟踪训练　已知抛物线y=x2+2mx-m2(m>0). (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的左侧)，且AB=6，求m的值. 解　令y=0，则x2+2mx-m2=0， ∴=0， ∴x+m=0或x-m=0， ∴x1=-m，x2=m， 跟踪训练　已知抛物线y=x2+2mx-m2(m>0). (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的左侧)，且AB=6，求m的值. 解　∵点A在点B的左侧，m>0， ∴A，B， ∴AB=m-=3m， 又∵AB=6，∴3m=6，∴m=2. 课堂小结 1.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为 A.- B. C.-4 D.4 √ 解析　∵抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴Δ=12-4×1·c=0，∴c=. 随堂演练 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x=-1，则方程ax2+bx+c=0的另一个解是 A.x=-3 B.x=3 C.x=-2 D.x=2 √ 解析　∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴另一个交点为(-3，0)， ∴ax2+bx+c=0的另一个解是x=-3. 随堂演练 3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1，-2)，与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是 A.a<0 B.c<0 C.a+b+c=-2 D.b2-4ac=0 √ 解析　∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1，-2)，且与y轴的交点在x轴上方，∴抛物线开口向上，与x轴有两个交点，∴a>0，c>0，b2-4ac>0，当x=1，y=-2时，a+b+c=-2. 随堂演练 4.抛物线y=x2-x-1 013与x轴交于(α，0)，(β，0)两点，则α2+β2-1=　 　 .  2 026 解析　∵抛物线y=x2-x-1 013与x轴交于(α，0)，(β，0)两点，∴α，β是方程x2-x-1 013=0的两个实数根，∴α+β=1，αβ=-1 013，∴α2+β2-1=(α+β)2-2αβ-1=1+2 026-1=2 026. 随堂演练 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(-1，0)，(3，0)两点，以下四个结论正确的是(用序号表示)　　　　 .  (1)图象的对称轴是直线x=1； (2)当x>1时，y随x的增大而减小； (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1和3； (4)当-1<x<3时，y<0. (1)(2)(3) 随堂演练 随堂演练 解析　∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(-1，0)，(3，0)两点， ∴图象的对称轴是直线x==1，故(1)正确； ∵图象的对称轴是直线x=1，开口向下， ∴当x>1时，y随x的增大而减小，故(2)正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(-1，0)，(3，0)两点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1和3，故(3)正确； 由图象可知，当-1<x<3时，y>0，故(4)错误. 综上所述，结论正确的是(1)(2)(3). 谢谢观看 $