第五章-微专题13　二次函数创新题型（新教材教学课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数创新题型，通过铅球运动、平抛运动、排队安检等实际情境导入，引导学生从具体问题中抽象出二次函数模型，衔接顶点式、方程求解等知识，搭建从现实到数学的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过建立函数模型解决运动轨迹、人数变化等问题发展数学思维，用函数表达式精准描述关系提升数学语言能力。如铅球运动求高度函数、排队问题求最大人数等实例，助力学生增强应用意识，也为教师提供了生动的教学素材。

微专题13　二次函数创新题型 1. (2026河南郑州实验外国语学校阶段练)综合与实践： 问题情境：综合实践小组的同学对田径运动会上男运动员小宇一次推铅 球(3 kg)的图片(图①)进行了研究. 第1题图 建模分析： 第一步：根据铅球运动路线的照片，发现铅球的运动路线是抛物线的一 部分； 第二步：以点O为坐标原点，表示水平地面的直 线为x轴，铅球出手点A所在的铅垂直线为y轴， 建立如图②所示的平面直角坐标系.铅球达到最 大高度时的位置为点B，铅球的落地点为点C (点O，A，B，C在同一竖直平面内，铅球大小忽略不计). 第1题图 第三步：信息获取： 信息1：铅球出手时离地面的高度为 m. 信息2：当铅球运动到与出手点相同高度时，与出手点A的水平距离为 8 m. 信息3：铅球运动过程中，距离地面的最大高度为3 m. 问题解决： (1)填空：在平面直角坐标系中，点B的坐标为 　(4，3)　； (4，3) 第1题图 (2)在铅球运动过程中，求铅球离地面的高度y(单位：m)与到出手点的水 平距离x(单位：m)之间的函数表达式； 解：(2)根据题意，抛物线经过点A(0， )，且点B(4，3)为抛物线的顶 点， 设铅球离地面的高度y与到出手点的水平距离x之间的函数表达式为 y＝a(x－4)2＋3(a≠0)， 将A(0， )代入，得16a＋3＝ ， 解得a＝－ ， ∴y与x的函数表达式为y＝－ (x－4)2＋3； 第1题图 (3)学校规定男子铅球(3 kg)一、二、三级运动员标准如下：一级运动员须 推16.20 m以上的成绩；二级运动员须推12.50 m以上的成绩；三级运动 员须推9.50 m以上的成绩.按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为几级 运动员？ 解：(3)当y＝0时，－ (x－4)2＋3＝0. 解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)， ∴点C的坐标为(10，0)， ∴铅球推出的距离为10 m， ∵9.50 m＜10 m＜12.50 m， ∴按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为三级运动员. 第1题图 2. 　　　　　　　　　　　 【主题】平抛运动 趋势情境 跨学科 【知识背景】如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平 抛运动(不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖 直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐 标系(小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标(x，y)，根据平抛运动 的原理可知x，y与时间t(s)的关系为 (v表示水平方向上的运动速度，此题g的值以计算 结果为准) 第2题图 【方案设计】 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置(如图②)，并用平滑的 曲线连接得到小球平抛运动的轨迹(如图③)，已知桌面高度为1 m，观测 记录了三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 第2题图 t(s) 0.1 0.2 0.3 x(m) 0.1 0.2 0.3 y(m) －0.05 －0.2 －0.45 (1)求小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； 解：(1)∵x＝vt， ∴将(0.1，0.1)代入x＝vt中， 解得v＝1， 将(0.1，－0.05)代入y＝－ gt2中， 解得g＝10， ∴x＝t，y＝－5t2， ∴小球在做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的表达式为y＝－5x2； 第2题图 (2)当小球在竖直方向下落0.8 m时，它在水平方向上前进了多少？ 解：(2)当小球在竖直方向下落0.8 m时，即y＝－0.8， 将y＝－0.8代入y＝－5x2中， 解得x＝0.4(负值已舍去)， ∴小球在竖直方向下落0.8 m时， 它在水平方向上前进了0.4 m； 第2题图 (3)若桌子的正前方有一高度为0.2 m的无盖正方体纸箱(纸箱厚度忽略不 计，且纸箱左侧面和桌腿平行)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧面到 桌子的水平距离L(m)的取值范围. 解：(3)∵桌面的高度为1 m，无盖正方体纸箱的高度为0.2 m， ∴小球要落入纸箱，则小球要在y＝－0.8时进入纸箱， ∴将y＝－0.8代入y＝－5x2中， 解得x＝0.4(负值已舍去)， ∴纸箱左侧面到桌子的最大水平距离小于0.4 m， ∵无盖正方体纸箱的宽度为0.2 m， ∴纸箱左侧面到桌子的最短水平距离大于0.4－0.2＝0.2(m)， ∴纸箱左侧面到桌子的水平距离L(m)的取值范围为0.2＜L＜0.4. 第2题图 3. (2025广东深圳中考)　　　　　　　　　　　　　 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演 出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系. 中考新考法•综合与实践 第3题图 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总 人数－已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可 安检6人. 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人 数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 　18x　， 排队人数w与安检时间x的函数关系式为 　w＝－x2＋42x＋ 100(0≤x≤30)　； 18x w＝－x2＋42x＋ 100(0≤x≤30) 第3题图 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 解：(2)w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541， ∴当x＝21时，w最大＝541， ∴排队人数在第21分钟时达到最大， 最大人数为541； 第3题图 (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支. 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 第3题图 解：(3)可开7条通道，理由： 设开了m条通道，则w＝y－6mx＝－x2＋ 60x＋100－6mx＝－x2＋6(10－m)x＋100， ∴对称轴为直线x＝3(10－m)， ∵排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少， ∴0≤3(10－m)≤10，即 ≤m≤10， ∵最多开通9条， ∴ ≤m≤9， ∵m为正整数，∴m最小值为7， ∴同时满足题中两个要求，可开7条通道. 第3题图 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更 多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的 准确性和实用性. 第3题图 $