5.3二次函数的应用-第2课时 图形面积问题 课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的图形面积应用，通过学校劳动实践基地直角三角形空地围矩形的情境导入，结合相似三角形推导边长关系，衔接二次函数性质，搭建几何与代数的学习支架。 其亮点是以真实情境培养数学眼光，通过矩形不同位置、设元方式的变式探究发展数学思维，归纳解题步骤强化数学语言。实例涵盖窗户面积、栅栏围菜园等，助力学生提升建模能力，教师可直接用于教学提升效率。

九年级上│BS 第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 第2课时 图形面积问题 1.经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型. 2.能够分析和表示与面积相关的实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值. 学习目标 学校的劳动实践基地有一块直角三角形的空地，两条直角边分别长 30 米和 40 米. 现在我们要在这块空地上，围出一个矩形的蔬菜种植区，让矩形的两条边分别贴在直角三角形的两条直角边上，另一个顶点落在斜边上. 新课引入 问 题 如图(单位：m)，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和 AD 分别在两直角边上，点C在斜边上，设矩形的一边AB＝ x m. (1)边AD的长度如何表示？ 40 30 x 解：(1)设AD=h， 由图可知Rt△EDC∽Rt△EAF. ∴ ， ∴ . ，即 新知学习 问 题 如图(单位：m)，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和 AD 分别在两直角边上，点C在斜边上，设矩形的一边AB＝ x m. (2)边设矩形的面积为 y m2， 当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 40 30 x (2)由题意得 ∴当 x = 20 时，y 有最大值，最大值为 300. 注意自变量的 取值范围. 新知学习 思考·交流 (1)如果设AD边的长为x m，那么问题的结果会怎样？ 40 30 x 解：(1)设AB=a，由图可知Rt△CBF∽Rt△EAF. ∴ ， ∴ . ，即 ∴当 x = 15 时，y 有最大值，最大值为 300. 新知学习 40 m 30 m x N M 思考·交流 (2)在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如下图所示的位置放置，BC在斜边上，A，D分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少？ 解：如图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA. ∵DA//EF， ∴ . 在Rt△EGF中， 新知学习 40 m 30 m x N M 思考·交流 (2)在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如下图所示的位置放置，BC在斜边上，A，D分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少？ 由 ，得GM=24(m)， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当x＝12时， y有最大值300. 新知学习 例 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m，材料的宽度及制造中的接口不计.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2) 解：∵ 7x＋4y＋πx＝15， ∴ ∵0＜7x＋πx＜15，∴0＜x＜1.48. 设窗户的面积是S m2， 则 新知学习 ∴ S取得最大值， 因此，当x约为1.07m时，窗户的面积最大.此时，窗户的面积约为4.02 m2. 新知学习 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数表达式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 新知学习 1.(2024 泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 450 2.如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB－CD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是__________. 随堂练习 3.把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体形盒子(纸板的厚度忽略不计)． 解：(1)设剪掉的正方形的边长为xcm，则(40－2x)2＝484， 解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9cm (1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形盒子．要使折成的长方体形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 随堂练习 (2)在(1)中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由． 解：(2)侧面积有最大值，最大值为800cm2， 设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2， 则y与a的函数关系式为：y＝4(40－2a)a， 即y＝－8a2＋160a，即y＝－8(a－10)2＋800， ∵－8<0，∴a＝10时，y最大＝800. 即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方体形盒子的侧面积有最大值，最大值为800cm2. 随堂练习 4.(万唯原创)如图,某校准备给长为 8 米,宽为4米的矩形场地ABCD 用花卉进行地面装饰现将其划分为区域I(等腰直角三角形PMN),区域I(2个全等的直角三角形)剩余空白部分记为区域亚.点0为BC 和PM的中点,为了美观,要求区域 II的面积不超过知形ABCD面积的 ，若设FN=AE=x米. (1)求白色区域的面积S与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； 解：∵FN＝AE＝x，则ON＝4－x， ∴△PMN的面积为(4－x)2，△AEF的面积为 AE·AF＝2x， ∴S＝8×4－(4－x)2－2×2x＝－x2＋4x＋16， ∵区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD面积的 ， ∴2×2x≤ ×8×4，解得x≤2. ∴白色区域的面积S与x的函数关系式为S＝－x2＋4x＋16，0＜x≤2. 随堂练习 (2)若区域I与区域 II所种花卉相同价格为每平方米20 元,区城III所种花卉的价格为每平方米 10 元,求总费用的最小值及此时x的值. 解：(2)设总费用为W，由(1)得S＝－x2＋4x＋16＝－(x－2)2＋20， ∵区域Ⅰ和区域Ⅱ所种花卉的单价为每平方米20元，区域Ⅲ所种花卉的单价为每平方米10元， ∴区域Ⅲ的费用为10S，区域Ⅰ和区域Ⅱ的费用之和为20(32－S)， ∴总费用W＝10S＋20(32－S)＝－10S＋640＝10(x－2)2＋440， ∵10＞0，0＜x≤2， ∴当x＝2时，总费用最小，最小值为440元． 随堂练习 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 课堂小结 $