指对幂函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以指对幂函数概念为核心，通过分层题型系统整合性质应用与实际建模，凸显数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（如幂函数定义）|定义辨析、参数求解|从幂函数定义出发，关联指数对数概念生成| |性质应用|10题（如比较大小、图像判断）|单调性分析、奇偶性判定、中间值法|以函数性质为纽带，连接概念与具体问题| |综合拓展|6题（如实际模型、函数综合）|数学建模、分类讨论、转化思想|从单一性质到多知识点融合，构建应用逻辑链|

专题：指对幂函数-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．下列实数中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 10．给出下列命题，其中的正确命题是（    ） A．的值可以对函数用二分法求得其近似值； B．函数在定义域上单调递减 C．是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或 D．函数与的图象关于直线对称 11．下列命题是真命题的是（   ） A．若幂函数过点，则 B．， C．， D．命题“”的否定是“” 三、填空题 12．已知，，，则的最小值为______． 13．已知函数（为自然对数的底数）.记，，，则，，三者中最大的是___________，最小的是___________. 14．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 四、解答题 15．求值： (1)； (2). 16．已知幂函数， (1)求的值； (2)若是偶函数，求的单调区间； (3)若无零点，求的取值范围. 17．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若， ，求的最小值. (3)的值域是全体实数R，则求实数的取值范围； 18．为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 19．已知函数，（ ，，为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，. (1)求对所有实数成立的充分必要条件（用，表示）； (2)设是两个实数，满足，且，．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为．（闭区间的长度定义为） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：指对幂函数-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B D A C BC ABD 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】对于A，由题意得， 对于B，因为，在定义域内单调递增，所以， 对于C，因为在定义域内单调递增，所以， 对于D，因为函数在区间上单调递增，且， 所以，故最大的数为. 2．C 【分析】由对数与指数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 3．B 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 故不能得到，但可以得到，故“”是“”的必要不充分条件. 4．D 【详解】由可知定义域为， 令，则，即为偶函数， 又当时，，此时函数单调递减，且过点， 综合上述，符合题意的函数图象只有D. 5．B 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 6．D 【详解】由，解得，，所以，， 即， 因为指数函数在单调递增，且，，， 所以， 当时，，，当时，，， 当时，，，当时，，， 当时，，， 所以. 7．A 【分析】先根据偶次根式有意义求出集合，根据对数函数的单调性求解集合，再根据集合的交并补运算即可. 【详解】由偶次根式有意义，得，即，解得. 所以. 由，得，所以. 又，所以. 所以. 8．C 【分析】通过奇偶性推导出函数周期为4 ，再结合已知的函数解析式及可求出，再利用周期性将转化至已知区间内代入求解. 【详解】由为奇函数得， 令，则，解得， 由为偶函数得， 在中将替换为，得， 进而有， 则， 所以的最小正周期为4， 由得， ， ， 由题意得，即， 解得，进而，所以当时，， ， 所以， 其中，所以， 所以. 9．BC 【分析】根据指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】对于A，左边是，底数不一样，不能合并， 如，，此时，，式子不成立，A错误. 对于B，根据指数幂的运算法则知，，B正确. 对于C，根据对数的运算法则知，，C正确. 对于D，根据对数的运算法则知，，D错误. 10．ABD 【分析】A. 考查二分法的适用条件必须满足连续且存在； B.复合函数单调性，由外层函数和内层函数的单调性确定最终函数单调性； C. 已知函数的奇偶性，由函数值求自变量的值，分类讨论求解； D.反函数的性质，图像关于直线对称. 【详解】是函数的一个零点，且函数连续不断，所以由区间不断用二分法可求得其近似值，A选项正确； 函数，所以，即，解得， 所以函数的定义域为， 令， 在R上单调递增，所以在上单调递减， 因为单调递增，由复合函数单调性可知， 函数在上单调递减，B选项正确； 是定义在上的奇函数，当时，， 当时，若，无实数解； 当时，若，解得， 所以，的解为，选项错误； 函数与互为反函数， 所以图象关于直线对称，选项正确. 11．BD 【详解】对A，设，由，所以，故A错误； 对B，设，因为，， 所以，使得. 所以，使得，即 .故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”.故D正确. 12．/ 【分析】先化简对数关系式，再利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时取等， 则，即的最小值为. 13． 【分析】根据给定条件，探讨其对称性和单调性，再利用性质比较大小. 【详解】函数， 令内层二次函数，这是开口向下的抛物线，对称轴为， 复合函数性质：在上单调递增，所以的单调性与相同， 当时，递增，递增， 当时，递减，递减， 又因为，所以， 所以函数关于对称，所以函数离对称轴越近，函数值越大， 因为， 所以，即， 故，，三者中最大的是，最小的是. 14．8 【详解】因为，所以，即函数的周期为6， 又函数为偶函数，所以. 15．(1) (2)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 16．(1) (2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义即可求解； （2）根据偶函数的判断方法求出的值，再根据，易得其单调区间； （3）根据函数的零点与方程的根的关系进行转化，利用根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为 是幂函数，所以系数，解得， 则. （2）因是偶函数，则得，即. 故，该函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）函数无零点，即方程无实数根， 故，解得， 故的取值范围为. 17．(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用对数的性质并解分式不等式求定义域； （2）根据已知条件得，从而有，应用基本不等式求最小值； （3）根据对数复合函数的值域，结合对数的性质求参数的范围. 【详解】（1）由，则，即， 所以定义域为； （2）由题设，其中，所以， 若同号，则，得，矛盾， 所以，则， 于是，当且仅当，时等号成立. 所以最小值为. （3）由的值域为， 则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上， 所以，可得或，即. 18．(1)； . (2)把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 【分析】（1）代入题目数据，解对应方程可得答案； （2）先通过计算时，两模型方程的值，比较值与的差值，可选出恰当模型，然后由对数运算性质结合题目参考数据可得答案. 【详解】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）略 19．(1) (2)分两种情形讨论． （i）当时，由（Ⅰ）知（对所有实数）， 则由及易知． 再由的单调性可知， 在区间上的单调增区间的长度为．（参见下图） （ii）当时，不妨设，则． 于是，当时，有，从而． 当时，，从而． 当时，及． 由方程， 解得与图象交点的横坐标为．① 显然，这表明在与之间． 由①易知， 综上可知，在区间上，. 故由函数与的单调性可知， 在区间上的单调增区间的长度之和为． 由于，即，得．② 故由①、②得， 综合（i）、（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度之和为． 【分析】（1）利用取较小函数的定义，转化为指数不等式恒成立问题，借助绝对值差的最大值，求出两对称轴距离满足，即可解决问题； （2）分类讨论，先求出两个指数函数的交点分界点，结合的条件进行代换化简，即可证得区间内单调递增区间的总长度. 【详解】（1）由的定义可知， （对所有实数）等价于（对所有实数）， 这又等价于，即对所有实数均成立． 易知函数的最大值为，故（*）等价于， 即，这就是所求的充分必要条件． （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $