5.☆ 问题解决活动：怎样围面积最大-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决矩形面积最值问题，核心知识点为“周长一定的矩形中正方形面积最大”。课堂从张伯伯围鸭舍的实际问题导入，先回顾二次函数建模步骤，再通过外墙长度不同的分类讨论搭建学习支架，衔接旧知与复杂情境应用。 其亮点是以真实情境发展核心素养，用数学眼光抽象问题为二次函数模型，通过外墙长度分情况推理培养数学思维，以函数表达式和图象强化数学语言。如靠墙围矩形、中间分隔篱笆等实例，助学生提升应用能力，教师可高效落实建模与推理教学。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 5.☆ 问题解决活动：怎样围面积最大 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学 问题解决活动：怎样围面积最大 专项练习 核心知识点回顾：本节探究固定周长的矩形面积最值问题，是二次函数建模的经典实践活动。核心结论：周长一定的矩形中，正方形的面积最大。解题建模步骤：设矩形一边长为自变量，利用周长恒定表示出邻边长，列出面积二次函数解析式。所得函数为开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。实际探究中需结合自变量取值范围，边长大于0且符合图形实际，通过配方或顶点公式求解最值，体会数形结合与数学建模的核心思想。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 周长固定的矩形，面积最大时的图形是（） A. 长方形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 无法确定 2. 用长为60cm的铁丝围矩形，面积最大为（） A. $$225\mathrm{cm^2}$$ B. $$300\mathrm{cm^2}$$ C. $$900\mathrm{cm^2}$$ D. $$150\mathrm{cm^2}$$ 3. 矩形周长一定，面积y与边长x的函数图象是（） A. 直线 B. 开口向上抛物线 C. 开口向下抛物线 D. 双曲线 4. 固定篱笆围矩形，求最大面积利用的数学模型是（） A. 一次函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. 正比例函数 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 周长一定的所有矩形中，________的面积最大。 6. 用总长40m的篱笆围矩形，最大面积为________$$\mathrm{m^2}$$。 7. 矩形周长一定，面积函数二次项系数________0，函数有最大值。 8. 围矩形求最大面积的本质是求解二次函数的________值问题。 三、解答题（共56分） 9.（18分）用总长为48m的篱笆围成一个矩形场地，设一边长为x m，面积为y $$\mathrm{m^2}$$，求矩形的最大面积。 10.（18分）利用二次函数知识证明：周长一定的矩形中，正方形面积最大。 11.（20分）用长60m的篱笆靠墙围矩形菜园（墙足够长），求菜园的最大面积。 参考答案与详细解析 1. B 解析：周长固定时，矩形长宽越接近面积越大，长宽相等即为正方形时面积最大。 2. A 解析：边长15cm时为正方形，最大面积$$15\times15=225\mathrm{cm^2}$$。 3. C 解析：面积解析式为二次函数，开口向下，存在最大值。 4. C 解析：面积与边长为二次函数关系，利用二次函数最值求解最大面积。 5. 正方形 6. 100 解析：边长10m的正方形，最大面积100$$\mathrm{m^2}$$。 7. 小于 8. 最大 9. 解：另一边长为$$(24-x)$$m，面积$$y=x(24-x)=-x^2+24x$$。$$a=-1<0$$，对称轴$$x=12$$，在取值范围内。当$$x=12$$时，最大面积$$y=144\mathrm{m^2}$$。答：最大面积为144平方米。 10. 解：设周长为定值L，一边长为x，则邻边长$$\dfrac{L}{2}-x$$，面积$$y=-x^2+\dfrac{L}{2}x$$。对称轴$$x=\dfrac{L}{4}$$，此时邻边也为$$\dfrac{L}{4}$$，四边相等为正方形，得证。 11. 解：设垂直墙的边长为x m，平行墙边长为$$(60-2x)$$m，面积$$y=x(60-2x)=-2x^2+60x$$。对称轴$$x=15$$，最大面积$$y=450\mathrm{m^2}$$。答：菜园最大面积450平方米。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 张伯伯想在房屋一侧的空地上，用篱笆和房屋的一面外墙围一个矩形鸭舍，其中篱笆长为60m。请你帮助张伯伯设计，使围成的鸭舍面积最大。 理解问题 (1)本题的目标是什么?已知条件有哪些，条件足够吗? 确定矩形鸭舍的长和宽，使其面积取到最大值。 已知篱笆长度，条件不够，缺少外墙长度的条件。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 理解问题 (2)用篱笆和房屋的一面外墙围矩形鸭舍有哪些可能情况?请画图表示。 ①与外墙平行的鸭舍边长小于或等于外墙长度，如图1； ②与外墙平行的鸭舍边长大于或等于外墙长度，如图2； ③只用外墙的一部分围成鸭舍，如图3。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 拟订计划 (1)以前解决过类似的问题吗?关于最大值问题你有哪些经验? 以前解决过当矩形在直角三角形内部时求矩形面积最大值的问题。 关于面积的最大值问题，首先可以通过设线段长，结合条件求出图形面积的函数表达式，利用函数性质求出最大值。 其次要注意对图形的不同组成方式要分类讨论。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 拟订计划 (2)假设外墙足够长，怎样围鸭舍面积最大?由此你能得到什么结论? 外墙足够长时，采用如图1所示的围法。 通过计算可得出，当矩形鸭舍的长等于宽的2倍时，围成的鸭舍面积最大。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 拟订计划 (3)假设外墙很短，怎样围鸭舍面积最大?由此你能得到什么结论? 外墙很短时，采用如图2所示的围法。 通过计算可得出，当矩形鸭舍的长和宽相等时，即矩形变为正方形时围成的鸭舍面积最大。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 拟订计划 (4)还有什么情况需要研究? 需要研究采用如图3所示的围法，即只用外墙的一部分围成鸭舍，鸭舍面积是否能取到所有围法中的最大值。 因为这种围法对于墙的利用有一定浪费，会导致整个矩形的周长偏小，围成的面积不如另外两种大，所以此种围法应该舍弃。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 实施计划 根据外墙长度的不同，分别确定矩形鸭舍的围法，并说明道理。 设外墙长度为a m，与外墙平行的鸭舍边长为x m，鸭舍面积为S m²。 ①当采用图1所示的围法，即0<x≤a时， 矩形的另一边长为30-x， 则S=x(30-x)=-x²+30x=-(x-30)²+450(0<x≤a)， 画出函数图象如图所示，分两种情况讨论： (i)若a<30，则取值范围0<x≤a不包括顶点的横坐标， 故当x=a时(鸭舍边长恰好与墙长相等)，S最大=a(30-a)， 此时矩形鸭舍的长为a m，宽(30-a)m； 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 实施计划 根据外墙长度的不同，分别确定矩形鸭舍的围法，并说明道理。 设外墙长度为a m，与外墙平行的鸭舍边长为x m，鸭舍面积为S m²。 ①当采用图1所示的围法，即0<x≤a时， 矩形的另一边长为30-x， 则S=x(30-x)=-x²+30x=-(x-30)²+450(0<x≤a)， 画出函数图象如图所示，分两种情况讨论： (ii)若a≥30，则取值范围0<x≤a包括顶点的横坐标， 故当x=30时，S最大=450，此时矩形鸭舍的长为30m，宽为15m。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 ②当采用图2所示的围法，即x≥a时， 设矩形的另一边长为y，∴2x+2y-a=60， ∴y=a+30-x， ∴S=x(a+30-x)=-[x-(a+15)]²+(a+15)² (x≥a)， 画出函数图象如图所示，分两种情况讨论： (i)若a≤a+15，即a≤20时，取值范围x≥a包括顶点的横坐标， 故当x=a+15时，S最大=(a+15)²， 此时鸭舍形状为正方形，边长为(a+15)m； 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 ②当采用图2所示的围法，即x≥a时， 设矩形的另一边长为y，∴2x+2y-a=60， ∴y=a+30-x， ∴S=x(a+30-x)=-[x-(a+15)]²+(a+15)² (x≥a)， 画出函数图象如图所示，分两种情况讨论： (ii)若a>a+15，即a>20时，取值范围x≥a不包括顶点的横坐标， 故当x=a时(鸭舍边长恰好与墙长相等)，S最大=a(30-a)， 此时矩形鸭舍的长为a m，宽为(30-a)m。取到最大面积450m²。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 综上所述： 当a≤20时，鸭舍形状为正方形，且边长为(a+15)m时， 取到最大面积(a+15)² m²； 当20<a<30时，矩形鸭舍的长为a m，宽为(30-a)m时， 取到最大面积a(30-a) m²； 当a≥30时，矩形鸭舍的长为30m，宽为15m时， 取到最大面积450m²。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 1.如图，利用一面墙（墙最长可利用）围成一个矩形花园 ， 与围墙平行的一边上要预留 宽的入口，入口处不用砌墙。若用 长墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积是_____ 。 190 返回 举一反三 13 2.如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙 （墙足够长）的矩形菜地，中间用篱笆 分 隔为两个小矩形平行于墙面方向 。 （1）设垂直于墙的边长为米，求菜地总面积（平方米）与 的函 数关系式； 解：由题意得米 ， 所以菜地面积与的函数关系式为 ， 即 。 举一反三 14 （2）结合二次函数性质，求 的最大值； 解：， ， 当时， 取最大值，最大为36。 （3）（变式）若分隔篱笆为米，其他条件不变，重新建立与 的 关系式，并分析最值变化。 解：由题意得米 , 所以菜地面积与 的函数关系式为 。 所以当时， 取最大值，最大为36，最大面积没有发生变化。 返回 举一反三 15 回顾反思 (1)在探索这个问题的解决方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验? 先类比以前解决过的面积最大值的问题，对矩形鸭舍的不同围法进行分类讨论，然后设出需要的量和参数，建立二次函数模型，将实际生活问题转化为数学问题，再利用二次函数的性质分析解决问题。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 回顾反思 (2)在这个问题中，鸭舍面积与哪些因素有关?如果改变部分因素，你还能提出哪些新的研究问题? 鸭舍面积与篱笆长度、外墙长度、鸭舍围法有关。 如改变鸭舍的围法：用一道篱笆将矩形鸭舍中间隔开，求此时鸭舍面积的最大值。 知识点1 怎样围面积最大 探究新知 3.[南通中考] 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计” 开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用 总长为 的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：#1 举一反三 18 方案一 方案二 如图①，围成一 个面积为 的矩形 花圃。 ____________________________________________ 如图②，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度忽略不 计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不 同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为 的进出口 （此处不用栅栏）。 _____________________________________________________________________________ 举一反三 19 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； 解：设与墙垂直的边的长度为 ，则与墙平行的边的长度为 ， 根据题意得 ， 解得 。 答：与墙垂直的边的长度为 。 举一反三 20 （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为 ， 根据题意，得 。 。 ， 当时， 有最大值。 答：要使花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为 。 返回 举一反三 21 4.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题， 实践报告如下：#2 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 举一反三 22 活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是 ； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足 ， ，且边上留一个 宽的门； _____________________________________________________________ 【准备材料】现有篱笆的长度是 。 续表 举一反三 23 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少 平方米？ 解：过点作于点，则四边形是矩形，则 。 ， ， 。 。 设，所围梯形的面积为，则 ， ， 根据题意，得 续表 举一反三 24 。 ， 当时，取得最大值，最大值为 。 答：当的长度为 时，才能使其所围梯形的面积最大，最大面积 是 。 返回 举一反三 5. [漳州模拟] 项目式学习：根据素材回答问题。#1 素 材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路， ，中间有一正方 形水池，已知水池的边长为，， ，且 与的距离为，与的距离为 。 举一反三 26 素 材2 现利用两条小路，再购置 长的栅栏（图②中用细实线表示） 在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行 （或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不 计。 任务1 小明同学按如图②的设计，若 ，则花圃的面积为 ________。（不包含水池的面积） 续表 举一反三 27 任务2 若按图③设计方案，点，，三点共线，点在 上，当花圃 的面积（不包含水池的面积）为时，求 的长。 解：由图，延长交于点 ， 设 ， 由题意得， , ， ， 。 举一反三 28 ，即 ， 解得或 （舍去）， , 的长为 。 举一反三 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③设计方案，当 的长 是____时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，是_____ 。 11 273 返回 举一反三 30 谢谢观看 THANKS $