第25讲整数解与离散取值专项训练-2027届高三数学一轮复习

第25讲 整数解与离散取值 整数集与整除结构·整数解的计数·含参解集中的整数·离散最值与取整函数 一、整数集与整除结构 1. 描述法先认代表元. 是全体偶数, 是分母为 的分数全体;判断两个整数集的包含,把一边的通项用另一边的形式表示出来(),包含关系当场读出. 2. 约数与倍数集靠枚举. 中 取 的正约数, 随之确定:枚举要穷尽每个取值,不要凭感觉跳步. 3. 离散包含,逐点核对. 参数端点能否取等,把临界值代回集合里逐个元素验——整数集对“恰好”“至少”比实数区间敏感得多. 【通法】整数集比大小,通项互相表出. 【通法】约数集,枚举穷尽. 【通法】端点临界值,代回逐点验. 变式1（单选·★★☆☆☆） 集合，，则“”是“”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】 是偶数,故 能推出 ,必要性成立;反过来 而 ,充分性不成立。故“”是“”的必要不充分条件,选 B。 【关键】整除结构“ 的倍数都是偶数”包含关系一目了然;判定方向别转晕——问的是“ 是 的什么条件”,箭头从 指向 ,正是“大范围是小的必要条件”. 【答案】B 变式2（单选·★★☆☆☆） 若集合，，则（　） A． B． C． D． 为空集 【切入点】,故 的每个元素都在 中,;又 而 (分子为奇数取不到),包含是真包含。选 A。 【关键】同分母是整数集包含的标准动作:把 化成 ,再用“ 取不到奇数”说明真包含——通项互表与找一个异类,两步合璧. 【答案】A 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知集合（），，若，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 【切入点】 且 为正整数,则 取 的正约数 ,相应 ,故 。(), 即最大元素 ,故 ,选 A。 【关键】“ 是 的正因数”把集合 从抽象条件变成四个具体数;含参二次不等式先按 定根序写出解集 ,离散集合的包含,只需盯最大元素. 【答案】A 二、整数解的计数与整除验证 1. 平方和结构配勾股枚举. 形如 的整数解,按绝对值从小到大枚举基本勾股数 与 ,再乘上符号与交换的对称性计数. 2. 整除化余数,逐层回代. “ 被 整除”从 大的一端往回推:每层把 用后面的项表示,得到对单个未知项的整除约束,试值范围一小,枚举即可. 3. 枚举完必须回验. 整除与排列类问题算出的候选组合,要给出(或验证)一个完整实例,否则只证明了“必要”,没证“可能”. 【通法】平方和,勾股数加对称计数. 【通法】整除转余数,从大往小回代. 【通法】枚举结果,回代一个实例盖章. 例1（填空·★★★☆☆） 方程的整数解的组数为___________． 【切入点】配方归拢: 即 。设 ,,则 的整数解按勾股数枚举:,;,;,;,,共 组。每一组 唯一确定 ,故整数解共 组。 【关键】二元二次方程的整数解,先配方凑平方和再枚举—— 与 这两个整体比逐个试 高效得多;计数时别漏符号与交换的对称,也别忘了验证 到 是一一对应. 【答案】 变式4（填空·★★★★☆） 已知数列共有项，且是整数至的一个排列，设其前项和为，当取，，…，中的任意值时，总能被整除，则的所有可能取值为____________． 【切入点】 被 整除自动满足,从 往回推。, 须是 的倍数,在 至 中逐一试,得 。, 须是 的倍数: 时试得 ; 时试得 ; 时试得 ,与 相重,舍去。故 共四组,乘积为 。回验:排列 的各 为 ,逐一被 至 整除,给出乘积 ;排列 给出 ;排列 给出 。故所有可能取值为 。 【关键】整除条件从大往小回代:每层只剩一个未知项,试值范围 至 小到可以直接枚举;候选不等于答案——每个乘积都要排一个实例验掉,“可能”才算证毕. 【答案】，， 三、含参解集与离散边界 1. 恰有 k 个整数,先定形态再数数. 含参不等式的解集先按参数分类写成明确区间,再问哪些整数落进来;左端右开、右端左开,决定临界整数是否计入. 2. 递推平方收拢. 型递推,整体换元 后是平方迭代,通项一步写出;离散不等式 化成指数比较,相邻幂试值定临界. 【通法】恰有 k 个整数:形态分类,数整数,端点单独验. 【通法】递推先换元,平方收拢出通项. 例2（解答·★★★★☆） 已知集合，集合，．（1）求集合，；（2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【切入点】(1) 或 ;又 ,故 时 ; 时 为空集; 时 。 (2) 逐支数整数。: 为空集,舍。:,其中有且仅有整数 ,要求 且 ,即 。: 时 ,区间 整段含于 ,其中唯一整数 合要求;但 时还会多出 一段,要求其中无整数,即 ,,故此支给 ; 时 ,要求恰含 ,即 ,,故此支给 。综上 ,最终 。 【关键】“恰有一个整数”的通用流程:分类写出解集形态、数整数、端点临界单独定开闭;两个方向的临界都卡在“整数刚好进不进来”上—— 越过 或 的瞬间,整数个数跳变,离散问题的参数范围,边界永远卡在整数进出的门口. 【答案】（1） 或 ; 时 , 时 为空集, 时 ;（2） 变式5（填空·★★★☆☆） 数列满足，，则使得的最小正整数的值为____________． 【切入点】递推两边加 :。记 ,则 ,,逐步平方得 ,即 。于是 (),要求 :由 ,需 ,而 ,故 ,。 【关键】递推 直接看不出规律,“两边加 ”配成完全平方后是平方迭代,通项是二的幂塔;离散不等式的临界用相邻幂试值: 不够、 足够,一步定 . 【答案】 四、离散最值与取整函数 1. 无限变有限. 自变量取遍全体整数时,先看周期或剩余类: 时 模 只剩三个值,无限问题随之折成有限点集,再谈最值. 2. “一定成立”是全称. 要使 对一切允许情形成立,就压住一头:给左边每项上界、右边每项下界,分别求和比较;不等号是否严格,看两端的等号条件是否冲突. 3. 取整即双边不等式. 翻译成 ,即 ;多个取整条件同时成立,就是多个区间的交——比端点,验交集. 【通法】n∈Z 先归剩余类,无限化有限. 【通法】一定成立:托底下界,压顶上界. 【通法】取整翻译成双边不等式,交集定存亡. 例3（单选·★★★☆☆） 若，对，都有成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 时 模 只取 三个值,故要盯的只有三个数:,,——单位圆上三个彼此相隔 的点,它们的横坐标都不得超过 。三个均布点中必有一个落在长为 的弧段 上(相邻两点的间隔恰为 ),该点横坐标不小于 ,故 ;取 ,三点横坐标为 ,最大值恰为 。故 的最小值为 ,选 A。 【关键】“对任意整数”的恒成立,第一步永远是归剩余类:周期把无穷多个 折成三个代表;三个均布点的横坐标最大值,几何上是“最右的点离 轴至少多远”,取等靠把一个点精确放到 处. 【答案】A 变式6（多选·★★★★☆） 设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得对某个正整数，，，，…，同时成立，则下列说法一定正确的是（　） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 【切入点】A: 即 , 时各开 次方得 ,对。B:取 : 不含于 (比如元素 ),错。C:同时成立即 落在各区间之交。前四个区间为 ,,,:左端点中 最大(,因两边六次方得 ),右端点中 最小(,指数通分即验);而 (十二次方后 ),故交集 非空, 可行。加到 :右端 (十五次方后 ),交集为空, 不行。故 的最大值为 ,对;D 错。选 AC。 【关键】取整条件全部翻译成区间,“同时成立”就是求交;交非空只看两件事——最大左端点是否小于最小右端点,而幂比大小通分指数后全是整数幂: 与 两个数字裁定一切. 【答案】AC 变式7（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项为，从第项起，每一项减其前一项的差为或，记的前项和为，则使一定成立的正整数的最大值为（　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【切入点】 即前 项之和不超过后 项之和: 至 各项之和,不超过 至 各项之和。“一定成立”要对一切允许的数列成立,用界夹住:每步至多加 且 ,故 ,;又每步至少加 ,故 ,于是 。所以对一切满足条件的数列,, 总成立。 的反例:取 (相邻差为 ),则 ,,,不成立;又各项非负且逐项递增, 随 递增,故 时 一律不成立。故最大 ,选 B。 【关键】“一定成立”的证明是托底压顶:左侧用“每项至多 ”封顶,右侧用“每步至少加 ”托底,两个界同为 ,不等式自动成立;而否掉 只需一个极端数列——全称命题的否定,一个反例就够. 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 整数解与离散取值 整数集与整除结构·整数解的计数·含参解集中的整数·离散最值与取整函数 一、整数集与整除结构 1. 描述法先认代表元. 是全体偶数, 是分母为 的分数全体;判断两个整数集的包含,把一边的通项用另一边的形式表示出来(),包含关系当场读出. 2. 约数与倍数集靠枚举. 中 取 的正约数, 随之确定:枚举要穷尽每个取值,不要凭感觉跳步. 3. 离散包含,逐点核对. 参数端点能否取等,把临界值代回集合里逐个元素验——整数集对“恰好”“至少”比实数区间敏感得多. 变式1（单选·★★☆☆☆） 集合，，则“”是“”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式2（单选·★★☆☆☆） 若集合，，则（　） A． B． C． D． 为空集 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知集合（），，若，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 二、整数解的计数与整除验证 1. 平方和结构配勾股枚举. 形如 的整数解,按绝对值从小到大枚举基本勾股数 与 ,再乘上符号与交换的对称性计数. 2. 整除化余数,逐层回代. “ 被 整除”从 大的一端往回推:每层把 用后面的项表示,得到对单个未知项的整除约束,试值范围一小,枚举即可. 3. 枚举完必须回验. 整除与排列类问题算出的候选组合,要给出(或验证)一个完整实例,否则只证明了“必要”,没证“可能”. 例1（填空·★★★☆☆） 方程的整数解的组数为___________． 变式4（填空·★★★★☆） 已知数列共有项，且是整数至的一个排列，设其前项和为，当取，，…，中的任意值时，总能被整除，则的所有可能取值为____________． 三、含参解集与离散边界 1. 恰有 k 个整数,先定形态再数数. 含参不等式的解集先按参数分类写成明确区间,再问哪些整数落进来;左端右开、右端左开,决定临界整数是否计入. 2. 递推平方收拢. 型递推,整体换元 后是平方迭代,通项一步写出;离散不等式 化成指数比较,相邻幂试值定临界. 例2（解答·★★★★☆） 已知集合，集合，．（1）求集合，；（2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 变式5（填空·★★★☆☆） 数列满足，，则使得的最小正整数的值为____________． 四、离散最值与取整函数 1. 无限变有限. 自变量取遍全体整数时,先看周期或剩余类: 时 模 只剩三个值,无限问题随之折成有限点集,再谈最值. 2. “一定成立”是全称. 要使 对一切允许情形成立,就压住一头:给左边每项上界、右边每项下界,分别求和比较;不等号是否严格,看两端的等号条件是否冲突. 3. 取整即双边不等式. 翻译成 ,即 ;多个取整条件同时成立,就是多个区间的交——比端点,验交集. 例3（单选·★★★☆☆） 若，对，都有成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式6（多选·★★★★☆） 设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得对某个正整数，，，，…，同时成立，则下列说法一定正确的是（　） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 变式7（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项为，从第项起，每一项减其前一项的差为或，记的前项和为，则使一定成立的正整数的最大值为（　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $