精品解析：贵州省遵义市南白初级中学2025-2026学年上学期第二次月考八年级数学试题

遵义市南白初级中学2025年秋季学期八年级第二次月考 数学试卷 考试时间：150分钟 本试卷共三大题，共25小题 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知三角形的三边长分别为、、，若为整数，则满足条件的的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系可得的取值范围，再根据为整数即可得． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ∴，即， ∵为整数， ∴满足条件的的值为，共有5个， 故选：C． 3. 同学们学习完“全等三角形”的知识后，王老师在多媒体上出示了一道试题： ，______ （添加一个条件，使结论成立）， ， ∴． 下面四个选项分别是四位同学的答案，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、在和中，，，，不能推出，符合题意； B、在和中，，故，不符合题意； C、在和中，，故，不符合题意； D、在和中，，故，不符合题意； 故选：A． 4. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：要使高铁站到A，B两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到B，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 要使高铁站到A，C两地的距离相等，高铁站应在的垂直平分线上， 所以高铁站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 5. 给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形的面积相等；④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、全等三角形的定义等知识点．根据三角形的高、全等三角形的定义逐个判定，最后统计即可解答． 【详解】解：钝角三角形有两条高在三角形的外部，故①错误； 周长相等的三角形不一定全等，故②错误； 全等三角形的面积一定相等，即③正确； 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称，故④正确，⑤错误． 综上正确的只有2个． 故选：B． 6. 如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长． 【详解】∵D是AB的中点， ∴， ∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°， 且DF⊥AC， ∴∠ADF=180°-90°-60°=30°， 在Rt△ADF中，， ∴， 同理，在Rt△FEC中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键． 7. 如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 9. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，再利用等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 12. 如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 过分别作、、的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13. 若，则点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，以及关于轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．先根据非负数的性质求出的值，从而得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ，， 解得：，， 点的坐标为， 关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，，由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴，， ∴，， ∴， 是的一个外角，是的一个外角， ∴， 故答案为：． 15. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由“”可证，可得，，由，可得当点，点，点，点A共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，，， ， ， 同理可得：， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值，即最小值为的长度， 有最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明，是本题的关键． 三、解答题（9小题，共98分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、二次根式的性质、立方根、绝对值的性质计算，再合并即可； （2）先整理方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， 得，解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为． 18. 如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． （1）第三边的范围为______． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【答案】（1） （2） 底边和腰不相等的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【小问1详解】 根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为． ∴三角形的周长． ∵两条边的长为，另外一条边的长为， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键． 19. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）请直接写出点，，的坐标； （3）请直接写出的面积． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）A1（-5，-1），B1（-3，-5），C1（-1，-4）； （3）5． 【解析】 【分析】（1）先分别找出△ABC三个顶点关于x轴的对称点位置，依次连接即可； （2）利用坐标系可写出点A1，B1，C1的坐标； （3）用矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知，A1（-5，-1），B1（-3，-5），C1（-1，-4）； （3）△A1B1C1的面积：． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置． 20. 如图，在四边形中，且，试说明．小明的解答过程如下： 解：………………………………第一步， ………………………………第二步， 在与中………………………………第三步， ………………………………第四步， ………………………………第五步， ………………………………第六步． （1）小明的解答过程从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）二； （2） 因为， 所以， 在与中， 因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质分析即可作答； （2）根据平行线的性质得，再证，即可得． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 所以第二步错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【小问1详解】 垂直平分， ， 同理， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）128 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 （2）在中，若，，则为“ 倍角三角形”． （3）如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 【答案】（1）； （2）3 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）分的角为最小角和的角为第二大的角，两种情况根据三角形内角和定理求出另外两个角的度数，再根据定义验证即可； （2）三角形的内角和定理求出，再根据新定义进行判断即可； （3）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，再分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解；当的角是最小的角时，则最大的角为， ∴另外一个角的度数为； 当的角不是最小的角，也不是最大的角时，则最小的角的度数为，不符合题意； 综上所述，另外两个内角的度数为和； 【小问2详解】 解：∵在中，若，， ∴， ∵， ∴为“3倍角三角形”； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，最大， ∵为“6倍角三角形” ∴当时：； 当时，，则：； 故或． 24. 已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． （1）如图（1）所示，当点在线段上时，若，，则 （选填“”“”或“”）；  （2）如图（2）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图（3）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，求证：． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 证明：∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图①，过点作于点，则____________度；与的数量关系为：____________． （2）【问题探究】 如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点．求证：． （3）【拓展延伸】 若点在射线上，连接，过点作交射线于点．探索线段与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：如图②，过点作于， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 解：分两种情况： ①当点在线段上时，如图③，线段与，之间的数量关系是：． 理由：过点作于，连接，过点作交于， ∴， ∵， ∴ ∴， 由（2）知：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在的平分线上，即平分， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； ②当点在的延长线上时，如图④，线段与，之间的数量关系是：． 理由：过点作于，连接，过点作交于， ∴， ∵， ∴ ∴， 由（2）知：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在的平分线上，即平分， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； 综上所述，线段与，之间的数量关系：当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质可得，再根据角平分线的性质可得与的数量关系； （2）如图②，过点作于，证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （3）分两种情况：①当点在线段上时，如图③，过点作于，连接，过点作交于；②当点在的延长线上时，如图④，过点作于，连接，过点作交于；都证明，再根据线段的和与差即可得结论． 【小问1详解】 解：如图①， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，，， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形性质和判定等知识，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白初级中学2025年秋季学期八年级第二次月考 数学试卷 考试时间：150分钟 本试卷共三大题，共25小题 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为、、，若为整数，则满足条件的的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 同学们学习完“全等三角形”的知识后，王老师在多媒体上出示了一道试题： ，______ （添加一个条件，使结论成立）， ， ∴． 下面四个选项分别是四位同学的答案，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形的面积相等；④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13. 若，则点关于轴对称的点的坐标是______． 14. 如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 15. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 16. 如图，，，，、分别为、上的两个动点，则的最小值为______． 三、解答题（9小题，共98分） 17. 计算 （1） （2） 18. 如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． （1）第三边的范围为______． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 19. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）请直接写出点，，的坐标； （3）请直接写出的面积． 20. 如图，在四边形中，且，试说明．小明的解答过程如下： 解：………………………………第一步， ………………………………第二步， 在与中………………………………第三步， ………………………………第四步， ………………………………第五步， ………………………………第六步． （1）小明的解答过程从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 22. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 23. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 （2）在中，若，，则为“ 倍角三角形”． （3）如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 24. 已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． （1）如图（1）所示，当点在线段上时，若，，则 （选填“”“”或“”）；  （2）如图（2）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图（3）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，求证：． 25. 综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图①，过点作于点，则____________度；与的数量关系为：____________． （2）【问题探究】 如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点．求证：． （3）【拓展延伸】 若点在射线上，连接，过点作交射线于点．探索线段与，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $