精品解析：浙江金华市金华丽泽中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

2026学年第一学期9月独立作业 九年级数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 射击运动员射击一次，命中环 D. 在一个只装有红球的袋中，摸出红球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，就是一定发生的事件，即可判断，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：选项的事件均可能发生，也可能不发生，属于随机事件， 选项中，袋内只装有红球，摸出红球一定会发生，属于必然事件． 2. 已知，则下面结论成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进一步即可求出. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键. 3. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2，点P在⊙O内， ∴OP＜2． 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 4. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为 故选：B． 5. 如图，若点是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，掌握知识点是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，， ∴． 故选：B． 6. 如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解答的关键． 先根据圆周角定理求得，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把A点的横、纵坐标都乘以即可求解． 【详解】解：∵把按位似比为缩小，且在原点异侧，点A的对应点为点C， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． 8. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 9. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点是边上一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得到，过点作交于点，连接．则在点移动过程中，线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的正方形内部的，设，，通过证明得到，当时，取得最大值，此时点记作，过点作于点，得到，连接交于点,，．连接，根据题意，得，当点与重合，点与重合时，取得最小值，此时的最小值就是； 【详解】解：沿翻折得到，四边形是边长为的正方形， ，故点到定点的距离等于定长， 动点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的正方形内部的． 四边形是边长为的正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 有最大值，且当时，取得最大值，此时点记作． ． 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， 连接交于点， 则， ． 连接，根据题意，得， 当点与重合，点与重合时，取得最小值， 此时，的最小值即为． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 12. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 某单位工会组织抽奖活动，共准备了张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知抽中每张奖券的可能性相同，求抽中一等奖的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等可能事件的概率计算，灵活运用“概率所求情况数总情况数”这一基本公式是解题的关键．根据题意，总奖券数量为张，其中一等奖奖券有张，进而可求出抽中一等奖的概率． 【详解】解：总奖券数量为张，一等奖有个，所以抽中一等奖的概率为． 故答案为：． 14. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间，取较小根即为第一次达到的时间． 【详解】解：据题意得：， 整理得：， ， 解得：或， ∵第一次达到， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠、矩形的性质与判定、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角函数关系等知识，题目比较综合． （1）利用折叠的性质得到 ，结合矩形性质证得，再证明为中点，即为矩形中心，从而易证，得出，即可得出答案； （2）令，证明，利用面积公式和三角函数关系即可求出面积比． 【详解】解：（1）由折叠可知 ，  ∴，， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴，  ∴，  ∴，  ∵， ∴，  ∴，  ∵， ∴，  在 中，， ∴， 设 ，则 ，， 在直角中，， 在直角中，，  ∵， ∴，  ∵， ∴ ∴为中点， 即为矩形中心， ∴ ∴， ∵， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）令， 在直角中，， 在直角中，，  ∵， ∴，  ∴，  ∴， 在直角中，， 由折叠可知，  在直角中， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，  ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 化简得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按二次根式混合运算法则计算； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：对于方程， ，，， ， ， 即，． 18. 箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． （1）用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 【答案】（1） 解：记三个球为红球1，红球2与白球，如图： （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，准确画出树状图是关键． （1）用画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）求出事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率，比较大小即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 19. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转，作出经旋转后的．（其中点，分别是点，的对应点） （2）在图2中，用无刻度直尺在上画点，使．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图1所示为所求： （2） 如图2所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，相似三角形的性质．熟练掌握旋转作图，相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点，利用网格的特征过格点作的平行线交于点，易证，得到，即可得到点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点、点分别表示小岛和海岸码头的位置，离点正东方向的处有海岸瞭望塔C，现测得A点分别在B点的北偏东、在点的东北方向处，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：） 【答案】小岛与的距离大约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，构造和，利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出、，最后利用线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示， 由题意可知，，，， ∵、都是南北方向， ∴，． 在和中， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 答：小岛A到海岸线的距离约为． 21. 如图，中于平分，分别交于点和点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据垂直的定义，角的和差，同角的余角相等得，根据角平分线的定义求出，再根据两个对应角相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 22. 如图1，是的直径，，弦 （1）求证：是的切线； （2）如图2，延长交于点，若，求长． 【答案】（1） 证明：连结． 弦 ，即 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，平行线分线段成比例定理是关键． （1）连结．证明，得到，根据切线的判定即可证明结论； （2）证明，设，进一步由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1）得： 设 在Rt中， 即： 解得：（舍负） 23. 已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法列式求出即可得到答案； （2）由二次函数图象与性质求出当时，二次函数的最大值与最小值，从而由题意列一元二次方程求解即可得到答案； （3）先求出二次函数图象与轴的交点坐标，再根据，由与两个交点的位置关系分类列不等式组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图象关于直线对称， ，解得； 二次函数的图象与轴交于， ； 则该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为，开口向上、对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则当时，二次函数的最小值为；当时，二次函数的最大值为； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ， 即， ， 解得或（由可知，此值不满足条件，舍去）， ； 【小问3详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为， 令，则， 解得或， 二次函数的图象与轴的交点坐标为和， 是该函数图象上的两个点，且， 或， 解不等式组得或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质求最值、解一元二次方程、二次函数与轴的交点位置求参数范围等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 24. 如图1，在中，为直径，弦于点，点为弧上一动点，连接，分别交于点和点，连结． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，若为中点，的半径为，证明． （3）如图3，连接，若为弧中点，的面积为16． ①试求的面积；②直接写出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图 H为中点，， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ； （3）①9；② 【解析】 【分析】本题考查圆周角，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，继而证明，则，即可解答； （2）连接，先推导出是的垂直平分线，得到，进而推导出，则，即可解答； （3）①推导出，得到，，设，推导出，则，即可解答； ②先推导出，在中，，得到，则，求出或（不符合题意，舍去），则，即可解答． 【小问1详解】 解：如图 ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图 ①G为弧中点， ， ， ， ， 可设， 的面积为16，即 ， ； ②， ， 在中，， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期9月独立作业 九年级数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 射击运动员射击一次，命中环 D. 在一个只装有红球的袋中，摸出红球 2. 已知，则下面结论成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若点是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，的两条弦，相交于点E，且，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为的正方形，点是边上一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得到，过点作交于点，连接．则在点移动过程中，线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 12. 已知实数，满足，则的值为_____． 13. 某单位工会组织抽奖活动，共准备了张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知抽中每张奖券的可能性相同，求抽中一等奖的概率为_________． 14. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 15. 一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 16. 如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 箱子内仅有颜色不同的两个红球和一个白球．从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球． （1）用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； （2）比较：事件A：“一个红球一个白球”与事件B：“两个红球”的概率大小． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转，作出经旋转后的．（其中点，分别是点，的对应点） （2）在图2中，用无刻度直尺在上画点，使．（保留作图痕迹） 20. 如图，点、点分别表示小岛和海岸码头的位置，离点正东方向的处有海岸瞭望塔C，现测得A点分别在B点的北偏东、在点的东北方向处，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：） 21. 如图，中于平分，分别交于点和点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图1，是的直径，，弦 （1）求证：是的切线； （2）如图2，延长交于点，若，求长． 23. 已知二次函数的图象关于直线对称，且与轴交于． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若是该函数图象上的两个点，且，求的取值范围． 24. 如图1，在中，为直径，弦于点，点为弧上一动点，连接，分别交于点和点，连结． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，若为中点，的半径为，证明． （3）如图3，连接，若为弧中点，的面积为16． ①试求的面积；②直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $